Существует ли единственная истинная теория множеств?

Или это указание на то, что на самом деле существует более одной теории множеств, точно так же, как отрицание постулата параллельности в неевклидовой геометрии привело к нескольким различным геометриям: эллиптической и сферической, причем евклидова геометрия занимает особое место, потому что она плоская?

Да, примерно так: изучается множество теорий множеств, и каждая зависит от того, каким вы хотите видеть «множество».

Проблема с множествами заключается в том, что мы используем их в самых разных контекстах. Таким образом, возникает вопрос: подходит ли данная теория множеств T для данного контекста? То, что мы называем «набором» в одном случае, может не иметь (почти) ничего общего с употреблением в другом случае. Теперь математика занимается построением систем, которые (надеюсь) внутренне непротиворечивы, без необходимости иметь внешний смысл или соответствовать какой-либо реальной части природы (вселенной).

Но как философы мы могли бы спросить себя: если то, что называется множеством здесь, и то, что называется множеством там, имеют так много общего (содержащие элементы и тому подобное), могут ли они быть одним и тем же? Если вы платоник (или, по крайней мере, математический платоник), то с точки зрения бритвы Оккама кажется разумным предположить, что это «множество» — одно и то же. Могут быть некоторые проблемы с разговором о множествах (известная нам логика полна проблем, таких как неполнота логики второго порядка, и все наши теории основаны на этой логике), но идея, которую вы упомянули, - представление одного и того же через разные взгляды - приходит на помощь (разные взгляды дают разные идеи, может быть, иногда даже "неверные", но суть отражена во всех взглядах).

Лично я не платоник, и я не думаю, что множества существуют в какой-либо независимой от нас форме, и я верю, что в разных контекстах «множество» означает разные вещи, и я думаю, что вряд ли может быть какая-то связь между эти обычаи.

Здесь у вас есть два вопроса: один об уникальности теории множеств, а другой об основах математики.

• Есть одна наивная теория множеств. Элементы, объединения, множества степеней, бесконечности и другие операции, а также множество маленьких и больших теорем — почти то, что вы хотите от теории множеств. Но это не выдерживает даже незначительной проверки (набор множеств, которые не являются членами самих себя, что это за вещи?). И как только вы начинаете аксиоматизировать его, вы получаете сомнительные аксиомы (например, аксиому выбора) и множество семантических интерпретаций. Первая ситуация, как вы заметили, похожа на евклидову геометрию, являющуюся одной из многих подобных геометрии вещей. Вы выбираете, какая теория вам нужна, чтобы помочь вам с вещами, о которых вы хотите поговорить (от арифметики второго порядка до ультрафинитизма) .) путем удаления или изменения любой из обычных аксиом для ZFC . Вы можете получить разумную систему AF (Антиоснова) , которая есть ZFC с отрицанием аксиомы основания. Это дает вам набор вещей, но с некоторыми другими

• Что касается оснований, то теория множеств и теория категорий не являются одним и тем же видом оснований. Теория множеств — это основа доказуемости для всей математики, того, как вы знаете , что для любого конкретного содержания (теория групп или алгебраическая геометрия) вы можете свести доказательства в этих областях к доказательствам в теории множеств. Теория категорий, с другой стороны, является основой для понятий, того, как понятия в одной области могут (или не могут) выглядеть так же, как в другой области. Вы можете «делать» теорию множеств в теории категорий и наоборот, но смысл в разных системах разный.

Учитывая, что в настоящее время существует два подхода к основам, можно ли утверждать, что «истинная» теория множеств представлена ​​только в этих двух подходах? Точно так же скажите, что число «9» представлено как девять или 1001?

Придерживаясь вашего примера, мы легко понимаем, что разные представления объекта имеют разные свойства. Таким образом, ваши три представления «одного и того же объекта» используют соответственно 1, 3 и 2 различных символа.

Конечно, вы не хотите смешивать объект и его представления, но когда вы думаете об «истинности Основ математики » и « изоморфизме между различными системами основ», вы манипулируете представлениями. И вы хотите знать, обеспечивают ли различные представления эквивалентную систему доказательств. То есть, если вы можете сконструировать репрезентативный объект реального объекта в одной системе, вы также можете сконструировать репрезентацию того же фактического объекта в другой репрезентативной системе, и что все интересующие вас свойства, которые вы можете вывести из одной представление, вы также можете индуцировать его из предполагаемого изоморфного представления.

Так что ваш вопрос можно было бы переформулировать так:

• Можем ли мы доказать, что все основания математики изоморфны?
• если да, можем ли мы назвать эту изоморфную структуру «Единой Истинной Теорией»?

Что касается первого вопроса, можно задокументировать теоремы Гёделя о неполноте, которые «широко, но не повсеместно интерпретируются как демонстрирующие [что нахождение] полного и непротиворечивого набора аксиом для всей математики невозможно».

Во-вторых, это вопрос личных критериев, которые вы применяете для определения истины.

Я не смог предоставить все релевантные ссылки, которые я хотел добавить, потому что в настоящее время у меня недостаточно «кредита», но вот несколько полезных ключевых слов, которые следует искать по этому вопросу:

• Структурная индукция
• Система доказательств
• