Явный расчет производящего функционала для комплексного скалярного поля. Где моя ошибка?

Производящий функционал (это все сокращенно, пишу ф вместо обычного ф для более быстрого латекса):

Z [ Дж , Дж * ] "=" ∬ Д ф Д ф * опыт ⁡ я ∫ Икс ( ф Икс * А ф Икс + Дж Икс ф Икс * + Дж Икс * ф Икс )

с А "=" − ( ◻ + м 2 ) , пропагатор А Д Икс у "=" я дельта Икс у . Сдвиг ф → ф + я ∫ у Д Икс у Дж у . Мера не меняется. Показатель степени определяется как (интегралы, неявные по повторяющимся индексам):

( ф Икс * − я Д Икс у ⋅ Дж у * ) ( А ф Икс − Дж Икс ) + Дж Икс ф Икс * + Дж Икс * ф Икс + я Дж Икс * ⋅ Д Икс у ⋅ Дж у − я Дж Икс ⋅ Д Икс у ⋅ Дж у * "="
"=" ф А ф − Дж ф * − я Д Икс у ⋅ Дж у * ⋅ А ф Икс + я Дж Икс ⋅ Д Икс у ⋅ Дж у * + Дж ф * + Дж * ф + я Дж Икс * ⋅ Д Икс у ⋅ Дж у − я Дж Икс ⋅ Д Икс у ⋅ Дж у *

Там 8 терминов. Условия 1 и 7 должны остаться. Условия 2 и 5 отменяются. Условия 4 и 8 отменяются. Условия 3 и 6 должны отменить, но они этого не делают. А можно перемещать двумя интегрированиями по частям:

− я Д Икс у ⋅ Дж у * ⋅ А ф Икс "=" − я А Д Икс у ⋅ Дж у * ⋅ ф Икс "=" Дж Икс * ⋅ ф Икс "=" Дж * ф

Вместо отмены они добавляют. Не хватает знака минус. Я сделал этот расчет по крайней мере пять раз, я не могу найти его. Я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог показать мне, где я допустил ошибку, или связать меня с этим явным вычислением (его нужно где-то решить, это популярное упражнение).

Я начинаю думать, что это может быть концептуальная, а не вычислительная проблема? Может быть, знак минус каким-то образом возникает из комплексного сопряжения? Этот расчет должен быть полностью аналогичен реальному случаю, но у меня он почему-то не работает.

Вы уверены, что правильно проинтегрировали по частям? Насколько я вижу, граничный член имеет знак минус, но оставшийся член (который вызывает у вас проблемы) имеет знак плюс.
Ну, я интегрирую дважды по частям, граничные члены исчезают, и А по сути, это просто двойная производная, поэтому знак не меняется
@Akoben Да, я создал эту тему. Здесь это не очень актуально. Интегрирование по частям, по-видимому, не проблема.
Какова цель упражнения? Вы пытаетесь интегрировать скалярное поле?

Ответы (1)

Предполагая, что вы хотите интегрировать скалярное поле, я дам ответ. В этом случае необходимо заполнить квадрат . Можно продемонстрировать основы простой алгебры.

Предположим, что у вас есть

п "=" А Икс у + Б Икс + С у ,
можно написать это (педантично) как
п "=" Икс А у + Икс 1 А А Б + С А 1 А у .
Теперь идея состоит в том, чтобы сложить и вычесть один и тот же член, чтобы можно было завершить квадрат. Следовательно,
п "=" Икс А у + Икс А 1 А Б + С 1 А А у + С 1 А А 1 А Б − С 1 А А 1 А Б "=" ( Икс + С 1 А ) А ( у + 1 А Б ) − С 1 А Б .

Мы хотим сделать аналог этого в скалярной теории поля. Итак, у вас есть производящая функция (либерально меняющая понятие)

Z [ Дж , Дж † ] "=" ∫ опыт ⁡ ( я ∫ л [ Дж , Дж † ] ) Д [ ф , ф † ] ,
где
л [ Дж , Дж † ] "=" ф † Д ф + ф † Дж + Дж † ф ,
с Д обозначающий оператор в уравнении движения. Чтобы завершить квадрат, мы начнем с записи его как
л [ Дж , Дж † ] "=" ф † Д ф + ф † Д г Дж + Дж † г Д † ф ,
где г пропагатор (функция Грина) такой, что Д г "=" 1 . Теперь мы добавляем и вычитаем соответствующий член
л [ Дж , Дж † ] "=" ф † Д ф + ф † Д г Дж + Дж † г Д ф + Дж † г Д г Дж − Дж † г Д г Дж "=" ( ф † + Дж † г ) Д ( ф + г Дж ) − Дж † г Дж .
Теперь можно переместить источники в скалярные поля и проинтегрировать скалярное поле так, чтобы остался только пропагатор, одетый полями источников.

Проблема в том, что в моем соглашении Д г "=" я , что приводит к лишнему знаку минус
Я понял. Кажется ошибкой просто сдвигать одно поле, потому что это независимые степени свободы.
Отличный. Рад, что вы смогли разобраться в проблеме.
Явный расчет производящего функционала для комплексного скалярного поля. Где моя ошибка?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v