Вращение вверх и вниз ортогональны, а не антипараллельны.

Question

Вращение вверх и вниз ортогональны, а не антипараллельны.

пользователь310291

В обычных системах координат (всех, с помощью которых вы решаете простую задачу ньютоновской механики) верх и низ — это + и — z. Вектор, направленный вверх, и вектор, направленный вниз, антипараллельны.

Но в qm у нас есть восходящие и нисходящие спиноры и ортонормированный базис. Эти базисные векторы также называются положительным и отрицательным угловым моментом вращения z. Я понимаю математику того, как спиноры, такие как (1,0) и (0,1), ортогональны. Я также вижу, как их можно выразить как суперпозицию спиноров x и y, используя комплексные числа, так что двухкомпонентный спинор может представлять величины в трех измерениях. (это немного похоже на то, что я изучал о группах симметрии, таких как SU (1), поэтому, если это имеет отношение к решению, я ценю обсуждение, но если это не связано, пожалуйста, не утруждайте себя исправлением каких-либо огромных ошибок в этом предложении. потому что я еще не пробовал полностью изучить его самостоятельно).

Мой вопрос таков: какова интуиция, говорящая, что спины вверх и вниз ортогональны?

Фробениус

Не строго по теме: Понимание сферы Блоха .

Откровенный

Мне нравится, как сформулирован этот вопрос, и я сам часто думал об этом. Я всегда думал, что это возникло из-за того, как электрон принимает «состояния» в зависимости от ориентации «измерения». Что это принципиально разные состояния (вверх и вниз). Идея ортогональности для меня была просто способом подчеркнуть это понятие.

Ответы (3)

Вращение вверх и вниз ортогональны, а не антипараллельны.

Не строго по теме: Понимание сферы Блоха .
Мне нравится, как сформулирован этот вопрос, и я сам часто думал об этом. Я всегда думал, что это возникло из-за того, как электрон принимает «состояния» в зависимости от ориентации «измерения». Что это принципиально разные состояния (вверх и вниз). Идея ортогональности для меня была просто способом подчеркнуть это понятие.

Томас Фрич · Answer 1

Вам нужно различать ортогональность в спинорном пространстве ( $\mathbb{C}^2$ ) из ортогональности в векторном пространстве ( $\mathbb{R}^3$ ). Пространства разные, поэтому скалярное произведение и ортогональность в этих пространствах имеют совершенно разный смысл.

Пример:

Два спинора

| ↑ ⟩ "=" (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

$|\uparrow\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ и

| ↓ ⟩ "=" (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

$|\downarrow\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ ортогональны друг другу, потому что их скалярное произведение равно нулю:

⟨ ↑ | ↓ ⟩ "=" 0

$\langle\uparrow|\downarrow\rangle=0$

Ожидаемые значения вектора спина $\vec{S}=\frac{\hbar}{2}\vec{\sigma}$ (где $\vec{\sigma}$ вектор Паули $\vec{\sigma}=\sigma_x\hat{x}+\sigma_y\hat{y}+\sigma_z\hat{z}$ ) для этих двух спиноров:

{\vec{С}}_{↑} "=" ⟨ ↑ | \vec{С} | ↑ ⟩ "=" \frac{ℏ}{2} ⟨ ↑ | \vec{о} | ↑ ⟩ "=" + \frac{ℏ}{2} \hat{г}

$\vec{S}_\uparrow = \langle\uparrow|\vec{S}|\uparrow\rangle = \frac{\hbar}{2}\langle\uparrow|\vec{\sigma}|\uparrow\rangle = + \frac{\hbar}{2} \hat{z}$ и

{\vec{С}}_{↓} "=" ⟨ ↓ | \vec{С} | ↓ ⟩ "=" \frac{ℏ}{2} ⟨ ↓ | \vec{о} | ↓ ⟩ "=" - \frac{ℏ}{2} \hat{г}

$\vec{S}_\downarrow = \langle\downarrow|\vec{S}|\downarrow\rangle = \frac{\hbar}{2}\langle\downarrow|\vec{\sigma}|\downarrow\rangle = - \frac{\hbar}{2} \hat{z}$

Эти два вектора антипараллельны друг другу. Их скалярное произведение $\vec{S}_\uparrow \cdot \vec{S}_\downarrow$ не равен нулю.

Итак, хотя спиноры ортогональны, результаты применения к ним спинового оператора антипараллельны, верно? И что дает имена вдоль и поперек?
@Thomas Fritsch, что значит $\langle\downarrow|\vec{S}|\uparrow\rangle$ равно?
@MichaelLevy Это не имеет интуитивного смысла. Это просто странный «вектор» с некоторыми сложными компонентами: $\frac{\hbar}{2}(\hat{x}+i\hat{y})$

пользователь1379857 · Answer 2

Внутренний продукт двух векторов спина не является пространственным перекрытием. Скорее, $|\langle \psi_1 | \psi_2 \rangle |^2$ есть вероятность измерения состояния в $| \psi_2 \rangle$ если он изначально в $|\psi_1 \rangle$ . Следовательно, если состояние раскручивается, $(1,0)$ , то у вас есть $0\%$ шанс измерения его вращения вниз, $(0,1)$ .

пользователь310291 · Answer 3

Дополнение к ответу Томаса Фрича, которое устраняет большую часть первоначальной путаницы: вы измеряете собственное значение оператора, действующего на состояние, а не собственный вектор для состояния. Соответствующий оператор спина на собственном векторе явно дает желаемые антипараллельные собственные значения, а собственные векторы - это просто векторы, которые ведут себя желаемым образом без столь же прямой геометрической интерпретации (обсуждается здесь ).

Некоторая интуиция для ортогональности такова: спин z, наблюдаемый при измерении, должен быть +- 1/2, он не может быть равен нулю. Ортогональность указывает на то, что тело, вращающееся вверх, не нужно выражать в нетривиальной сумме «верхности» и «низкости». Оно выражается исключительно как направленность вниз и имеет нулевую направленность вверх. Это указывает на ортогональность.

Вращение вверх и вниз ортогональны, а не антипараллельны.

пользователь310291

Фробениус

Откровенный

Ответы (3)

Томас Фрич

пользователь310291

Томас Фрич

Майкл Леви

Томас Фрич

пользователь1379857

пользователь310291

Общее определение вектора, спинора и спина

Почему в нерелятивистской квантовой механике возникает спин?

Как мне работать со спиновым состоянием с помощью сигма-оператора?

Различные определения спиноров

Триплетные состояния, состояния Дике и симметричные состояния со спином 1

Нахождение собственных состояний вращения вверх/вниз в произвольном направлении

Спиноры и вероятности электрон-позитронной пары

Эволюция собственных состояний при соединении двух спиновых систем

Тождество матриц Паули

Вращения собственных состояний SzSzS_z