Почему натяжение шкива в машине Этвуда не равно (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

Question

Почему натяжение шкива в машине Этвуда не равно (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

Джерард

Рассмотрим следующую простую машину Атвуда с идеальным шкивом и идеальной струной.

введите описание изображения здесь

Согласно моему учебнику, натяжение хомута, которым станок крепится к стене, равно $2T$ . Я не понимаю, почему это так. Напряжение в $T$ в строке по величине равно $m_1g + m_1a = m_2g - m_2a$ , при условии, что $m_1$ ускоряется вверх.

Кроме того, ускорение масс в машине Этвуда определяется выражением

а "=" \frac{(м_{2} - м_{1}) г}{м_{1} + м_{2}}

$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}$

Подставив это, получим натяжение, равное

Т "=" м_{1} г + м_{1} \frac{(м_{2} - м_{1}) г}{м_{1} + м_{2}} "=" м_{1} г (1 + \frac{м_{2} - м_{1}}{м_{2} + м_{1}}) "=" \frac{2 м_{2} м_{1} г}{м_{1} + м_{2}}

$T = m_1g + m_1\frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = m_1g\left(1 + \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1}\right) = \frac{2m_2m_1g}{m_1 + m_2}$

Итак, по моему учебнику, натяжение хомута шкива должно быть:

2 Т "=" \frac{4 м_{1} м_{2} г}{м_{1} + м_{2}}

$2T = \frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Но разве все эти силы не являются внутренними силами? Если рассматривать всю машину Этвуда как систему (за исключением зажима), то единственными силами, действующими на нее, являются сила тяжести, $(m_1 + m_2)g$ и напряжение в хомуте, $T_c$ . Так как система находится в состоянии покоя

Т_{с} "=" (м_{1} + м_{2}) г

$T_c = (m_1 + m_2)g$

Я прав, или в моем рассуждении есть изъян?

Рубен

Ты нашел

T

$T$ , а в учебнике есть то же самое уравнение, умноженное на коэффициент 2. Здесь нет никаких проблем.

ДР10

Подсказка: система не находится в состоянии покоя.

ДР10

Ответ Ника полный, но мне понравился ваш вопрос, потому что он показывает стремление понять ПРИНЦИП расчетов. Поэтому, на мой взгляд, важно понять, почему система не находится в состоянии покоя.

Ник

Правда, каждый расчет должен не только математически выверяться, но и физическая интерпретация — это тоже очень-очень важная часть! Итак, что касается вопроса, я бы сказал, хорошая работа и продолжайте в том же духе!

Джерри Ширмер

Если это поможет, вы можете показать, что центр масс двух масс

m_{1}

$m_{1}$ и

m_{2}

$m_{2}$ ускоряется вниз, и хотя кажется, что опора удерживает колесо устойчиво, на самом деле она позволяет системе колесо/масса ускоряться вниз из-за этого.

Ответы (3)

Почему натяжение шкива в машине Этвуда не равно (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

Ты нашел $T$ , а в учебнике есть то же самое уравнение, умноженное на коэффициент 2. Здесь нет никаких проблем.
Подсказка: система не находится в состоянии покоя.
Ответ Ника полный, но мне понравился ваш вопрос, потому что он показывает стремление понять ПРИНЦИП расчетов. Поэтому, на мой взгляд, важно понять, почему система не находится в состоянии покоя.
Правда, каждый расчет должен не только математически выверяться, но и физическая интерпретация — это тоже очень-очень важная часть! Итак, что касается вопроса, я бы сказал, хорошая работа и продолжайте в том же духе!
Если это поможет, вы можете показать, что центр масс двух масс $m_{1}$ и $m_{2}$ ускоряется вниз, и хотя кажется, что опора удерживает колесо устойчиво, на самом деле она позволяет системе колесо/масса ускоряться вниз из-за этого.

солнце · Answer 1

Система не находится в покое. Если вы считаете массы и шкив одной системой, вы можете понять поведение системы по поведению ее центра масс. Если массы не равны, центр масс системы не покоится.

Было бы полезно думать об этом так: внутри граничной массы системы $m_1$ движется вниз на расстояние, в то время как масса $m_2$ поднимается на такое же расстояние. Итак, центр масс сместился вниз (или вверх, в зависимости от того, $m_1 > m_2$ ).

