Осмысление канонических антикоммутационных соотношений для спиноров Дирака

При выполнении скалярной КТП обычно накладывают знаменитые «канонические коммутационные соотношения» на поле и канонический импульс:

[ ф ( Икс → ) , π ( у → ) ] "=" я дельта 3 ( Икс → − у → )
в равное время ( Икс 0 "=" у 0 ). Легко (хотя и утомительно) проверить, что это влечет коммутационное соотношение для операторов рождения/уничтожения
[ а ( к → ) , а † ( к → ′ ) ] "=" ( 2 π ) 3 2 ю дельта 3 ( к → − к → ′ )

При рассмотрении дираковского (спинорного) поля обычно (см., например, стр. 107 заметок Тонга или книгу Пескина и Шредера) действовать аналогично (конечно, заменяя коммутаторы антикоммутаторами). Мы постулируем

{ Ψ ( Икс → ) , Ψ † ( у → ) } "=" я дельта 3 ( Икс → − у → )
и из них вывести обычные соотношения для операторов рождения/уничтожения.

Я всегда принимал это и верил расчетам, представленным в вышеупомянутых источниках, но вдруг засомневался: имеют ли эти соотношения вообще какой-либо смысл для поля Дирака? С Ψ является четырехкомпонентным спинором, я действительно не понимаю, как можно понять смысл приведенного выше уравнения: Ψ Ψ † а 4 × 4 матрица, при этом Ψ † Ψ это число?! Должны ли мы вычислять (спинор) компонент за компонентом? Если это так, то я вижу некоторые трудности (в обычных вычислениях нужно тождество, которое зависит от того, что 4-спиноры действительно являются 4-спинорами). Их как-то избегают? Подробное объяснение будет высоко оценено.

В качестве дополнения рассмотрите следующее: Обычно в расчетах встречаются термины, подобные этому:

ты † … а а † … ты − ты … а † а … ты †
Даже если принять, что уравнение типа { Ψ , Ψ † } имеет смысл, большинство источников просто «вытягивают ты ,   ты † из коммутаторов получить (анти)коммутаторы только операторов рождения/уничтожения. Как это оправдано?

РЕДАКТИРОВАТЬ : я только что понял, что правильное соотношение коммутации, возможно, заменяет Ψ † с Ψ ¯ (это может обойти любую проблему, возникающую при покомпонентном расчете). Пожалуйста, не стесняйтесь использовать любой из них в ответе.

Я не уверен, что понял вашу точку зрения. В случае спиноров Дирака правила антикоммутации работают по компонентам (см., например, Peskin & Schroeder p.58):
{ ψ α ( Икс ) , ψ β † ( у ) } "=" дельта α β дельта 3 ( Икс − у )
так что у вас есть матрица 4x4 на RHS. Это был ваш вопрос?
@glance Вычисления покомпонентные ? Для меня это неочевидно («стандартные источники» явно не отображают эти индексы), хотя я уже упоминал об этом как о возможности. Если вы можете выполнить вычисление таким образом (избегая некоторых, возможно, незначительных проблем, которые я предвижу) и опубликовать его как ответ, я был бы более чем счастлив принять его!
См. Peskin and Schroeder eq. 3.86 для проверки того, что отношение является компонентным.
@joshphysics черт возьми , я смотрел на 3.89 и не видел никаких компонентов, и взбесился. Думаю, это решает...
Кто-то должен опубликовать это как ответ! (FWIW я пришел к такому же выводу из заметок Тонга)
@Дану, конечно, но о каких именно вычислениях вы говорите? Вывод правил коммутации для создания/операторов из канонических правил коммутации (ваше первое уравнение) или равновременных (анти) коммутационных отношений (ваше второе)? Кроме того, я считаю, что ссылка в P&S - 3.102, в 3.89 они показывают, что коммутаторы не работают для спиноров Дирака (по крайней мере, в моем издании).
@glance Я думаю, вам следует отдать должное, и просто включите ссылку на P&K в подтверждение вашего комментария. Согласен, что 3.89 не подходит.
@glance получение CCR для операторов создания / уничтожения поля Дирака было бы более чем удовлетворительным.
@joshphysics Конечно, 3,89 - это не расчет для { ⋅ , ⋅ } но это единственный явный расчет, поэтому я и искал там;)
Связано: physics.stackexchange.com/q/17893/2451 и ссылки в нем.

