Различные определения спиноров

Вас немного смущает формулировка в Cohen-Tannoudji et al. А именно, это не функция $[\varphi]: \mathbf R^3 \to \mathbf R^2$то, что называется спинором, это его значение в конкретной точке, два числа$[\varphi](\mathbf r)\in\mathbf C^2$. Таким образом, спинор даже не является элементом$L^2(\mathbf R^3)\times L^2(\mathbf R^3)\equiv L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathbf C^2$: это просто элемент$\mathbf C^2$! Это даже проще, чем вы думаете. Функция$[\varphi]$тогда правильно называется спинорной волновой функцией , в отличие от более распространенных скалярных волновых функций.

^{Однако в квантовой механике люди до сих пор часто называют эти объекты спинорами, а не волновыми функциями со значениями спинора. Это короче и удобнее, но вы должны помнить, что это не более чем злоупотребление терминологией . В противном случае это укусит вас позже в теории поля, где у вас будут спинорные поля — спиноры, определенные в каждой точке пространства (времени) — в том же смысле, что векторный потенциал$\mathbf A(\mathbf r)$является векторным полем. Теория поля даже не обязательно должна быть квантовой : подойдет и классическая.}

Теперь, когда мы понимаем, что спинор — это два числа, к чему вся эта математическая возня? На то есть веская причина. Это действительно два числа, но не просто два числа; представление об этом как о двух числах не поможет вам понять, что происходит. Например, вектор — это три числа, но это не те три числа, которые вы представляете, когда говорите о векторах: это стрелки в (евклидовом) пространстве. Стрелки имеют смысл независимо от того, решите ли вы рисовать систему координат в пространстве или нет. И, например, с каждой стрелкой связана длина, число, которое также имеет смысл независимо от того, какая у вас система координат, а может и нет.

Но если он у вас есть,$K$, любой вектор можно описать тремя числами: например,$(x\;y\;z)$. Если у вас есть еще один,$K'$, вы можете получить три разных числа,$(x'\;y'\;z')$. Некоторые числа равнее других:* «длина$\mathbf v$имеет смысл при отсутствии системы координат, но$x$координата$\mathbf v$” не делает. Однако, как только у вас есть координаты вектора в определенной системе$K$, можно сказать какими они будут в любом другом$K'$, последовательно : то есть преобразование из$K$к$K'$а потом из$K'$к$K''$это то же самое, что преобразование из$K$к$K''$напрямую. И трансформация линейная.

Мы, конечно, знаем причину этого: это просто стрелки в пространстве, так что последовательность очевидна. Однако предположим, что мы забыли о стрелках и оставили только координаты. Тогда мы могли бы сделать вывод о существовании геометрических стрелок из того факта, что у нас есть эти правила алгебраического преобразования. Теперь обобщите и скажите, что любой непротиворечивый набор правил определяет геометрический объект. (Для удобства оставьте линейность.) Какие еще объекты мы можем придумать? Ну, шесть чисел$(x_1\;y_1\;z_1\;x_2\;y_2\;z_2)$полученный из любых двух векторов$\mathbf v_1$и$\mathbf v_2$, но это как бы очевидно, поэтому мы хотели бы рассмотреть вещи, которые не строятся из таких более простых. Вращение выглядит красиво: оно имеет геометрический смысл и в то же время описывается (девятью) числами, удобно сложенными в матрицу. (Он трансформируется как$A' = SAS^{-1}$когда$v' = Sv$, конечно.) Оказывается, есть удобный способ говорить обо всех этих объектах с хорошим поведением.

Какое это имеет отношение к квантовой механике? Все. Если состояние частицы в каждой точке$\mathbf r$в пространстве описывается комплексным числом$\psi(\mathbf r)$, это число, конечно, не меняется при преобразовании координат. Гильбертово пространство$\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)$. Но что, если в каждой точке имеется более одной «внутренней» степени свободы? Сказать$2s+1$из них? Затем$\mathscr H = L^2(\mathbf R^3)\otimes\mathscr I$и есть "внутреннее" пространство$\mathscr I =\mathbf C^{2s+1}$. Они должны (1) смешиваться друг с другом при преобразовании координат; в противном случае это просто несколько простых частиц, собранных вместе, а не одна сложная. Смешайте (2) последовательно, (3) линейно и (4) норма волновой функции не изменится. Вот оно, неприводимое (1) унитарное (4) линейное (3) представление (2) группы вращения$\mathrm{SO}(3)$на$\mathscr I$. Теория представлений говорит вам, что существует одно такое представление для$s = 0, 1, 2,\ldots$и так далее, но не для$s=1/2$! Где спиноры?

