Как гамильтониан является эрмитовым оператором?

Question

Как гамильтониан является эрмитовым оператором?

пряжа

В моей книге о квантовой механике утверждается, что гамильтониан, определяемый как

ЧАС знак равно я ℏ \frac{\partial}{\partial т}

$H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ является эрмитовым оператором. Но я действительно не понимаю, как я должен интерпретировать это. Прежде всего: с какого места на какое работает этот оператор? Они определяют векторное пространство, называемое «пространство волновых функций».

F

$F$ ", который содержит все интегрируемые с квадратом функции, которые являются непрерывными и бесконечно дифференцируемыми (и всюду определенными). Но мне кажется, что если гамильтониан действует в этом пространстве, не обязательно верно, что образ случайного вектора

F

$F$ снова в

F

$F$ .

На самом деле я думаю, что есть какие-то векторы $F$ так что гамильтониан этих векторов не является элементом $F$ (так что это не эндоморфизм на $F$ ). И если гамильтониан должен быть эрмитовым, он должен быть эндоморфизмом в некотором пространстве.

Если вместо этого мы определим векторное пространство $V$ , что является тем же пространством, что и $F$ но там, где функции не обязательно должны быть интегрируемыми с квадратом, гамильтониан будет эндоморфизмом (поэтому сначала я подумал, что это решение). Но теперь внутренний продукт на функции

< ф, грамм >= \int_{- \infty}^{\infty} д Икс ф^{*} грамм

$<f,g> = \int_{-\infty}^\infty dx~{f^*g}$ который был хорошо определен на

F

$F$ потому что интеграл всегда будет существовать, если

f

$f$ и

g

$g$ являются функцией

F

$F$ , больше не определяется должным образом.

Я надеюсь, что кто-то может объяснить, как мне интерпретировать этот оператор (фактически тот же вопрос актуален и для некоторых других операторов).

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v1): Формула

H = i ℏ \frac{\partial}{\partial t}

$H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ не является вообще верным и, в частности, не является определением, ср. например , этот пост Phys.SE.

пользователь10001

Для математически строгой формулировки КМ необходимо понятие оснащенных гильбертовых пространств . Однако большинство физиков, использующих квантовую механику как инструмент для понимания природы, обычно не пытаются быть слишком строгими (сам я никогда не читал вики-страницу, на которую ссылался:).

Ответы (4)

Как гамильтониан является эрмитовым оператором?

Комментарий к вопросу (v1): Формула $H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ не является вообще верным и, в частности, не является определением, ср. например , этот пост Phys.SE.
Для математически строгой формулировки КМ необходимо понятие оснащенных гильбертовых пространств . Однако большинство физиков, использующих квантовую механику как инструмент для понимания природы, обычно не пытаются быть слишком строгими (сам я никогда не читал вики-страницу, на которую ссылался:).

Вальтер Моретти · Answer 1

Общая ситуация следующая. Есть самосопряженный оператор $H :D(H) \to \cal H$ , с $D(H) \subset \cal H$ плотное линейное подпространство гильбертова пространства $\cal H$ . (Элементарный случай ${\cal H} = L^2(\mathbb R, dx)$ , но дальнейшее справедливо, вообще говоря, для любого комплексного гильбертова пространства $\cal H$ связаны с квантовой физической системой.)

Оказывается, что $D(H) = \cal H$ если и только если $H$ ограничено (это происходит, в частности, когда $\cal H$ конечномерна).

Физически говоря $H$ ограничено тогда и только тогда, когда значения, которых достигают соответствующие наблюдаемые (энергия системы), образуют ограниченное множество, поэтому в конкретных физических случаях это вряд ли происходит. $D(H)$ почти всегда является правильным подмножеством $\cal H$ .

