Получение определения обратной решетки

Вывод векторов обратной решетки в терминах векторов решетки прямого пространства начинается с применения разложения трансляционно-инвариантной функции решетки ф ( р к + р ) в плоских волнах ф к е я г м ⋅ р к е я г м ⋅ р . Тогда в силу трансляционной инвариантности

е я г м ⋅ р к "=" 1
откуда имеем (1)
г м ⋅ р к "=" 2 π Н
где N — целое число.

Отсюда следующий шаг в большинстве выводов говорит, что (2)

а я → * ⋅ а Дж → "=" 2 π дельта я , Дж
или в матричной форме
( А * ) Т А "=" 2 π я ( А * ) Т "=" 2 π А − 1 .
Однако я не понимаю, как мы можем вывести (2) из ​​(1).

Письмо г м "=" час а 1 → * + к а 2 → * + л а 3 → * и р к "=" м а 1 → + н а 2 → + о а 3 → для

( час а 1 → * + к а 2 → * + л а 3 → * ) ⋅ ( м а 1 → + н а 2 → + о а 3 → ) "=" 2 π Н
Я все еще не вижу его сразу.

Любая помощь будет оценена по достоинству, спасибо.

Ответы (2)

Итак, во-первых, в кристаллографии принято записывать ряд Фурье с 2 π в фазе, т.е. заменить свой г с 2 π г , что я и сделаю в дальнейшем. я тоже скину индекс м на г м потому что это не играет никакой роли. Таким образом, ваше уравнение (1) эквивалентно требованию, чтобы

г . ( м а → 1 + н а → 2 + о а → 3 )

является целым числом для любого целого числа м , н , и о . Взяв три следующих м н о : 100, 010, 001, получаем так называемые уравнения Лауэ:

г . а → 1 "=" час г . а → 2 "=" к г . а → 3 "=" л

для некоторых целых чисел час , к , л .

Самый традиционный способ исходить отсюда, я бы сказал, это использовать существование уникальной базы ( а → 1 * , а → 2 * , а → 3 * ) двойственный к основанию ( а → 1 , а → 2 , а → 3 ) , который обладает тем существенным свойством, что для любого вектора ЧАС → ,

(3) ЧАС → "=" ( ЧАС → . а → 1 ) а → 1 * + ( ЧАС → . а → 2 ) а → 2 * + ( ЧАС → . а → 3 ) а → 3 * .

Тогда уравнения Лауэ немедленно дают

г → "=" час а → 1 * + к а → 2 * + л а → 3 * ,

доказывая, что г → can представляет собой линейную комбинацию а → я * с целыми коэффициентами.

Ваш экв. (2) верно для этой двойной базы (без множителя 2 π ),

(2) а → я ⋅ а → Дж * "=" дельта я Дж

поскольку это еще одна его характеристика, но она не является следствием (1) в этом подходе: вместо этого это общий и фундаментальный результат линейной алгебры (поскольку двойственные базы существуют в любом измерении). В размерности 3 простейший подход состоит в том, чтобы построить двойное основание как

а → 1 * "=" а → 2 × а → 3 дет ( а → 1 , а → 2 , а → 3 )

и круговая перестановка индексов. Тогда легко следует (2), откуда тогда очевидно (3).

Это было помечено как низкое качество. Хотя кажется, что это отвечает на вопрос, кажется, что было бы более уместно добавить дополнительную деталь или около того (как это должно быть правдой, как это приводит к (2) и т. д.).

Если у вас есть решетка, определяемая (с целым числом m, n, o)

л "=" м а 1 + н а 2 + о а 3

тогда его можно записать как трехмерную дельта-функцию дельта ( р − л ) .

Обратная решетка по определению является ее преобразованием Фурье дельта ( к − г )

Теперь, если вы сделаете преобразование Фурье прямой решетки, вы найдете обратную решетку боковых 2 π / а .

Следовательно, ваша обратная решетка

г "=" к а 1 * + п а 2 * + т а 3 * где

а * "=" 2 π / а

Лучший, Сэм

Получение определения обратной решетки
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v