Как из принципа эквивалентности следует, что производные метрики обращаются в нуль в свободно падающей системе отсчета?

Почему первые производные г мю ν исчезают в свободно падающей системе координат?

Я хотел бы начать с принципа эквивалентности, согласно которому для любой точки пространства-времени существует локально инерциальнаярамкаДекартова система координат. В этих координатах и ​​в достаточно малой области вокруг пространственно-временной точки законы физики согласуются со специальной теорией относительности, а сила гравитации отсутствует. Это верно для

Я считаю, что эти локально-инерциальные координаты - это те, которые использовались бы в "свободно падающей" системе отсчета. Это правильно? Т.е. если вы проведете какой-либо физический эксперимент в маленьком лифте в свободном падении, то результаты, которые вы получите (в рамках лифта), точно такие же, как предсказаны специальной теорией относительности и ЭМ, без гравитации. И естественные декартовы координаты, которые вы бы установили в лифте, были бы локально инерционными координатами, упомянутыми выше (возможно, по модулю ускорения и пространственного вращения).

На этом рисунке метрика в точке пространства-времени Икс п мю определяется преобразованием координат между этими локальными инерционными координатами ξ п мю и "лабораторные" координаты Икс мю :

г мю ν ( Икс п ) ≡ η α β ∂ ξ п α ( Икс п ) ∂ Икс мю ∂ ξ п β ( Икс п ) ∂ Икс ν ,
где η α β "=" г я а г ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) .

Как я это интерпретирую, метрика — это просто объект, который вы можете использовать для вычисления специального релятивистского инвариантного интервала. г с 2 между двумя событиями, которые вы найдете в свободно падающем кадре.

В частности, если мы находимся в свободно падающем лифте (т.е. координаты Икс мю являются ξ п мю ), то метрика η мю ν как мы и ожидали, поскольку в системе свободного падения действует специальная теория относительности. Но, видимо, производная метрики в этой системе тоже равна нулю. Почему?

В книге Вайнберга «Гравитация и космология» говорится, что ненулевые производные метрики проявятся в локальном эксперименте, который обнаружит, что ход разных часов будет разным (нарушение специальной теории относительности). Но он не разъясняет, как именно работает этот аргумент.

Если бы производные метрики не обращались бы локально в нуль в свободно падающей системе отсчета, символы Кристофеля не обращались бы в нуль, что вы бы ощущали как результирующую (инерционную) силу, действующую на систему отсчета.
Насколько я понимаю, «символы Кристоффеля», которые вы бы определили для расчета этих чистых сил, были бы Г α β мю ≡ ( ∂ 2 ξ ν / ∂ Икс α ∂ Икс β ) ( ∂ Икс мю / ∂ ξ ν ) , а не обычные символы Кристоффеля, использующие метрические производные. Я полагаю , что эквивалентность двух определений символов Кристоффеля использует тот факт, что метрика не имеет производных в локально инерциальной системе отсчета.
@ Алекс Да, отличная мысль. Вайнберг фактически делает это ясным дважды (ну, совершенно ясно один раз (стр. 101) и тонко ясно в другой раз (стр. 74)). Факт, который верен без использования обращения в нуль первых производных, заключается в том, что разность между аффинными связями и символами Кристоффеля является тензором. Обращение этого тензора в нуль можно доказать только с помощью обращения в нуль первых производных.
На стр. 101 Вайнберг говорит, что первые производные метрического тензора должны обращаться в нуль в инерциальных координатах, потому что «не может быть гравитационного красного смещения между бесконечно малыми точками». Я думаю, что это утверждение я хочу понять более строго.

Ответы (1)

Как из принципа эквивалентности следует, что производные метрики обращаются в нуль в свободно падающей системе отсчета?

То, что вы утверждаете, не соответствует действительности. Метрика может иметь всевозможные формы в зависимости от системы координат. Например, если вы используете полярные координаты, то компоненты метрики меняются, а символы Кристоффеля не равны нулю.

Кроме того, системы координат не соответствуют системам отсчета. См. Как работают системы отсчета в общей теории относительности и описываются ли они системами координат?

В частности, если мы находимся в свободно падающей системе координат (т.е. координаты Икс мю являются ξ п мю ), то метрика η мю ν как мы и ожидали, поскольку в системе свободного падения действует специальная теория относительности.

Не правда. Метрика может иметь различные формы в SR в зависимости от вашей системы координат, и заявление о том, что вы хотите использовать свободно падающую систему отсчета, не подразумевает какую-либо конкретную систему координат.

Я считаю, что эта локально инерциальная система отсчета такая же, как «свободно падающая» система отсчета. Это правильно? Т.е. если вы проведете какой-либо физический эксперимент в маленьком лифте в свободном падении, то результаты, которые вы получите (в рамках лифта), точно такие же, как предсказаны специальной теорией относительности и ЭМ, без гравитации.

Да, хотя нет особого смысла говорить «локально инерциальная система отсчета», потому что системы отсчета в ОТО всегда локальны.

Мы могли бы попытаться изменить ваше утверждение так, чтобы оно стало правдой. Если бы мы хотели это сделать, первое, что нам нужно было бы решить, — хотите ли вы ограничить дискуссию плоским пространством-временем. Вы ничего не говорите об этом в вопросе.

Спасибо, Бен. Я отредактировал вопрос, чтобы быть более точным. В частности, локальные инерциальные координаты, о которых я говорю, всегда должны быть декартовыми. И вопрос касается произвольного гравитационного поля, не обязательно плоского пространства-времени.
Как из принципа эквивалентности следует, что производные метрики обращаются в нуль в свободно падающей системе отсчета?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v