Таким образом, напряжение будет определяться уравнением:

(м_{1} + м_{2}) а_{с м} "=" (м_{1} + м_{2}) г - Т_{с}

$(m_1+m_2)a_{cm} = (m_1+m_2)g - T_c$

Вы можете продолжить работу над этим

$a_{cm} = a(m_2-m_1) /(m_1+m_2)$ , где a – значение ускорения массы $m_1$ что вы упомянули.

Подставьте это в уравнение, и вы обнаружите, что:

$T_c=\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2}{g}$

Вот как я постараюсь научить этой проблеме. Спасибо.
Есть ли шанс, что вы или @Nick могли бы прокомментировать решение в форме 4g*mu? Я знаю, что это может выходить за рамки проблемы, но когда я вижу такие связи, я пытаюсь их понять.

Ник · Answer 2

Ваш результат сохраняется, когда две массы одинаковы, в этом случае $a=0$ и у вас будет это:

$T = m_1 g = m_2 g$ .

Или:

$2T = 2m_1 g=2m_2g=(m_1+m_2)g$ .

В случае, когда массы не одинаковы, обе массы ускоряются, что, в свою очередь, оказывает меньшее усилие на систему шкивов (и на зажим).

Это легко проверить с помощью вашей формулы натяжения!

$T = \frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2},$

Если бы я определил общую массу как: $M=m_1+m_2$ , то я мог бы выразить $T$ как:

$T=\frac{2m_1(M-m_1)g}{M}=\frac{2g}{M}(m_1(M-m_1)).$

Вы можете проверить, если бы вы сюжет $T$ как функция $m_1$ , что она достигает максимума в $m_1=M/2$ , что означает, что натяжение становится максимальным, если две массы равны, тогда натяжение становится:

$T=\frac{Mg}{2}=\frac{(m_1+m_2)g}{2}$ ,

или как вы думали:

$2T=(m_1+m_2)g$

Для полноты график зависимости натяжения от массы. $m_1$ в безразмерных величинах.

введите описание изображения здесь

На этом графике легко увидеть, что если $m_1=0 \Rightarrow m_2=M$ или $m_1=M \Rightarrow m_2=0$ , что не будет напряжения, так как одна из двух масс будет свободно падать. В промежуточных случаях будет натяжение, так как с обеих сторон струны «тянется», чем больше массы $m_1$ и $m_2$ равны друг другу, тем меньше движения и больше натяжение струны.

