Как мы можем иметь «естественное существование» для комплексных чисел? [закрыто]

Для тех, кто не знает, что такое комплексное число, скажу простым языком: комплексное число — это квадратный корень из отрицательного числа! Например, квадратный корень из -1 называется комплексным числом. Эти числа появляются в законах, описывающих явления реального мира. Отсюда мой вопрос: как мы можем рационализировать тот факт, что комплексные числа существуют?

У меня есть некоторое интуитивное представление о том, как работать с рациональными или действительными числами, но комплексные числа, похоже, неотличимы от магии! Почему мы считаем, что полагаться на такие числа для физических теорий нормально? Разве это не огромная проблема, что большая часть физики основана на этом?

** Конец вопроса от NoChance **

Комментарий: Это несколько неточно . ... «Комплексные числа» - это «надмножество» действительных чисел: они «расширяют» множество действительных чисел, чтобы «включить» множество «мнимых» чисел. .. Любое положительное число в действительной системе счисления имеет два квадратных корня - положительный и отрицательный квадратный корень (здесь я пренебрегаю нулем, потому что это ни положительное, ни отрицательное число, а число, которое само по себе независимо от сложения (само по себе) или умножения ). Но как быть с отрицательными числами? -- Чтобы помочь «завершить» эту систему квадратных корней для ВСЕХ (до сих пор известных) чисел, было введено понятие мнимого числа «&i$» [Ссылка: http://jeff560.tripod.com/ i.html]: определяется как «число», при умножении на себя дает число -1. Потом остальное, как говорится, история! ... Итак, по определению комплексное число определяется как «число» формы $a + bi$, где $a$, $b$ $\in$ $\mathbb{R}$ [множество всех вещественных номера]. ... (Такие числа, рассматриваемые многими, являются их собственными математическими объектами - не такими, как действительные числа, но тонко связанными с ними (через некоторые очень глубокие свойства математики, которых я не знаю)). Они не менее «числа», чем «действительные» или «рациональные». ... Плюс, из философии: то, что мы называем «реальностью», может быть известно только из нашего опыта (-ов) этого через наши пять чувств: без них у нас НЕТ возможности узнать что-либо о «реальности» (вы бы спросить у профессора философии, почему... я не действительно знаю, почему). Следовательно, то, что мы называем «интуитивным», может / не может с готовностью отражать «онтологическую» природу «физической «реальности»»: следовательно, есть много [математических] понятий и конструкций, используемых в физике, которые не являются легко «интуитивными» по-человечески. что-то связанное с «позитивизмом» и тому подобное… опять же, я не могу сказать вам что] — но, тем не менее, они занимают центральное место в исследовании измеримых и поддающихся экспериментальному исследованию характеристик нашего «мира».]

Вы задаете вопрос, когда говорите, что в этом мире не может существовать число, квадрат которого равен -1. Именно это и есть воображаемая единица i ! И если вы признаете, что комплексные числа имеют основу в электромагнетизме, то почему вам кажется, что это число не имеет смысла как инструмент для разговора о реальности или что реальность также каким-то образом не допускает алгебры, в которую вовлечены комплексные числа?
Учитывая, что у Эйлера были проблемы с мнимыми числами , это кажется правильным вопросом. Кроме того, не всегда бывает так, что добавление нового элемента/аксиомы в формальную систему будет поддерживать ее согласованность, поэтому вопрос о том, не приведет ли добавление i к алгебре, является законным вопросом.
@Закрыть/снова открыть избирателей. У меня есть ожидание редактирования, чтобы существенно изменить этот вопрос, так что я думаю, что это реальный вопрос, на который отвечают ответы. Не стесняйтесь упоминать о любых проблемах в моем редактировании!
@Discretelizard, спасибо за ваше редактирование. Я рекомендую вам добавить изменения в свое редактирование в качестве дополнительного разъяснения к исходному вопросу, а не изменять сам исходный вопрос.
@NoChance Я думал, что это бесполезная болтовня, но очень хорошо.
@NoChance Хотя я боюсь, что не могу в этом разобраться, для меня это остается слишком неясным. (вы отвечаете комментаторам? Попробуйте сделать это немного яснее) Не стесняйтесь улучшаться.
Что непонятно в исходном вопросе?
Вы готовы принять действительные числа, которые требуют построения второго порядка, но не комплексные числа, которые являются алгебраическим расширением действительных чисел? У вас есть проблемы с квадратным корнем из $-1$ (который, когда у вас есть действительные числа, легко соединить), но не с квадратным корнем из $2$ (для построения которого требуется много тяжелой работы)? Какой странный набор приоритетов.
@WillO, я не один! Комплексные числа также известны как мнимые числа. Вопрос просто гласит: если что-то противоречит известной нам алгебре, как это может быть в гармонии с нашей логической системой? Здесь нет никакого странного набора приоритетов.
В каком возможном смысле существование квадратного корня из 2 менее противоречит «алгебре, какой мы ее знаем», чем существование квадратного корня из -1?
@WillO Квадратный корень из 2 как числовое значение подчиняется всем правилам «настоящего» слова. Например, это «очень точная» длина стороны квадрата, площадь которого равна 2. Для меня это реально. Тот факт, что мы не можем измерить его до последнего знака после запятой, объясняется тем, что наш измерительный прибор неэффективен.

Ответы (4)

Во-первых , комплексные числа (и мнимые числа) появляются в явлениях реального мира; у них много практического применения.

А теперь перейдем к философской части проблемы.

Числа — это абстракции. Они не существуют так же, как, скажем, существуют физические объекты. Ты можешь дать мне два яблока, но не можешь просто дать два.

Как абстракции, они следуют определенным концептуальным шаблонам. Для положительных целых чисел эти абстракции достаточно интуитивны; для других типов чисел (таких как отрицательные числа, или рациональные числа, или иррациональные числа) они меньше.

В вашем вопросе упоминается квадратный корень из -1, но давайте возьмем квадратный корень из 2. «Существует ли это число в мире» каким-либо значимым образом? Не могли бы вы дать мне квадратный корень из 2 яблок?

К счастью, это не мешает нам использовать квадратный корень из 2; с философской точки зрения мы можем сделать это, приняв позицию, известную как фикционализм — короче говоря, мы можем рассматривать числа как вымышленные объекты и подставлять их в формулы, не делая никаких онтологических обязательств относительно их существования. Пока замена удовлетворяет ограничениям (то есть, в более широком контексте, адекватна явлениям), мы в золоте.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос: нам не нужно рационализировать существование комплексных чисел. Неважно, существуют они или нет.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я нашел статью SEP, в которой конкретно рассматривается беллетристика в математике ; это хорошая ссылка для более конкретного случая.

Что ж, квадратный корень из 2 можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами размеров 1 и 1. Но это отвлечение. Как хорошо известно из теории Галуа, большинство действительных чисел не могут быть построены таким образом.
Но я должен возразить несколько. Я думаю, вдохновленный теоремой Геделя о полноте (хотя, в отличие от этой теоремы, применяемой к логике, отличной от логики первого порядка), мы должны определить «существующее» как непротиворечивое. Безусловно, важно, чтобы реальные цифры соответствовали друг другу. Собственно, в этом вся их суть. Комплексные числа также непротиворечивы. Доказательство неочевидно, но я изложил в комментариях к вопросу.
Я, конечно, могу дать вам примерно sqrt(2) яблок - дать вам комплексное число яблок, безусловно, было бы интересным подвигом.
Это правда, что рациональные числа плотны в действительных числах. На самом деле, действительные числа являются дополнением рациональных чисел. Впрочем, это ни на что не влияет. Точно так же, как я не могу дать вам sqrt(2) яблок, я не могу дать вам i яблок. Точно так же, как я могу дать вам примерно sqrt(2) (=|sqrt(2)|) яблок, я могу дать вам примерно 1 (=|sqrt(i)|) яблок. Это не имеет никакого отношения к тому, «существует» фактическое число или нет.
@Rom: Почему мы должны определять «существующий» как непротиворечивый? Я согласен с тем, что важно, чтобы реальные цифры совпадали; не имеет никакого значения, существуют они на самом деле или нет. Отказ от платонизма никоим образом не мешает эффективно использовать математику.
@Rom: Кроме того, просто для уточнения: мой аргумент в моем ответе не «поскольку вы не можете дать мне квадратный корень из 2 яблок, квадратный корень из 2 не существует»; моя точка зрения заключалась скорее в том, что хотя положительные целые числа легко представить с помощью яблок, тот факт, что некоторые другие числа не так просто представить с помощью яблок, не имеет отношения к тому, существуют ли эти числа. И в самом деле, если кто-то является беллетристом в отношении чисел, это не имеет ни малейшего значения.
Существование подразумевает постоянство. В случае логики 1-го порядка, которой нет в случае аксиом действительных чисел, верно и обратное (теорема Гёделя о полноте). В случае логики не 1-го порядка каждое доказательство непротиворечивости какого-либо объекта, которое я когда-либо видел, состоит в том, что он существует (конструируя его, используя предположение о непротиворечивости ZF), поэтому на практике разницы почти нет. Но у людей есть проблемы со словом «существующий», и нам нужно какое-то рабочее определение. Так почему бы не постоянство?
@Rom: Думаю, я не вижу связи между согласованностью и онтологией. Я не вижу никаких причин, почему несовместимые вещи не могут существовать, а непротиворечивые вещи могут не существовать. Но, что более важно в этом вопросе, я не вижу никакой причины проводить различие между различными классами математических объектов, когда дело доходит до их существования — нет никакой причины приписывать комплексным числам иной онтологический статус, чем, скажем, целые числа или числа. реалы.
«Я не вижу никаких причин, почему несовместимые вещи не могут существовать» — тогда ясно, что ваше определение существования слишком либерально.
Не все из нас покупаются на художественную литературу. Глубокая полезность комплексных чисел для описания определенного физического явления на самом деле является одним из многих веских аргументов против этого. (Из вашей статьи я попал в лагерь платоников.)
@codebolt: если вы платоник в отношении комплексных чисел, тем лучше - тогда у вас вообще нет проблем с вопросом. Спрашивающий исходил из того, что квадратный корень из отрицательной единицы не существует , поэтому я попытался дать ответ на этих условиях.
@Майкл Дорфман Спасибо за добавление ссылки, я прочитаю ее.

