Теория случайных матриц регулярно всплывает в контексте динамических систем.
Я, однако, пока не мог уловить основной идеи этого формализма. Может ли кто-нибудь привести поучительный пример или базовое введение в тему?
Буду также признателен за подсказки по соответствующей литературе.
Основная идея заключается в том, что статистические свойства сложных физических систем попадают в небольшое число универсальных классов. Очень известным примером этого явления является универсальный закон, вытекающий из центральной предельной теоремы, согласно которому сумма большого числа случайных величин, принадлежащих большому классу распределений, сходится к нормальному распределению. Пожалуйста, смотрите Перси Дейфтастатья для исторического и мотивационного обзора предмета. Конечно, одним из наиболее мотивирующих примеров (упомянута статья Перси Дейфта) является оригинальное вигнеровское объяснение спектров тяжелых ядер. Вигнер «догадывался» об универсальности и искал модель, которая могла бы объяснить отталкивание между энергетическими уровнями больших ядер (два близких энергетических уровня маловероятны), что привело его к ортогональному ансамблю Гаусса, в котором заложено это свойство. ядер матричные элементы гамильтониана не случайны, но поскольку по универсальности при больших N распределение собственных значений не зависит от распределения матричных элементов, то случайное матричное распределение собственных значений приближается к распределению гамильтониана.
the Wigner surmise excludes degeneracies, p(0) = 0, the levels repel each other. This is only possible if they are correlated- не могли бы вы объяснить.Ответ Давида Бар Моше в порядке, но я хотел бы остановиться подробнее. Основная причина появления случайных матриц в динамических системах заключается в том, что они описывают уровневую статистику классически хаотических движений. В классически интегрируемых системах существует полуклассическая формула для расстояния между уровнями, определяемая правилом Бора-Зоммерфельда. Если вы знаете классическую энергию как функцию переменных действия
вы знаете интервалы квантовой энергии, устанавливая переменные J как целые кратные постоянной Планка h.
Это означает, что уровни вблизи некоторого эталонного состояния разнесены по правилу:
И
Где является классический период. Это правило означает, что уровни распределены более или менее равномерно, мультипериодически, как суперпозиция различных равноотстоящих точек с равноотстоящими расстояниями между равноотстоящими последовательностями. Это нетрудно представить --- просто представьте, что один период очень длинный, так что промежутки очень близки, а другой период короткий, так что промежутки большие, и вы получаете энергетические уровни двух одинаковых взаимопроникающих последовательностей. энергий, лежащих друг над другом.
Эта интегрируемая картина совершенно неверна для сложных ядер, где энергетические уровни обнаруживают уровневое отталкивание. Это означает, что уровни не являются суперпозициями равноотстоящих последовательностей, как они находятся в классическом пределе интегрируемой системы, скорее между уровнями должны быть взаимодействия, которые заставляют их отталкиваться, поэтому они не хотят быть близкими.
В классической механике это явление представляет собой разрушение инвариантных торов при наличии резонансов, что приводит к хаотичности больших систем. Общее хаотическое поведение имеет универсальные черты, и именно это обнаружил Вигнер. Он рассудил, что если вы смотрите на хаотическую гамитлонову систему, статистика уровней вблизи заданного уровня будет перемешана способом, отличным от интегрируемого случая. В интегрируемом случае (подобном вращению твердой молекулы, которое дает уровни вращения, наложенные поверх спектра возбуждения) интервалы говорят вам кое-что о периодах классических движений. Но в хаотичном случае периодов нет, и детали уровня ничего не говорят о системе (по крайней мере локально).
Это замечательный верный прогноз. Если вы возьмете любую старую матрицу типа вращения, выбранную случайным образом из распределения вероятностей (скажем, из равномерного распределения в группе, оно компактно), в зависимости только от того, говорите ли вы о большой унитарной, действительно ортогональной или симплектической матрице, собственные значения будут распределены по разным местам в соответствии с плотностью, которая зависит от выбранного вами распределения вероятностей, но локальное расстояние между уровнями будет иметь статистику, неотличимую от статистики хаотических физических систем.
Предсказания этой теории подтвердились наблюдением отталкивания уровней в ядрах. Это подтверждает и то, что ядерное движение является классически хаотическим (если оно имеет классический аналог), и что теория случайных матриц описывает такую хаотическую статистику системного уровня.
DJBunk
Геннет