Ответы (1)

Обычно начинают с CCR для операторов создания/уничтожения и выводят оттуда правила коммутации для полей. Однако начать можно и с того, и с другого (см. например здесь об этом). Предположим, что мы хотим начать с одновременных правил антикоммутации для поля Дирака ψ α ( Икс ) :

(1) { ψ α ( Икс ) , ψ β † ( у ) } "=" дельта α β дельта 3 ( Икс − у ) ,
где ψ α ( Икс ) имеет расширение вида
(2) ψ α ( Икс ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 2 Е п ∑ с { с с ( п ) [ ты с ( п ) ] α е − я п Икс + г с † ( п ) [ в с ( п ) ] α е я п Икс }
или более кратко
ψ ( Икс ) "=" ∫ г п ~ ( с п ты п е − я п Икс + г п † в п е я п Икс ) ,

и мы хотим получить CCR для операторов создания/уничтожения:

(3) { а с ( п ) , а с ′ † ( д ) } "=" ( 2 π ) 3 ( 2 Е п ) дельта с с ′ дельта 3 ( п − д ) .
Для этого мы хотим выразить а с ( п ) с точки зрения ψ ( Икс ) . У нас есть:
(4) а с ( к ) "=" я ты ¯ с ( к ) ∫ г 3 Икс [ е я к Икс ∂ 0 ψ ( Икс ) − ψ ( Икс ) ∂ 0 е я к Икс ] "=" я ты ¯ с ( к ) ∫ г 3 Икс е я к Икс ∂ 0 ↔ ψ ( Икс )
(5) а с † ( к ) "=" − я ты ¯ с ( к ) ∫ г 3 Икс [ е − я к Икс ∂ 0 ψ ( Икс ) − ψ ( Икс ) ∂ 0 е − я к Икс ] "=" − я ты ¯ с ( к ) ∫ г 3 Икс е − я к Икс ∂ 0 ↔ ψ ( Икс )
что вы можете проверить, потянув разложение (2) в (4) и (5) . Обратите внимание, что они справедливы для любого Икс 0 на РХС.

Теперь вам просто нужно вставить в антикоммутатор на левой стороне (3) эти выражения и использовать (1) (я могу немного расширить это вычисление, если вам это нужно).

большинство источников просто «вытягивают ты , ты † из коммутаторов получить (анти)коммутаторы только операторов рождения/уничтожения. Как это оправдано?

Существует большая разница между поляризационным спинором ты и оператор создания/уничтожения с , с † .

Для фиксированной поляризации с и импульс п , ты с ( п ) является четырехкомпонентным спинором, а это означает, что ты с ( п ) α е С для каждого α "=" 1 , 2 , 3 , 4 . И наоборот, для фиксированной поляризации с и импульс п , с с ( п ) является оператором в фоковском пространстве . Не просто число, которое заставляет задуматься об (анти)коммутаторах.

Под "двойной стрелкой" ты имеешь в виду ⟺ или две стрелки вправо друг над другом?
Я имею в виду стрелку, указывающую на обе стороны... символ, используемый для обозначения производной справа минус производной слева: в а ∂ ¯ мю б ≡ а ∂ мю б − ( ∂ мю а ) б символ, который обычно используется вместо полосы в ∂ ¯
\overset{\leftrightarrow}{\partial} ∂ ↔
Стрелка с одной линией, указывающая в обе стороны, это \leftrightarrow: ↔ . Вы можете поместить это, используя \overset{up}{down}: ∂ мю ↔ .
Осмысление канонических антикоммутационных соотношений для спиноров Дирака
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v