Итак, если мой аргумент был неверным, это может означать только то, что система не находится в покое. Но как можно сказать, что система не находится в покое?
В приведенном выше случае у нас есть блок без трения с невесомой струной. Система может находиться в состоянии покоя только тогда, когда две массы равны (в ваших расчетах это единственный случай, когда ускорение равно нулю). В этом случае обе массы тянут с одинаковой силой за оба конца нити. Обратите внимание, что это не обязательно означает, что система находится в состоянии покоя, она также может двигаться с постоянной скоростью!
@ Джерард Если бы вы добавили массу к жалу и / или трение к шкиву, то могли бы быть другие ситуации, в которых система находится / становится в покое.
Согласно математике, то, что вы говорите, абсолютно верно. Но я хочу интуитивно знать, почему система не находится в покое. По самому определению покоя система не должна менять своего положения во времени. Ясно, что машина Этвуда останется на том же месте.
@ Джерард, хорошо, если бы две массы были разными, тогда более тяжелая масса будет тянуть за струну сильнее, чем более легкая масса. Это приведет к перемещению системы. Если массы равны, то тяга с обеих сторон будет одинаковой, и система останется в покое.
Да, отдельные массы будут двигаться, но вся машина останется на том же месте.
@ Джерард, верно, пока у тебя не кончится веревка для ускорения. Затем более тяжелая масса, которая преобразовала свою потенциальную (гравитационную) энергию в кинетическую, внезапно остановится, потеряв всю свою энергию. Машина понизила свою кинетическую энергию, чтобы перейти в состояние с более низкой энергией (основное состояние). Единственный способ предотвратить это — использовать бесконечно длинную строку и, следовательно, бесконечно высокую машину.
Неправда, что он остается на том же месте. Его центр масс ускоряется, потому что даже если m_1 движется вверх, а m_2 вниз, массы разные, поэтому они имеют разный «вес» в глобальном движении. Итак, если m_2>m_1 и m_2 ускоряется вниз, то центр масс движется вниз.
@ DR10, это, конечно, тоже хорошее замечание (как сказал Джерри Шример в комментариях)! Но я думаю, что ОП думал о том, чтобы просто посмотреть на машину, если вокруг нее есть дело. Вы не можете «наблюдать» за центром масс, просто глядя на него. То, что вы МОЖЕТЕ увидеть, это массы, останавливающиеся, когда в системе заканчивается струна. Можно услышать чрезвычайное замедление более тяжелой массы, поскольку более легкая масса будет цепляться за шкив. А в случае очень большой массы $m_2$ (или $m_1$ , в зависимости от того, что тяжелее), система может даже оторваться от подвески.
@ DR10: Итак, мое определение отдыха было неполным. Система находится в состоянии покоя, если ее центр масс не меняет своего положения во времени, верно?
@Gerard, система находится в состоянии покоя, если все частные производные $\partial/\partial t$ исчезнуть. Или перевести на более интуитивный язык, если система не меняется со временем. Это означает, что действительно центр масс должен оставаться неизменным во времени.
@ Джерард, для состояния покоя у вас также всегда должна быть система отсчета. Так как система всегда покоится относительно системы отсчета. Для неподвижного наблюдателя система может находиться в состоянии покоя, но для другого наблюдателя, проходящего мимо с постоянной скоростью, система может не казаться покоящейся.
@Gerard: Верно, обратите внимание, что для вашей цели (т.е. общая сила, действующая на систему) покой или движение - это не то, что вы действительно ищете. Я небрежно просто сказал вам: "система не в покое". Важным является полное ускорение, и в данном случае оно отлично от 0. Движение с постоянной скоростью не нуждается в силе, действующей на систему. Я остановлюсь здесь, потому что мы немного злоупотребляем пространством для комментариев.
@Доминик, хороший ответ! Вы говорите: «В случае, если массы не одинаковы, тогда одна из них будет «падать» и, следовательно, не будет прикладывать никакой силы к системе шкивов (и к зажиму)». Однако это верно только в том случае, если одна из масс равна нулю, потому что, как вы сказали, в непосредственных случаях обе массы будут натягивать струну.
@ rb612 это действительно неправильно с моей стороны (как показано на графике). Виноват! Конечно, для падающего движения мы должны смотреть на центр масс ;-).
Сегодня я пытаюсь рассказать об этой проблеме и предвосхищаю такие вопросы, как у Джерарда. Я благодарен Нику за отличное математическое объяснение, а также за наблюдение @DR10, потому что я думаю, что это отвечает на вопрос студента: ПОЧЕМУ напряжение Tc снижается, когда система приходит в движение? Думаю, я скажу студентам, что центр масс ВСЕЙ системы движется вниз с ускорением, поэтому Tc=2T, единственная восходящая сила в системе, должна «проигрывать» (m1+m2)g, единственной направленной вниз силе. в системе.

Эмилио Писанти · Answer 3

В вашем рассуждении действительно есть изъян. Короче говоря, натяжение застежки шкива требуется только для того, чтобы нейтрализовать общую гравитационную силу, действующую на систему, когда все находится в равновесии и ускорение отсутствует. Однако, если массы неуравновешены, то одна из них упадет, а другая поднимется, и неясно, сохранит ли это общую силу на том же уровне, что и в уравновешенном случае.

Фактически, вы можете проверить, что, когда две массы равны , ответы совпадают: правильное натяжение застежки шкива равно

Т_{застежка} "=" 2 Т "=" \frac{4 м^{2}}{м + м} г "=" 2 м г "=" (м + м) г .

$T_\text{clasp}=2T=\frac{4m^2}{m+m}g=2mg=(m+m)g.$

Почему натяжение шкива в машине Этвуда не равно (m1+m2)g(m1+m2)g(m_1 + m_2)g?

Джерард

Рубен

ДР10

ДР10

Ник

Джерри Ширмер

Ответы (3)

солнце

обыкновенный заяц

обыкновенный заяц

Ник

Джерард

Ник

Ник

Джерард

Ник

Джерард

Ник

ДР10

Ник

Джерард

Ник

Ник

ДР10

612 руб.

Ник

обыкновенный заяц

Эмилио Писанти

Почему угол наклона не влияет на то, насколько высоко запущенный объект будет скользить по пандусу без трения?

Является ли это столкновение упругим или неупругим?

Уравнение Эйлера-Лагранжа с логарифмическим потенциалом

Влияние трения на систему блоков

Концепция работы, проделанной весной

Проверка второго типа уравнений лагранжевой механики

Разные подходы дают разные результаты: проблема с планетарной передачей?

Силы в системе шкивов. Домашнее задание по статике на первый год.

Динамика попарных расстояний в задаче nnn-тел

Оптимальный угол пуска снаряда с высоты над землей [закрыто]