Если $\psi \in \cal H$ представляет собой (чистое) состояние системы, его эволюция во времени определяется выражением

\begin{matrix} (1) & ψ_{т} знак равно е^{- я \frac{т}{ℏ} ЧАС} ψ . \end{matrix}

$\psi_t = e^{-i \frac{t}{\hbar} H}\psi \tag{1}\:.$ Экспонента определяется с помощью спектральной теоремы. Карта

R ∋ t \mapsto e^{- i \frac{t}{ℏ} H} ψ

$\mathbb R \ni t \mapsto e^{-i \frac{t}{\hbar} H}\psi$ всегда непрерывна относительно топологии

H

$\cal H$ . Более того, оно также дифференцируемо тогда и только тогда, когда

ψ_{t} \in D (H)

$\psi_t \in D(H)$ (эквивалентно сказать, что

ψ \in D (H)

$\psi \in D(H)$ ). В этом случае доказывается, что (теорема Стоуна)

\frac{д ψ_{т}}{д т} знак равно - я \frac{1}{ℏ} ЧАС е^{- я \frac{т}{ℏ} ЧАС} ψ знак равно - \frac{я}{ℏ} ЧАС ψ_{т} .

$\frac{d\psi_t}{dt} = -i \frac{1}{\hbar} H e^{-i \frac{t}{\hbar} H}\psi= -\frac{i}{\hbar} H\psi_t\:.$ Другими словами,

\begin{matrix} (2) & я ℏ \frac{д ψ_{т}}{д т} знак равно ЧАС ψ_{т} . \end{matrix}

$i \hbar \frac{d\psi_t}{dt} = H\psi_t\:.\tag{2}$ Должно быть ясно, что

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$ не является оператором

H

$\cal H$ , так как действует на кривые

R ∋ t \mapsto ψ_{t}

$\mathbb R \ni t \mapsto\psi_t$ вместо векторов.

\frac{д ψ_{т}}{д т} знак равно \underset{с \to 0}{лим} \frac{1}{с} (ψ_{т + с} - ψ_{т})

$\frac{d\psi_t}{dt} = \lim_{s \to 0} \frac{1}{s} \left(\psi_{t+s}-\psi_t \right)$ и предел вычисляется по норме гильбертова пространства. Тождество (2) выполняется тогда и только тогда, когда

ψ \in D (H)

$\psi \in D(H)$ а не вообще.

ПРИЛОЖЕНИЕ .

Тождества или даже определения (!) вроде

\begin{matrix} (3) & ЧАС знак равно я ℏ \frac{д}{д т} . \end{matrix}

$H = i \hbar \frac{d}{dt}\:.\tag{3}$ не имеет смысла. Наблюдаемой в КМ является прежде всего оператор (самосопряженный) в гильбертовом пространстве

H

$\cal H$ теории. Другими словами, это линейная карта.

A

$A$ ассоциирование любого заданного вектора

ψ \in H

$\psi \in \cal H$ (или какой-либо подходящий домен) к другому вектору

A ψ

$A\psi$ . Если

ψ

$\psi$ является заданным единственным вектором

H

$\cal H$ - а не кривая $t \mapsto \psi_t$ - формальный объект

\frac{д}{д т} ψ

$\frac{d}{dt}\psi$ вообще не имеет смысла, так как его нельзя вычислить! Таким образом, задаваясь вопросом, действительно ли

H

$H$ , «определяемый» с помощью (3), эрмитов, в свою очередь, не имеет смысла, так как правая часть (3) не является оператором в

H

$\cal H$ .

Конкретное определение _ $H$ может быть дано, как только физическая система станет известна и воспользуется некоторыми дополнительными физическими принципами, такими как некоторое предполагаемое соответствие между классическими наблюдаемыми и квантовыми, или групповыми теоретическими предположениями о симметрии системы.

Для нерелятивистских элементарных систем, описанных в $L^2(\mathbb R^3)$ , оператор Гамильтона имеет форму (надеюсь, единственного) самосопряженного расширения симметричного оператора

ЧАС знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} Δ + В (\vec{Икс})

$H := -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{x})$ Это определение _

H

$H$ .

