Почему в нерелятивистской квантовой механике возникает спин?

В квантовой механике$\overrightarrow L$оператор и связанные с ним наблюдаемые$L^2$а также$L_z$уже существовало в нерелятивистской КМ. Собственные функции$L^2$а также$L_z$– сферические гармоники, а собственные значения –$\hbar^2l(l+1)$а также$\hbar m$соответственно. значения$l$могут быть целыми (соответствующими сферическим гармоникам) и полуцелыми (соответствующими расходящимся решениям дифференциального уравнения). Учитывая значение$l$, допустимые значения$m$пошел от$-l$к$l$в целых шагах, всего$2l+1$вырождение.

Вы можете использовать тот факт, что экспериментальные наблюдаемые связаны с операторами углового момента. В частности, энергия диполя в магнитном поле пропорциональна$L_z$. Когда проводились эксперименты с водородом, они наблюдали ряд эффектов, указывающих на то, что у электронов есть спин. Во-первых, электроны занимали водородные орбитали (и другие атомные орбитали) попарно. Принцип запрета Паули запрещает электронам занимать одно и то же состояние, но если вы добавите новое квантовое число с двумя состояниями, вы сможете объяснить поведение периодической таблицы. Опыты с Водородом в магнитных полях показали, что уровни энергии расходятся. Было ожидаемое поведение движущегося заряда, создающего магнитный диполь. Это приводило к нечетным расщеплениям энергетических уровней (как и ожидалось для движущихся электронов в сферических гармонических состояниях). Но были и расщепления энергетических состояний, которые производили равномерный эффект. Последний эффект, о котором стоит упомянуть, и тот, который действительно демонстрирует, что у электронов есть собственный спин.$\frac{1}{2}\hbar$заключается в том, что если вы направите пучок катодных лучей через магнитное поле, он разделится на два луча в направлении магнитного поля, что указывает на то, что электрон был магнитным диполем только с двумя спиновыми состояниями.

Эти и некоторые другие наблюдения приводят физиков к выводу, что электроны обладают собственным угловым моментом величиной$\frac{1}{2}\hbar$.

Интересна связь между «орбитальным угловым моментом» и «собственным вращением».

Я предполагаю, что вы знаете что-то о теории представлений. Хорошее место для начала здесь .

Подумайте о гамильтониане атома водорода.

Без учета спина волновая функция электрона (в позиционном базисе) есть просто функция$\psi: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{C}$. Группа вращений в трех измерениях,$SO(3)$, естественно действует на функции этого вида. А именно, для матрицы$R \in SO(3)$, действие задается

(Обратное необходимо, потому что$SO(3)$не абелева.) В моем уравнении выше$U$это карта, которая принимает элементы$SO(3)$, которые являются специальными ортогональными матрицами$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, к элементам, которые действуют на наше пространство состояний. Если мы назовем наше пространство состояний$\mathcal{H}$, тогда$U(R) : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. более того$U(R)$является унитарным, потому что$U(R) \psi$имеет ту же норму, что и$\psi$.

Это, конечно, представление$SO(3)$на нашем государственном пространстве. Неудивительно, что теория представлений так важна для квантовой механики. Пространства состояний в квантовой механике — это векторные пространства. Когда группа действует в пространстве состояний, она, следовательно, действует в векторном пространстве. Это все, чем является теория представлений!

Вот что интересно: для всех$R \in SO(3)$, у нас есть

Другими словами, гамильтониан инвариантен относительно вращений.

В настоящее время,$U$является представлением, но не неприводимым представлением. Мы можем разбить векторное пространство$\mathcal{H}$на подпространства такие, что$U(R)$действует как неприводимое представление на каждом подпространстве. Мы будем называть эти подпространства$\mathcal{H}_n$.

Дело в том, что$[\hat H, U(R)] = 0$имеет два важных следствия (которые, я полагаю, на самом деле не отличаются друг от друга).

1. Если$\psi$это определенное энергетическое состояние с энергией$E$, тогда$U(R) \psi$также является определенным энергетическим состоянием с энергией$E$. Это можно увидеть с помощью следующего простого расчета:

   $$\hat H U(R) \psi = U(R) \hat H \psi = U(R) E \psi = E U(R) \psi$$

   Это также означает, что после временной эволюции состояние живет в определенном неприводимом представлении, тогда после временной эволюции оно все еще будет в том же самом представлении. Если состояние живет в конкретном представлении$\psi \in \mathcal{H}_n$тогда$U(R) \psi \in \mathcal{H}_n$также. Это состояние в представлении после эволюции во времени следует из того факта, что эволюция во времени задается операторами$e^{-i \hat H t / \hbar}$.

