Как мне решить этот гауссовский интеграл по путям?

Вы просто делите$\phi$к реальной и мнимой части, чтобы было понятно:

$$\phi = f + ig, \quad \phi^* = f-ig, \quad f,g\in{\mathbb R}$$ С точностью до некоторого абсолютно универсального нормировочного коэффициента мера интегрирования просто $$\int {\mathcal D} f \,\,{\mathcal D} g$$ а показатель степени в экспоненте может быть записан как $$[(f-ig) A + (f+ig) B] (f+ig)$$ Запись столбца $(f,g)^T$как $h$, приведенное выше билинейное выражение есть не что иное, как $$h M h$$ где матрица $M$в блочно-диагональной форме $$M = \left(\begin{array}{cc}A+B&-iA+iB\\iA+iB&A-B\end{array}\right)$$ Теперь я предполагаю, что вы можете вычислить интеграл $$\int {\mathcal D} h\,\exp(hMh)$$ который полностью аналогичен $\exp(\phi^* A \phi)$интеграл. Однако с матрицей $M$достаточно, интеграл равен бесконечности, потому что $M$является сингулярным (бесконечность из-за плоских направлений), потому что второй ряд (блоков) является $i$раз первый. Однако вы получите несингулярный результат, если экспонента также будет содержать эрмитово сопряжение $\phi^* B^\dagger \phi^*$или что-то вроде того.

Если выше есть алгебраические ошибки, их можно исправить.