Как можно получить эти определения тензора энергии-импульса?

Question

Как можно получить эти определения тензора энергии-импульса?

Физика
квантовая гравитация
общая теория относительности
корреляционные функции
топологическая теория поля
стресс-энергия-импульс-тензор

Али Шехпер

Я только что читал книгу « Зеркальная симметрия» Математического института Клэя , и на странице 402 книги автор говорит, что тензор энергии-импульса классически определяется формулой

дельта С "=" - \frac{1}{4 π} \int \sqrt{час} г^{2} Икс дельта {час}^{мю ν} Т_{мю ν}

$\delta S = -\frac{1}{4 \pi} \int \sqrt{h} d^2 x \delta h^{\mu\nu}T_{\mu\nu}$ и квантово-механически

{дельта}_{час} ⟨ О ⟩ "=" ⟨ О \frac{1}{4 π} \int \sqrt{час} д^{2} Икс дельта {час}^{мю ν} Т_{мю ν} ⟩

$\delta_h \langle O\rangle = \left\langle O \frac{1}{4\pi} \int \sqrt{h} d^2 x \delta h^{\mu\nu}T_{\mu\nu}\right\rangle$

Вот мой вопрос: я знаю, что действием Эйнштейна-Гильберта можно получить $T_{\mu\nu} = 2 \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta h^{\mu\nu}}$ . Но как я могу получить точную форму $\delta S$ как указано выше? Или $\delta_h\langle O\rangle$ .

пользователь4552

Добро пожаловать в физику.SE! Stackexchange не рекомендует включать приветствия и т. д. в вопросы, поэтому я удалил этот материал выше.

пользователь4552

Является

h^{μ ν}

$h^{\mu\nu}$ метрический тензор, который люди обычно обозначают как

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ ? В

\sqrt{h}

$\sqrt{h}$ , я предполагаю

h

$h$ означает минус определитель

h^{μ ν}

$h^{\mu\nu}$ . Но что означает обозначение

δ_{h}

$\delta_h$ иметь в виду? Вариация относительно этого определителя? В QFT метрика является фиксированным фоном, так же как и обозначения типа

δ h^{μ ν}

$\delta h^{\mu\nu}$ означает, что мы занимаемся квантовой гравитацией? Что

O

$O$ ? Конкретный оператор? Любой оператор?

Али Шехпер

-Да

h^{μ ν}

$h^{\mu\nu}$ это метрический тензор, который люди обычно обозначают как

g^{μ ν}

$g^{\mu\nu}$ . - Я не совсем уверен, что делаю. Это может быть квантовая гравитация. Глава, которую я изучаю, называется «Киральные кольца и топологическая теория поля». Он направлен на изучение квантовых теорий поля с римановыми поверхностями в качестве мирового листа.

h

$h$ является метрикой на этой римановой поверхности, и цель этой темы состоит в том, чтобы увидеть последствия скручиваний A и B для тензора энергии-импульса теории.

Ответы (1)

Как можно получить эти определения тензора энергии-импульса?

Добро пожаловать в физику.SE! Stackexchange не рекомендует включать приветствия и т. д. в вопросы, поэтому я удалил этот материал выше.
Является $h^{\mu\nu}$ метрический тензор, который люди обычно обозначают как $g^{\mu\nu}$ ? В $\sqrt{h}$ , я предполагаю $h$ означает минус определитель $h^{\mu\nu}$ . Но что означает обозначение $\delta_h$ иметь в виду? Вариация относительно этого определителя? В QFT метрика является фиксированным фоном, так же как и обозначения типа $\delta h^{\mu\nu}$ означает, что мы занимаемся квантовой гравитацией? Что $O$ ? Конкретный оператор? Любой оператор?
-Да $h^{\mu\nu}$ это метрический тензор, который люди обычно обозначают как $g^{\mu\nu}$ . - Я не совсем уверен, что делаю. Это может быть квантовая гравитация. Глава, которую я изучаю, называется «Киральные кольца и топологическая теория поля». Он направлен на изучение квантовых теорий поля с римановыми поверхностями в качестве мирового листа. $h$ является метрикой на этой римановой поверхности, и цель этой темы состоит в том, чтобы увидеть последствия скручиваний A и B для тензора энергии-импульса теории.

