Как доказать периодичность функции Блоха в обратной решетке?

Как доказать периодичность функции Блоха в обратной решетке?

Я видел в некоторых учебниках эту формулу:

Ψ к ( р ) "=" ∑ г с к + г е я ( к + г ) ⋅ р
что делает постановку этого вопроса очевидной. ( г — векторы обратной решетки)

Но я не понимаю этой формулы. Я знаю

Ψ к ( р ) "=" е я к ⋅ р ты к ( р )
и ты к ( р ) является периодической функцией решетки, поэтому ее можно записать в ряд Фурье:
ты к ( р ) "=" ∑ г с к , г е я г ⋅ р
Теперь я не понимаю, почему с к , г можно записать как с к + г ?

Подробнее о волнах Блоха .

Ответы (4)

Блоховские функции не обязательно являются периодическими в обратном пространстве. В силу трансляционной симметрии решетки волновая функция ψ н к ( р ) должно удовлетворять условию Блоха:

ψ н к ( р − р ) "=" е − я к ⋅ р ψ н к ( р )
где р является вектором решетки. Теперь этому в общем случае удовлетворяет функция вида
ψ н к ( р ) "=" е я к ⋅ р ты н к ( р )
где ты н к ( р − р ) "=" ты н к ( р ) . Но выбор ты н к ( р ) не уникален. Существует калибровочная свобода, означающая, что мы можем взять ты н к ( р ) ↦ е − я г ⋅ р ты н к ( р ) и новая волновая функция по-прежнему будет удовлетворять условию Блоха. Так имеет ли значение, какой из них мы выберем?

Что ж, соглашение состоит в том, чтобы выбрать так называемое периодическое калибровочное условие , т.е. мы выбираем , чтобы волновая функция ψ н к быть периодическим в обратном пространстве: ψ н , к + г ( р ) "=" ψ н к ( р ) . Чтобы это было правдой, мы должны выбрать ты н к ( р ) который удовлетворяет

ты н , к + г ( р ) "=" е − я г ⋅ р ты н к ( р )

Так вот что делает ψ н к ( р ) периодически в обратном пространстве. Мы не обязаны выполнять это условие, но оно условно и удобно.

В качестве дополнительного комментария условие периодической калибровки не всегда возможно. По крайней мере, не гладко. Когда полоса топологична, т. е. имеет нетривиальное число Черна, то к этому есть топологическое препятствие. Это, среди прочего, означает, что соответствующие состояния Ванье не локализованы. Так что вопрос ОП на самом деле очень хорош и нетривиален, хотя в книгах эта важная тонкость часто замалчивается. Ссылки: arxiv.org/abs/cond-mat/0608527 , arxiv.org/abs/math-ph/0601034 , arxiv.org/abs/cond-mat/0606726 .

поскольку индекс суммирования относится только к G, вы можете забыть о «k», а также о k = G + k (что показывает транснациональную симметрию). и смотри сюда .

Г=Г+к ? Вы имеете в виду k = k+G ?
Также ваш аргумент неверен, функция двух аргументов с к , г не обязательно зависеть только от к + г
да, исправил свое высказывание!

Поскольку обратная решетка г -периодическое, состояние с волновым вектором к + г описывает то же состояние, что и волновой вектор к . Таким образом, вы можете сократить свое исследование до первой зоны Бриллюэна ( − π < к ≤ π ). Это означает, что коэффициент в вашем разложении Фурье будет зависеть только от того, где вы находитесь в пределах этой зоны. Вы можете добавить или вычесть столько раз г как хочешь от своего к вектор, и результат останется прежним. По крайней мере, в простых описаниях, где никакие дальнейшие исправления не делают теорему Блоха лишь приближением.

Я также не доволен изложением, которое можно найти в большинстве учебников (физика твердого тела), и думаю, что невозможно строго доказать это без теории групп. Аргумент будет следующим в условиях с периодическими граничными условиями (Борн-фон Карман), где Ψ ( Икс + Н а ) "=" Ψ ( Икс ) (для простоты в 1д):

С использованием

[ ЧАС , Т ] "=" 0   ,
где оператор перевода определяется как
Т ф ( Икс ) "=" ф ( Икс + а )   ,
к маркирует Н уникальные решения Ψ к который можно отличить по Т и выход
Т Ψ к ( Икс ) "=" е я к а Ψ к ( Икс ) с к е { 2 π н Н а : н е Н [ 0 , Н ) }   .
Теперь для любого Ψ к ′ с к ′ "=" к + г , где г "=" 2 π / а ⋅ м является целым кратным вектора обратной решетки б "=" 2 π / а , мы бы нашли
Т Ψ к + г ( Икс ) "=" е я к а Ψ к + г ( Икс )   ,
то есть Ψ к ′ дает те же собственные значения Т как Ψ к и поэтому не отличить от Ψ к поскольку оно принадлежит тому же неприводимому представлению. Поэтому мы можем определить
Ψ к + г ( Икс ) ≡ Ψ к ( Икс ) для любого г "=" 2 π / а ⋅ м   .
Все свойства представления Фурье Ψ к являются следствием этого, а не наоборот.

Литература:

  • Дрессельхаус, Теория групп, гл. 10.2
  • Зи, Теория групп в двух словах, гл. III.1
У меня такое же сомнение. Большое спасибо за вашу помощь. Я сомневаюсь. Я надеюсь, что вы можете ответить. Вы написали: «Ψk′ дает те же собственные значения T, что и Ψk, и поэтому неотличима от Ψk». Является ли это свойством собственных функций? или это часть теории групп?
Это свойство оператора Т который имеет только Н собственные значения и, следовательно, собственные функции, помеченные Н ценности к . Это помогает?
Благодарю за ваш ответ. Извините, мне пока непонятно. Таким образом, аргумент состоит в том, что оператор T имеет только один набор собственных значений, и, поскольку оба состояния имеют одинаковые собственные значения, они должны быть одним и тем же состоянием. Но откуда мы знаем, что это должно быть так? что давайте заключить это? как мы можем быть уверены, что это не разные состояния с одинаковыми собственными значениями?
Я не говорил и не говорил должен , но могу , в следующем смысле: две функции будут «выглядеть» одинаково при переводе, поэтому они не смогут представлять состояния, различающиеся свойствами перевода. Конечно, это не означает, что вы не можете иметь более одного физического состояния в данный момент времени. к . Наоборот, именно поэтому у нас полосовая структура. Но все волновые функции при этом к аналогично преобразуется при переводе на а .
Как доказать периодичность функции Блоха в обратной решетке?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v