О локальной инерциальной системе отсчета и ускорении в общей теории относительности

Предположим, мы выбрали некоторые координаты. Это могут быть любые удобные координаты, такие как Шварцшильд, Гульстранд-Пенлеве, Крускал-Секерес или любые другие. Если мы обозначим ваше положение в этих координатах$(x^0, x^1, x^2, x^3)$то мы можем дважды дифференцировать, чтобы получить ваше ускорение в этих координатах:

$$\frac{d^2x^\alpha}{d\tau^2}$$

Это называется координатным ускорением, и оно в основном такое же, как ускорение, к которому мы привыкли из ньютоновской механики, за исключением того, что мы дифференцируем относительно собственного времени, а не координатного времени, и мы включаем временную координату, т.е. мы включаем$d^2t/d\tau^2$.

Мы также можем записать выражение для кривизны пространства-времени в выбранных нами координатах и, в частности, мы можем вычислить символы Кристоффеля:

$$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$$

Тогда четыре ускорения являются суммой двух членов:

$$A^\alpha = \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} + \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$$

где$\mathbf U$это четыре скорости, выраженные в выбранной нами системе координат. Дело в том, что для свободно падающего наблюдателя, т. е. в инерциальной системе отсчета, четырехкратное ускорение равно нулю, и подстановка этого в уравнение (1) дает нам геодезическое уравнение:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = - \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{2}$$

А траектория вашего свободного падения в выбранных мною координатах как раз и есть решение этого уравнения (2).

Но мы вольны выбирать любую систему координат, которую захотим, и мы можем выбрать координаты, которые делают ваше координатное ускорение равным нулю — это всего лишь ваша система координат. В качестве альтернативы мы можем выбрать координаты, которые делают символы Кристоффеля нулевыми — это нормальные координаты Ферми. Для свободно падающего наблюдателя уравнение (2) говорит нам, что две координаты совпадают, т. е. нормальные координаты Ферми являются координатами покоя свободно падающего наблюдателя.

Это принцип эквивалентности, то есть, изменяя наши координаты, четыре ускорения могут казаться чисто координатными, чисто гравитационными или какой-то их комбинацией.

Итак, если я правильно понимаю ваш вопрос 1, вы имеете в виду тот факт, что локально инерциальная система отсчета является системой координат Ферми, и она действительно меняется по пути, то есть преобразование между моими (стационарными) координатами и вашими (Ферми) координатами изменяется по мере того, как вы падать. Но тогда это, конечно, верно в ньютоновской физике.

Я не уверен, что вы спрашиваете в своем втором вопросе - возможно, вы могли бы уточнить это, - но мне кажется, что вы задаете тот же вопрос в несколько иной форме, поэтому, надеюсь, приведенное выше обсуждение также ответит на ваш второй вопрос.

Представьте себе ряд концентрических тонких, как бумага, луковых шелух (сферических оболочек), окружающих Землю и сосредоточенных в центре масс Земли. Эти скины простираются до центра масс. Есть одна особая оболочка, которая представляет собой поверхность самой земли (предположим, что это совершенная невращающаяся сфера). Свободно падающий наблюдатель не сможет выйти за пределы этой оболочки, и его вес проявится как сила на весах. Каждая оболочка над этой оболочкой будет регистрировать все меньший и меньший вес, если бы можно было прикрепить туда весы. Но без весов наблюдатель в свободном падении ничего не почувствует. В действительности, согласно Эйнштейну, оболочки бесконечно тонкие и сливаются в континуум.

Причина, по которой наблюдатель будет ускоряться, заключается в том, что пространство сходится к центру масс, и ускорение необходимо для сохранения импульса. В Ньютоне пространство не сходится, оно параллельно, поэтому импульс будет поддерживаться с постоянной скоростью. Обратите внимание, что здесь мы рассматриваем только сходящийся вектор, а не любой вектор орбиты, поэтому движение будет по прямой линии к центру масс, а не по геодезической. Также обратите внимание, что ускорение возникает из-за того, что оболочка у ног наблюдателя немного меньше (большее гравитационное притяжение), чем у его головы.