Тем не менее, уравнение Шрёдингера (2) справедливо всегда, независимо от особенностей квантовой (даже релятивистской) системы, когда $\psi \in D(H)$ . Однако временная эволюция всегда описывается (1) независимо от проблемы предметной области.

Короче говоря, вы получили форму гамильтониана из уравнения 1, а не наоборот, что более традиционно. В любом случае, это не очень хорошо мотивировано физически.
Нет, я не. В моем ответе нет явной формы гамильтониана. Определения гамильтониана вообще нет. Я настаиваю на том, что $H = i d/dt$ нонсенс как в физике, так и в математике. Это просто запутанная идея. Явный вид гамильтониана получается путем добавления деталей к рассматриваемой конкретной физической системе. Например, в нерелятивистской КМ для одной частицы в $\mathbb R^3$ , $H$ является (надеюсь, уникальным) самосопряженным расширением $-\frac{\hbar^2}{2m} \Delta_{\vec{x}} + V(\vec{x})$ .

JLA · Answer 2

Вы можете найти несколько патологических примеров того, почему операторы в квантовой механике не являются эрмитовыми, но они не являются физическими. Это физика, в математике должна быть некоторая схематичность. Вам может быть интересно прочитать это для некоторых интересных математических задач/сюрпризов с математической формулировкой квантовой механики: http://lanl.arxiv.org/pdf/quant-ph/9907069v2.pdf

Сиди · Answer 3

Если гамильтониан эрмитов, то собственная функция составляет базу пространства интегрируемой в квадрате функции. Таким образом, действие H на любую функцию остается на квадрате интегрируемого функционального пространства.

Нойнек · Answer 4

Как вы сказали, уравнение, которое вы даете, работает только в «пространстве волновых функций». Пока вы имеете дело с волновыми функциями, вы всегда можете разложить объект, на который действует ваша производная, как

\int \frac{д ю}{\sqrt{2 π}} \tilde{ф} (ю) е^{я ю т}

$\int \frac{\mathrm d\omega }{\sqrt{2\pi}} \tilde f(\omega) e^{i \omega t}$ поэтому ваша производная будет иметь коэффициент

i ω

$i \omega$ от экспоненциального. Общая форма по-прежнему представляет собой суперпозицию плоских волн и, следовательно, все еще находится в

F

$\mathbf F$ , а оператор

i ℏ \frac{d}{d t}

$i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ является самосопряженным.

Я хотел бы добавить, что мне не особенно нравятся такие аргументы, но я понимаю, почему многие авторы и лекторы сначала используют их, прежде чем вводить более абстрактную, но более ясную нотацию Дирака.
Вы уверены, что это доказывает, что $ih\frac{d}{dt}$ является эрмитовым? Я знаю, что гамильтониан может быть псевдоэрмитовым и $H=ih\frac{d}{dt}$ по-прежнему справедливо из уравнения Шрёдингера.
Извините, совершенно неправильно. $id/dt$ не является оператором в гильбертовом пространстве системы. Оператор Гамильтона не $i\hbar \partial /\partial t$ .

Как гамильтониан является эрмитовым оператором?

пряжа

Qмеханик

пользователь10001

Ответы (4)

Вальтер Моретти

акрасия

Вальтер Моретти

JLA

Сиди

Нойнек

Нойнек

Ла Буба

Вальтер Моретти

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Возможна ли непрерывная эволюция от одного собственного состояния ООО оператора к другому ООО-собственному состоянию?

Эволюция во времени с зависящим от времени гамильтонианом [закрыто]

Существует ли унитарное преобразование, при котором гамильтониан в нестационарном уравнении Шрёдингера становится вещественно-симметричным?

Когда использовать сумму Кронекера против тензорного произведения гамильтонианов?

Оператор эволюции для зависящего от времени гамильтониана

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Квантово-механические операторы в аргументе экспоненты

Антиунитарный оператор и гамильтониан