Сдвиг переменной интегрирования и взятие производной, казалось бы, создают проблему

Я занимаюсь петлевым интегралом в квантовой теории поля, и у меня возникает проблема со сдвигом переменной интегрирования. Позвольте мне проиллюстрировать это примером.

У меня есть интеграл, который выглядит примерно как

я "=" ∫ 0 1   г Икс ∫ − ∞ ∞ г г к ( 2 π ) г ( к + п ) ⋅ γ ( ( к + п Икс ) 2 + м 2 Икс 2 ) 2

где г "=" 4 − 2 ϵ , который часто используется в «размерной регуляризации» в физике и γ Гамма-матрицы Дирака также используются в физике.

Я подхожу к этому интегралу двумя разными способами:

1) Сначала я переключаюсь к "=" к ′ − п Икс и предположить г 4 к "=" г 4 к ′ так как интеграция из − ∞ к ∞ , Я получил,

я "=" ∫ 0 1   г Икс ∫ − ∞ ∞ г г к ( 2 π ) г ( к + п ( 1 − Икс ) ) ⋅ γ ( к 2 + м 2 Икс 2 ) 2 .
(Кстати, п 2 "=" ( п ⋅ γ ) ( п ⋅ γ ) ).

Теперь скажем, я интегрирую, чтобы получить я "=" ∫ 0 1   г Икс ф ( Икс , п ⋅ γ ) , то возьмем производную по п ⋅ γ :

г г п ⋅ γ я "=" ∫ 0 1   г Икс ∂ ∂ п ⋅ γ   ( ф ( Икс , п ⋅ γ ) ) .

2) На этот раз я беру производную по п ⋅ γ первым получить:

г г п ⋅ γ я "=" ∫ 0 1   г Икс ∫ − ∞ ∞ г г к ( 2 π ) г ∂ ∂ п ⋅ γ ( к + п ) ⋅ γ ( ( к + п Икс ) 2 + м 2 Икс 2 ) 2 "=" ∫ 0 1   г Икс ∫ − ∞ ∞ г г к ( 2 π ) г ( 1 ( ( к + п Икс ) 2 + м 2 Икс 2 ) 2 + ( ( к + п ) ⋅ γ ) ( 2 Икс ( к + п Икс ) ⋅ γ ) ( ( к + п Икс ) 2 + м 2 Икс 2 ) 3 )

Теперь я переключаю к "=" к ′ − п Икс снова, и я получаю другой ответ.

Чем они отличаются друг от друга, и если я хочу получить г г п ⋅ γ я , какой из них я должен использовать? Я бы предположил, что второй метод правильный, если есть разница в ответе, но во всех учебниках есть ответы, соответствующие моему первому методу; что кажется странным.

Ваш первый шаг недействителен. Сдвиг переменных дает один и тот же результат только для сходящихся и логарифмически расходящихся интегралов. Ваш интеграл линейно расходится, и, следовательно, если вы сдвигаете переменные, вам нужно учитывать дополнительный сдвиг во всем интеграле. См. Шварц 30.2.2 (стр. 624).

Ответы (1)

Причина, по которой вы сталкиваетесь с проблемами, заключается в том, что вы на самом деле не упорядочили интеграл цикла. Вы имеете дело с плохо определенной величиной, и вполне естественно, что вы сталкиваетесь с противоречиями.

Путь состоит в том, чтобы сначала упорядочить (что, по сути, определяет ваш объект интереса), а затем манипулировать им. Затем вы увидите, что некоторые формальные операции, которые вы используете, оправданы, а некоторые нет.

Если вы используете регуляризацию с отсечкой импульса, то, как правило, вы больше не сможете сдвигаться (поскольку область интегрирования больше не бесконечна). Точно так же, чтобы выполнить аналитическое продолжение в пространственно-временном измерении, вы обычно используете сферические координаты, следовательно, теряете явную трансляционную инвариантность. Конечно, инвариантность к сдвигу вернется после регуляризации подъема, если вы для начала имеете дело со сходящимся интегралом. В противном случае не всегда верно.

Кроме того, ваше выражение представляет собой матрицу, размер которой зависит от размерности пространства-времени. Трудно понять матрицу с нецелым числом строк и столбцов. Было бы неплохо работать с конечной амплитудой, которая является скалярной.

Сдвиг переменной интегрирования и взятие производной, казалось бы, создают проблему
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v