2. $\hat H$должен действовать как константа на каждом$\mathcal{H}_n$. Другими словами, все векторы в каждом неприводимом подпространстве$\mathcal{H}_n$все должны быть собственными векторами$\hat H$с тем же собственным значением. Таким образом, все векторы в$\mathcal{H}_1$являются собственными векторами$\hat H$с собственным значением$E_1$, все векторы в$\mathcal{H}_2$являются собственными векторами$\hat H$с собственным значением$E_2$и т. д. Это всего лишь лемма Шура.

Теперь вы можете спросить себя: «Ну, это здорово, но каковы нередуцируемые репрезентации$\mathcal{H}$? Что$\mathcal{H}_n?$Ответ заключается в том, что неприводимые представления нашего пространства состояний — это просто сферические гармоники (умноженные на соответствующую радиальную функцию, чтобы сделать их энергетическими собственными состояниями).

Это неудивительно. Если взять некоторую линейную комбинацию сферических гармоник определенного$l$

и поверните аргументы, все, что изменится, это$a_i$с! Это и есть сферические гармоники . Это самый простой способ увидеть, что они являются репрезентациями$SO(3)$.

Так хорошо. Позволяет сделать резервную копию. Представления нашего пространства состояний разбиваются на эти сферические гармоники, которые будут собственными пространствами нашего оператора энергии.

Оказывается, неприводимые представления$SO(3)$может быть помечен нечетным числом, которое является размерностью представления. За$\mathcal{H}$, каждое из этих неприводимых представлений присутствует ровно один раз без повторений. Собственное пространство с наименьшей энергией будет тривиальным представлением. Следующее собственное пространство будет трехмерным. Следующий будет 5-мерным и так далее. Вы можете узнать$1, 3, 5, 7, \ldots$как число электронов на каждой суборбитали атома. (Ну, умножьте их на 2, чтобы учесть спиновое вырождение!)

Хорошо, это объясняет, почему представления$SO(3)$должно быть важным в квантовой механике. Позвольте мне теперь объяснить, какое это имеет отношение к угловому моменту.

Оператор$\hat L^2$также будет ездить с$U(R)$. Итак, история, которую мы развернули о том, что происходит, когда$\hat H$коммутирует с$U(R)$применимо и здесь.

Но на самом деле их больше. Не случайно,$\hat L_x$,$\hat L_y$а также$\hat L_z$являются генераторами _$U(R)$(в смысле алгебры Ли). То есть,

представляет собой вращение вокруг$x$-ось на угол$\theta$, и так далее.

Итак, после всего этого изложения, вот какое отношение орбитальный угловой момент имеет к вращению:$SO(3)$сам по себе является просто представлением$SU(2)$. (Это представление со спином 1.) Следовательно, любая система с$SO(3)$симметрия нарушится так же, как если бы она была$SU(2)$симметрия. Коммутационные соотношения$\hat L_i$такие же, как и для алгебры Ли$SU(2)$. Короче говоря, это просто очень похожие вещи.

Я думаю, что я выдохся в конце, но я надеюсь, что это помогло.

Неспециально релятивистская КМ является - для свободной частицы - инвариантом Галилея. Спин появляется как один из Казимиров алгебры Галилея, когда он представлен существенно самосопряженными операторами в его области Гординга в сепарабельном инф-мерном пространстве. Гильбертово пространство. Работа Баргманна (1954) и Леви-Леблона в 1960-х годах не требует пояснений (более подробную информацию см. в другом ответе ниже).

Прошу прощения, что мой первоначальный ответ был краток. Теперь я могу расширить: первое теоретическое объяснение понятия квантового спина было в контексте специальной теории относительности (Dirac 1928 — две статьи в PRSL). Только после того, как теория групп благодаря работам Германа Вейля и Юджина Вигнера стала естественной математической средой для рассмотрения симметрий в квантовой механике, люди поставили под сомнение фундаментальные симметрии пространства-времени. Поскольку КМ по своей сути не является специально релятивистской, только в 1954 г. (в более широком контексте) первый анализ проективных представлений группы Галилея был сделан Валей Баргманн ( http://www.jstor.org/stable/1969831 ).). Затем была работа Джорджа Макки, заложившая правильную математическую основу для работы Баргмана (серия статей), и, наконец, что не менее важно, статья Леви-Леблона «Группа Галилея и нерелятивистская квантовая механика» (Journal of Mathematical Physics, том 4, выпуск 6, стр. 776-788, 10.1063/1.1724319), в котором особое внимание уделяется теоретическому объяснению квантового спина.