Как мне работать со спиновым состоянием с помощью сигма-оператора?

Приложение 1:

Это$z$-компонента векторного углового момента, наблюдаемого для спина$\frac{1}{2}$частица, когда базисные состояния$z$-компонентные собственные состояния углового момента. Если это звучит несколько кругообразно и тавтологично, это причина, по которой$\sigma_z$является диагональным .

Итак$n^{th}$момент распределения вероятности измерения углового момента в$z$направление$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_z^n| s\rangle$.

Неудивительно, что$n^{th}$моменты распределения вероятностей измерения углового момента в$x$и$y$направления$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_x^n| s\rangle$и$\frac{\hbar}{2}\langle s|\sigma_y^n| s\rangle$, соответственно.

Приложение 2:

Когда основание Минковского (или Евклидова) пространства вращается, наши пространственные координаты$\vec{x}$трансформировать по правилу$\vec{x}\mapsto R(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)\,\vec{x}$, где матрица вращения:

$$R(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)=\exp\left(\theta\left(i\,\gamma_x\,S_x+\gamma_y\,S_y+\gamma_z\,S_z\right)\right)\tag{1}$$

где$\theta$угол поворота и$\gamma_i$направляющие косинусы оси вращения. Группа, действующая на пространственные векторы, есть$SO(3)$а базисные векторы ее алгебры Ли таковы:

$$i\,S_x = \left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right);\quad i\,S_y = \left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}\right);\quad i\,S_z = \left(\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\tag{2}$$

При этом квантовое спиновое состояние$\psi$, когда он выражается как$2\times 1$вектор-столбец в$z$-компонентный базис собственного состояния углового момента, как мы это делали в приложении 1, преобразуется по образу$R$под проективным или спинорным представлением (обсуждается в моем ответе здесь ), как$\psi\mapsto\Sigma(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z)\,\psi$где:

$$\Sigma(\theta,\,\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z) = \exp\left(i\,\frac{\theta}{2}\left(\gamma_x\,\sigma_x+\gamma_y\,\sigma_y+\gamma_z\,\sigma_z\right)\right)\tag{3}$$

Приложение 3:

Если спин$\frac{1}{2}$частица с магнитным моментом погружена в классическое магнитное поле с индукционными составляющими$B_j$, то оператор временной эволюции квантового состояния, обсуждавшийся в приложении 1, определяется следующим образом:

$$\psi(t) = \exp\left(i\,g\,\left(B_x\,\sigma_x+B_y\,\sigma_y+B_z\,\sigma_z\right)\,t\right)\,\psi(0)\tag{4}$$

где$g$- гиромагнитное отношение частицы. Итак, гамильтониан здесь$\hat{H}=-i\,\hbar\,g\,\left(B_x\,\sigma_x+B_y\,\sigma_y+B_z\,\sigma_z\right)$

Блох Сфера

Сфера Блоха - это неинъективное (здесь теряется информация об общем фазовом факторе) представление нашего квантового состояния.$\psi$в повседневном евклидовом трехмерном пространстве. Операторы вида (3) или (4) живут в группе$SU(2)$. Аккуратный способ сделать векторный анализ в 3-х измерениях состоит в том, чтобы представить вектор с декартовыми координатами$x,\,y,\,z$как матрица в алгебре Ли всех$2\times 2$косоэрмитовы матрицы:

$$X=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto \tilde{X}=-i\,(x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z)\tag{5}$$

Тогда действие вращения может быть эквивалентно описано выражением$X\mapsto\,R\,X$или по так называемому спинорному отображению$\tilde{X}\mapsto\Sigma\,\tilde{X}\,\Sigma^{-1}=\Sigma\,\tilde{X}\,\Sigma^\dagger$где$R$и$\Sigma$— операторы в (1) и (3) соответственно. Одним из преимуществ этого является то, что векторное векторное произведение становится скобкой Ли, а затем скалярное произведение является просто скалярным произведением следа (Фробениуса). Возвращаясь обратно: если вы готовы игнорировать постоянные фазовые члены в квантовом состоянии в Приложении 1, то чистое квантовое состояние может быть представлено его$2\times 2$матрица плотности$\rho=\psi\,\psi^\dagger$. Когда квантовые состояния преобразуются унитарно, как в (3) или (4), матрица плотности претерпевает спинорное отображение$\rho\mapsto\Sigma\,\rho\,\Sigma^\dagger$, поэтому, думая о (5) в обратном порядке, мы можем представить матрицу плотности как вектор с тремя декартовыми компонентами, и он подвергнется соответствующему жесткому вращению. Таким образом, этим процессом пространство матриц плотности отображается на 2-сферу. Фактически, вы вычисляете декартовы компоненты точки на сфере через:

$$x_j=\psi^\dagger\,\sigma_j\,\psi=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(\sigma_j\,\rho)\tag{6}$$

Из (6) видно, что любой общий фазовый множитель$e^{i\,\phi}$умножение$\psi$не изменит точку на сфере Блоха. Я больше говорю о сфере Блоха, называемой сферой Пуанкаре в оптике, в этом ответе здесь .

$\vert+\rangle$и$\vert-\rangle$на самом деле просто сокращенные обозначения для двух собственных векторов оператора диагонального спина$\sigma_z$. Это означает конкретно:

$$\vert+\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\vert-\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Поэтому действие оператора сигма дает вам просто соответствующее собственное значение:

$$\sigma_z \vert+\rangle = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =+1 \vert+\rangle$$

$$\sigma_z \vert-\rangle = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =-1 \vert+\rangle$$

Это общий результат квантовой механики, не зависящий от каких-либо приложений в контексте физики твердого тела или чего-то подобного.

$\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}$Произвольное спиновое состояние$\ket{s}$можно разложить как сумму$\ket{+}$и$\ket{-}$собственные состояния:

$$\ket{s} = \alpha \ket{+} + \beta \ket{-}$$ Где $\alpha$и $\beta$являются комплексными числами. Мы запишем общий вектор как: $$\ket{s} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$ Где мы помним, что первый элемент означает $\ket{+}$компонент, а второй означает $\ket{-}$. В этом базисе матрицы Паули имеют стандартный вид: $$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1& 0 \\0 &-1 \end{pmatrix}$$ Продукт $\sigma_z \ket{s}$теперь это просто вопрос умножения матрицы на вектор.