Оказывается, мы упустили тонкий, но важный момент. Вы не уберете свои топоры внезапно и не поставите их обратно: вы постоянно меняете их . Внутренние степени свободы$\mathscr I$нужно определенным образом преобразовывать заданный процесс вращения, а не только его «конечные точки». Но если я деформирую этот процесс , сохраняя конечные точки фиксированными, результат должен остаться прежним. Теперь все процессы вращения с фиксированными конечными точками могут быть преобразованы друг в друга? Если да , то мы ничего не выиграли. Но оказывается, что нет : ничего не делать — это то же самое, что дважды повернуться вокруг неподвижной оси, но не то же самое , что повернуться один раз .

^{Почему дважды? Легкий. Вращение (непрерывно) на 360° вокруг рассматриваемой оси, а затем на 360° вокруг оси, указывающей в противоположном направлении: это явное тождество. Вращение на 360° вокруг заданной оси, а затем снова на 360° вокруг нее: это вращение на 720°. Но два процесса могут трансформироваться один в другой, перемещая ось второго поворота на 360°!}

Разговоры о процессах сильно напоминают картину интегрирования по «кривой в пространстве вращения». Соответствующей математикой является теория алгебр Ли . И то, что вам нужно, это не представление группы$\mathrm{SO}(3)$«больших» вращений, а представление алгебры$\mathfrak{so}(3)$из «бесконечно малых». [ Вот что имеют в виду физики, когда говорят о «(бесконечно малых) генераторах группы».] И, как мы видели, их больше . Точнее, кроме тех, у кого$s = 0,1,2,\ldots$вы также получаете по одному для каждого из$s = 1/2,3/2,\ldots$. Также оказывается, что операторы (сохраняющегося) углового момента тесно связаны с алгеброй Ли ассоциированной симметрии , то есть с поворотами, о которых мы все время говорили.

^{В релятивистской теории соответствующая симметрия - это большая алгебра Лоренца.$\mathfrak{so}(3,1)$, поэтому релятивистские спиноры имеют четыре компонента, как и четыре вектора. В одиннадцати измерениях векторы имеют одиннадцать компонентов, а спиноры — тридцать два . Так что они не всегда «меньше».}

Наконец, теперь, когда мы восстановили спиноры, что случилось с алгебрами Клиффорда и спиновыми группами? Вспомните два неэквивалентных процесса вращения между каждой парой конечных точек в$\mathrm{SO}(3)$? Оказывается, их всегда двое.$\mathrm{SO}(n)$для$n\ge 3$, поэтому мы можем посмотреть, как эти процессы складываются по модулю эквивалентностей . (Чтобы составить два процесса, сделайте первый, а затем второй.☺) Результат (для$n\geq 3$, и аналогично для групп Лоренца) в точности$\mathrm{Spin}(n)$. Я не знаю простой мотивации ^† для связи с алгебрами Клиффорда [приветствуются правки!], но вы доберетесь до нее, как только поймете картину алгебры Ли. Сами алгебры Клиффорда на самом деле являются довольно простыми объектами, и их можно легко мотивировать, взяв квадратный корень из лапласиана ; просто непонятно, почему вы получаете спиноры таким образом.

^{* Скотный двор , конечно.
† Более того, я не знаю, почему квадратичные элементы алгебры Клиффорда образуют представление соответствующей ортогональной алгебры. Помимо «просто подсчитайте», т.е.}

Вы можете записать свою спинорную волновую функцию как:

Однако такая форма может не четко отражать действие при вращении. Например, вы выбрали определенную основу, чтобы написать это так.

Если бы вместо этого вы начали с алгебры Клиффорда, то ваши точки уже могли бы быть векторами, а ваше поле могло бы иметь скалярное значение, векторное значение или даже многовекторное значение (возьмите значения, которые являются любым мультивектором или любым элементом алгебры Клиффорда).

Почему это преимущество. Когда вы говорите, как вы делаете что-то из своих частей, и знаете, что делают ваши части, тогда вы понимаете, что делает вещь, которую вы сделали.

Итак, если у вас есть эталонный бивектор, такой как$e_1e_2$для двух ортогональных пространственноподобных векторов$e_1$и$e_2$тогда ваш спинор может быть мультивектором, который увеличивает и вращает эту опорную пространственноподобную плоскость, чтобы описать любую плоскость в любой пространственноподобной гиперплоскости.

Таким образом, ваш спинор может быть произведением векторов в четырехмерном пространстве-времени, четным числом векторов, которые непрерывно связаны друг с другом. Потому что это вращения. И ключ здесь в том, что, поскольку вы строите спинор из векторов посредством умножения, вы точно знаете, как он действует.