Какое отношение группа/преобразования Мёбиуса имеет к специальной теории относительности?

Группа преобразований Мёбиуса, обозначаемая М о б ( 2 , С ) , изоморфен _ С л ( 2 , С ) ) / Z 2 которая, в свою очередь, изоморфна группе Лоренца С О + ( 3 , 1 ) .

Эта связь мне кажется очень интригующей. В конце концов, преобразование Мёбиуса — это наиболее общее взаимно однозначное конформное отображение сферы Римана на себя, заданное формулой

(1) ж "=" ф ( г ) "=" а г + б с г + д
где а , б , с , д произвольные комплексные константы, удовлетворяющие ( а д − б с ) "=" 1 . По-видимому, (1) не имеет ничего общего с пространственно-временными преобразованиями.

Но вышеупомянутый изоморфизм вызывает у меня любопытство, есть ли какие-либо глубокие физические следствия, связанные с этим изоморфизмом.

См. Приложение «Топология» в КТП Вайнберга, том 1, глава 2.
Это не относится к сфере 2d. Группа Мёбиуса глобальных конформных преобразований евклидовой д многомерное пространство по существу С О ( д + 1 , 1 ) . В случае Минковского это было бы С О ( д , 2 ) .

Ответы (2)

  1. Луч света, направленный в будущее

    (1) н мю   "="   ( 1 , п / | п | ) , п   е   р 3 ∖ { 0 } ,
    можно отождествить с ненулевым направленным в будущее светоподобным 4-вектором
    (2) п мю   "="   ( Е , п )
    Если мы модифицируем энергию Е ≡ | п | > 0 .

  2. Поэтому множество направленных в будущее световых лучей (через реперную точку) можно отождествить со сферой Римана.

    (3) С п 1   ≅   С 2   ≅   ( р 3 ∖ { 0 } ) / р + .

  3. Ограниченная группа Лоренца С О + ( 3 , 1 ) действует транзитивно на множество направленных в будущее световых лучей, ср. например, мой ответ Phys.SE здесь . Следовательно, их можно отождествить с преобразованиями Мёбиуса.

  4. Для доказательства С О + ( 3 , 1 ) ≅ С л ( 2 , С ) / Z 2 , см., например, этот пост Phys.SE.

Вы найдете интуитивно понятный способ ответить на свой вопрос в статье Wiki о Мёбиусе .

В физике компонент идентичности группы Лоренца действует на небесную сферу так же, как группа Мёбиуса действует на сферу Римана. На самом деле эти две группы изоморфны. Наблюдатель, который разгоняется до релятивистских скоростей, увидит закономерность Созвездия, видимые вблизи Земли, непрерывно трансформируются в соответствии с бесконечно малыми преобразованиями Мёбиуса. Это наблюдение часто берется за отправную точку теории твисторов » .

См. также последний раздел о приложениях, в котором обсуждается изоморфизм группы Мёбиуса с группой Лоренца, SO+(1,3) и SL(2,C). Также таблица классификации ближе к концу, что я нахожу наводящим на размышления.

Надеюсь это поможет.

Спасибо кому-то за противодействие одному из двух вчерашних отрицательных голосов.
+1 от меня, потому что этот ответ, безусловно, правильный, и ваш вклад ценен. Я не думаю, что это вообще заслуживает отрицательных голосов. Но если бы мне пришлось угадывать, я бы подумал, что, возможно, отрицательные пользователи посчитали, что этот ответ не содержит достаточно подробностей (в отличие от ответа Qmechanic). Так что, хотя это и хорошо, возможно, вы могли бы поработать над увеличением детализации своих будущих ответов. Кроме того, вы, вероятно, не должны гадать, кто вас минусует. Я был бы очень удивлен, если бы Qmechanic был одним из них, потому что он наверняка поймет ответ; отрицатели правильного ответа в основном никогда не понимают ответа.
@Mike, я очень ценю ваш обнадеживающий ответ и признаю, что мой ответ не был таким подробным, как другие, но я кое-чему научился, написав его, и надеялся, что он обеспечит легкий путь для ОП и других. на таком же уровне, как у меня (химик с большим интересом к физике, но еще многому предстоит научиться по математике).
Какое отношение группа/преобразования Мёбиуса имеет к специальной теории относительности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v