Забудьте на мгновение, что вы когда-либо знали что-либо о так называемых «комплексных» или «мнимых» числах. Начнем с чисел, известных как «действительные» числа. Мы знаем, как выполнять арифметические действия над ними. А как насчет пар действительных чисел? Предположим, у меня есть два элемента (a, b)и (c, d), где a, b, c и d — все действительные числа. Конечно, если существуют действительные числа, то существуют и упорядоченные пары действительных чисел. Могу ли я осмысленно выполнять арифметические действия над (a, b)и (c, d)?

Я попытаюсь определить арифметику следующим образом:

  • (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
  • (a, b) * (c, d) = (ac - bd, bc + ad)

Мой способ определения умножения может показаться немного странным, но я не думаю, что это должно быть проблемой для понимания.

До сих пор мы имели дело только с действительными числами и парами действительных чисел... конечно, они существуют. Сделаем странное наблюдение об этих парах чисел и их арифметике:

(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0)

Таким образом, мы можем назвать элемент (0, 1)квадратным корнем элемента (-1, 0). Несомненно, этот парень (0, 1)существует в том же смысле, что и действительные числа... он просто упорядоченная пара действительных чисел в системе с причудливым способом выполнения арифметических действий.

Теперь (a, b)кажется, что эти элементы должны существовать так же, как и обычные действительные числа, но они немного сложнее. Им нужно какое-то имя... поскольку они более сложные, как насчет того, чтобы называть их «комплексными» числами. Давайте также установим, что сложная арифметика работает так, как я описал.

Итак, мы только что создали систему чисел, которую мы назвали «комплексными числами», которая не относится к несуществующим вещам. Нам просто нужно было умножить забавным способом. Теперь давайте вспомним нашего старого друга (0, 1)... дадим ему имя. Мне лень и я не хочу давать ему длинное имя, так что давайте просто назовем его i. Я думаю, вы видите, что любое комплексное число (a, b)теперь можно переписать как a + bi. Таким образом, комплексные числа — это числа в форме a + bi, где a и b — действительные числа, и iэто наш старый друг (0, 1). В нем нет ничего воображаемого... он существует так же, как (1, 0)существует его двоюродный брат.

