Как макроскопическая волновая функция строится от нулевого значения до ненулевого значения?

Я опишу здесь общий принцип образования конденсата посредством охлаждения. Этот принцип должен быть по существу справедлив для всех случаев, таких как БЭК, БКШ, сверхтекучесть и т. д.

Приведенное здесь описание относится только к концептуальному уровню игрушечной модели. Детали теоретической и экспериментальной реализации в реалистичном случае гораздо сложнее. Фактическая реализация может значительно различаться между различными случаями и между экспериментальными методами.

Для системы со спонтанным нарушением симметрии основное состояние макроскопического конденсата является когерентным состоянием; см., например, рассуждения, приведенные в разделе 2 следующей работы Юлакова, в случае конденсации Бозе-Эйнштейна. В этом описании макроскопическая волновая функция является собственным значением оператора поля$\hat{\Psi}(\mathbf{r})$:

$$\hat{\Psi}(\mathbf{r}) |\Phi \rangle = \psi(\mathbf{r}) |\Phi \rangle$$

$|\Phi \rangle$является макроскопическим основным состоянием, и$\psi(\mathbf{r})$— макроскопическая волновая функция.

Таким образом, формально макроскопическое состояние можно записать как:

$$|\Phi \rangle = e^{\int \psi(\mathbf{r}) a^{\dagger}(\mathbf{r})) dr} |0 \rangle$$

Где$|0 \rangle$нерушимый вакуум и$a^{\dagger}(\mathbf{r})$операторы создания в локации$\mathbf{r}$(конечно, это уравнение является теоретико-полевым обобщением одномодового когерентного состояния:$e^{\alpha a^{\dagger}}|0 \rangle$.

Процесс охлаждения должен преобразовать состояние системы из теплового состояния в когерентное состояние, описанное выше. Конечно, динамика процесса охлаждения не может быть гамильтоновой, поскольку гамильтонова динамика не может перевести смешанное состояние в чистое. Однако динамика процесса охлаждения может быть аппроксимирована динамикой Линдблада , которая обобщает динамику Шредингера в случае открытых или стохастически управляемых систем. Динамика Линдблада может описывать рассеяние, а также описанный выше процесс очищения. Полные детали в нашем случае могут зависеть от метода охлаждения и конкретной системы и могут быть довольно сложными. Поэтому ниже я опишу этот процесс в принципе в случае одной моды: Как тепловое состояние превращается в когерентное состояние:

В динамике Линдблада эволюция оператора плотности определяется выражением:

$$\dot{\rho} = \frac{i}{\hbar} [H, \rho] + \mu L \rho L^{\dagger} - \frac{1}{2} \{ L^{\dagger} L, \rho \}$$ Это уравнение сохраняет след матрицы плотности в точке 1. Первый член является обычным гамильтоновым членом. Оператор $L$является оператором Линдблада. В нашем случае выбор оператора Линдблада управляет диссипацией или очисткой. В случае, когда гамильтониан является линейным $$H = - i (\bar{\lambda} a - \lambda a^{\dagger})$$

а оператор Линдблада выбран в качестве оператора уничтожения$L=a$, система Линдблада переходит в когерентное состояние$e^{\alpha a^{\dagger}}$, с$\alpha = \frac{2 \lambda}{\mu}$из каждого начального состояния, в котором он начинается.

Следующая работа Барнетта подробно объясняет вышеуказанный момент. Он объясняет также устойчивость когерентного состояния по сравнению с числовыми состояниями.

Свойство некоторых операторов Линдблада заставлять динамику сходиться к когерентному состоянию является общим и не ограничивается описанным выше одномодовым случаем.

Теперь, в процессе эволюции, матрица плотности интерполирует между начальным тепловым состоянием и конечным когерентным состоянием. Барнетт выбирает верность:

$$F = \langle \Phi_{\infty} | \rho(t) |\Phi_{\infty} \rangle$$

в качестве меры этого процесса очистки ($|\Phi_{\infty} \rangle$является устойчивым состоянием.). В нашем случае точность начинается с очень малого числа для теплового напряжения и достигает единицы, когда система становится полностью конденсатной.

Как я упоминал ранее, в фактической реализации процесса охлаждения есть много других подробностей, пожалуйста, смотрите следующую презентацию для получения дополнительной информации.