Как мне представить себе спинорный коммутатор или последовательные вхождения Ψ¯Ψ¯\bar{\Psi} и ΨΨ\Psi вообще?

Мне трудно понять такое выражение, как

[ Ψ ( Икс ) , Ψ ¯ ( у ) ] .
До сих пор я представлял спинорный оператор чем-то вроде вектор-столбца операторов, чем-то вроде
Ψ "=" ( Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3 Ψ 4 ) .
И аналогичным образом сопряженное Дирака будет
Ψ ¯ "=" ( Ψ ¯ 1 Ψ ¯ 2 Ψ ¯ 3 Ψ ¯ 4 ) .
Однако, когда я вижу термины, содержащие операторы или коммутаторы, все операторы просто записываются один за другим без каких-либо указаний на то, что это означает с точки зрения их матричных структур. Для операторов только с одним «компонентом» это работает нормально, поскольку можно определить что-то вроде умножения без особых проблем. Однако с коммутатором:
[ Ψ , Ψ ¯ ] "=" Ψ Ψ ¯ − Ψ ¯ Ψ ,
если я предполагаю, что карта между двумя последовательными операторами является матричным умножением, каждый дает 4 × 4, в то время как другой дает только один компонент.

Как я должен думать о чем-то, написанном таким образом? Или это означает, что любое уравнение, включающее спинор, должно интерпретироваться только по компонентам?

Вы имеете в виду спинорный антикоммутатор?
Да, справа есть два неявных спинорных индекса. Точно так же, как поля также зависят от позиции, но вы обычно не пишете два аргумента позиции справа, они опущены для краткости.
@CosmasZachos Я только что написал коммутатор, чтобы привести пример, я мог бы задать тот же вопрос об антикоммутаторе.
Почему же тогда вы не использовали векторные или изоспиновые бозонные поля?
@CosmasZachos Мы еще не изучали поля изоспиновых бозонов в курсе, и векторные поля не имеют такой же проблемы, потому что индексы ( мю ν и так далее) явно используются все время. Я столкнулся с вопросом при чтении раздела в peskin & schröder, где они пытаются использовать коммутатор для квантования (и потом вижу, что это не работает). ТС, я не вижу здесь проблемы. Вопрос не станет лучше/хуже, если я спрошу о коммутаторе вместо антикоммутатора, хотя антикоммутатор используется гораздо чаще.

Ответы (1)

При вычислении коммутаторов (или, чаще, антикоммутаторов) фермионных операторов, подобных этому, вы всегда вычисляете (анти-) коммутаторы конкретных компонент полей. Это делает результаты однозначными.

Например, вы можете с помощью вычислить { ψ ¯ α ′ , ψ β } . Это объект с остатком ( α , β ) индексы, поэтому он представляет собой матрицу в спинорном пространстве. Например, если вы вычисляете что-то вроде { ψ α † ( Икс → ) , ψ β ( Икс → ′ ) } , вы найдете компоненты 4 × 4 матрицы, диагональные в спинорном пространстве, дельта α β дельта 3 ( Икс → − Икс → ′ ) . [Помните, что ψ α † может быть дополнительно расширен как ψ ¯ мю ( γ 0 ) мю α .]

Как мне представить себе спинорный коммутатор или последовательные вхождения Ψ¯Ψ¯\bar{\Psi} и ΨΨ\Psi вообще?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v