Джонатан Глисон · Answer 1

Позволять $W$ быть любым $d$ -мерное псевдориманово многообразие с метрикой $h_{ab}$ и разреши $S(W)$ любое действие, определенное на $W$ . Тензор энергии-импульса обычно определяется (в любом случае до скалярного кратного; кажется, в вашем случае определение изменено с коэффициентом $-4\pi$ ):

Т_{а б} "=" \frac{1}{\sqrt{| час |}} \frac{дельта С}{дельта {час}^{а б}},

$T_{ab}:=\frac{1}{\sqrt{|h|}}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}},$ где

h := det (h_{a b})

$h:=\det (h_{ab})$ . По определению при вариации действия по метрике

дельта С "=" \int_{Вт} г^{д} о дельта {час}^{а б} \frac{дельта С}{дельта {час}^{а б}}

$\delta S=\int _W\mathrm{d}^d\sigma \, \delta h^{ab}\frac{\delta S}{\delta h^{ab}}$ (это определение вариационной производной). Просто подставив определение

T_{a b}

$T_{ab}$ , мы получаем

дельта С "=" \int_{Вт} г^{д} о \sqrt{| час |} Т_{а б} дельта {час}^{а б} .

$\delta S=\int _W\mathrm{d}^d\sigma \sqrt{|h|}T_{ab}\delta h^{ab}.$ Как упоминалось ранее, у каждого есть свое соглашение о том, какое скалярное кратное следует ставить перед определением тензора энергии-импульса, но, как видите, в вашей книге приведена именно эта форма с точностью до константы.

Однако может быть неочевидно, почему мы даем такое определение. Это хорошее определение по нескольким причинам. Во-первых, во многих случаях (но не во всех!) он согласуется с так называемым нётеровским тензором энергии-импульса, т. е. с тем, который вы получаете, вычисляя сохраняющиеся токи, возникающие из-за инвариантности относительно переносов. В тех случаях, когда это не согласуется с нётеровским определением, $T_{ab}$ определенный таким образом, как правило, имеет лучшие свойства. Например, в КЭД в плоском пространстве-времени нётеров тензор энергии-импульса не должен быть калибровочно-инвариантным, тогда как это определение будет им. Точно так же и в этом случае нётеров тензор энергии-импульса не должен быть симметричным, тогда как это определение будет (это ясно из определения). Более того, нётеровское определение не имеет смысла в искривленном пространстве-времени: что значит, например, «перенести» координаты на сфере? Однако определение, данное выше, всегда имеет смысл. Наконец, это определение дает уравнение Эйнштейна из действия Эйнштейна-Гильберта .

Я знаю , что книга Уолда по общей теории относительности содержит более подробную информацию об этом в одном из его приложений (Приложение E Лагранжевые и гамильтоновы формулировки общей теории относительности ), хотя, безусловно, есть и другие источники.

Как можно получить эти определения тензора энергии-импульса?

Али Шехпер

пользователь4552

пользователь4552

Али Шехпер

Ответы (1)

Джонатан Глисон

Что мы узнаем из гравитации в трех измерениях пространства-времени?

Тензор энергии-импульса от действия поля материи

Экстремальная черная дыра без углового момента и без электрического заряда

Может ли тензор энергии напряжения обратиться в нуль в общей теории относительности?

Разница между μμ\mu и T00T00T_{00} в растворах идеальной жидкости?

Конкретное решение уравнения поля Эйнштейна

тензор четвертого ранга для энергии напряжения

Геодезические от решения уравнений полного поля такие же, как путь от тензора энергии-импульса?

В каком режиме справедливо квазиклассическое приближение гравитации?

Возможно ли, что КМ — это просто ОТО?