Это блестящий способ объяснить мнимые числа. Я надеюсь, что авторы по этому вопросу придерживаются аналогичного подхода. У меня нет проблем с запуском с def. и построить теорию, которая с ней согласуется, какими бы странными ни выглядели результаты. Фактически, это имеет место во многих математических предметах. Существуют ли эти математические абстракции или нет, это не совсем то, о чем мой вопрос. Что действительно особенного в (i), так это то, что он используется для представления реальных вещей в этой вселенной. То есть мы используем эту (странную и воображаемую) величину для измерения (реальных) вещей, которые действительно существуют в этой вселенной.
«Блеск» здесь известен как «абстрактная алгебра»! Попробуйте и прочитайте несколько книг об этом, если вам это нравится! Я думаю, что это вполне выполнимо для философов с небольшим опытом (скажем, одного курса) в базовой логике. Основная идея такова: при работе с числами нас волнует только то, какие «операции» мы разрешаем. Итак, мы игнорируем все, кроме операций, и даже игнорируем то, как операции работают на практике, и просто определяем их, используя несколько «логических» аксиом! Это очень хорошая область, которая действительно показывает силу абстракции в математике!

Геометрия была аксиоматизирована 2500 лет назад. Только к концу XIX века появилась арифметика. Цифры настолько «очевидны», что о них трудно думать.

Обычно, когда вы знакомитесь с комплексными числами в школе, они довольно неясны. Отрицательные числа в какой-то момент истории (математической мысли в Европе) не считались числами. До этого были споры о нуле и даже о том, что единица является числом.

Можно подвергать сомнению все эти вещи (и ставить их под сомнение хорошо), но в какой-то момент вопросы прекращаются, потому что вы понимаете, что вы можете, а что нет. Нет, я не могу держать 2+3i яблок, но это нормально, формальные правила, применимые к таким числам, неприменимы к ситуациям, когда я держу яблоки. Я вижу 5 яблок, но не -5 из них, но это нормально, "-5" - это не то, что можно увидеть (ну, вообще-то, если вы видите их в чужих руках, можно считать, что вы видите "-5" яблоки»). Но действительно ли вы видите «-5» отдельно или даже «5» отдельно? Я так не думаю. Существование чисел не похоже на существование реальных словесных объектов.

Так или иначе, 5, -5, 3+2i на самом деле не существуют «вовне», но мы можем использовать их, когда говорим о «внешних» объектах.

Ваше последнее предложение важно, как мы можем описать реальность с помощью нереальных абстракций (комплексных чисел)? Почему мы не используем настоящие абстракции для описания реального мира?
Потому что каждый многочлен имеет комплексный корень, но не обязательно. одиноки.
@Emmad: Как вы думаете, какая разница между нереальной и реальной абстракцией? В математике ярлык — это просто исторический багаж, а не онтологический определитель. Будет ли симметричная группа из n объектов реальной абстракцией? Как насчет группы целых чисел по модулю n ?

Как уже упоминалось, числа, конечно, являются абстракциями. Однако, по крайней мере, вы могли бы утверждать, что целые числа имеют значение, поскольку они представляют количество в реальном мире. Например, перед вами пять яблок.

Теперь, если я возьму одно яблоко, разрежу его пополам и оставлю остальные, у вас не будет ни четырех яблок, ни пяти. Следовательно, действительные числа также могут представлять реальный мир.

Если я заберу все яблоки, что у тебя останется? Ноль тоже абстрактен, однако без него вы не могли бы представить количество, представляющее никакие яблоки. То же самое можно сказать и об отрицательных числах, которые иначе не могли бы представлять банковский долг или падение рыночных цен.

Если вы продолжите эту линию рассуждений, вы поймете, что комплексные числа — это просто еще одно расширение представления в реальном мире, хотя и немного техническое. То, что вы сами не видите приложение, не означает, что его нет.

Придирка: если вы возьмете яблоко и разрежете его на две части, вы продемонстрируете рациональные числа, а не действительные числа.
Рациональные числа — это подмножество действительных чисел, являющееся только числом, которое можно записать в виде дроби. Я имел в виду способность иметь количество, которое не может быть выражено целыми числами. Вы не считаете порошкообразные гранулы муки, например, когда хотите выразить количество. Это может быть иррациональный вес, с которым вам придется иметь дело. Кроме того, для всех намерений и целей это выглядит как половинка яблока, но на самом деле это значение, которое нельзя выразить рациональным числом.
Поскольку в яблоке конечное число атомов, а количество атомов в каждой части разделенного числа является целым числом, оно выглядит как половинка яблока, но на самом деле является рациональным числом. Точно так же гранулы муки всегда будут иметь рациональный вес. Иррациональные числа нечасто встречаются в реальных примерах (если мы проводим измерения до их окончательного вывода). Но, как я уже сказал, это всего лишь небольшая придирка, и ваш ответ был довольно хорош.
Как мы можем иметь «естественное существование» для комплексных чисел? [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v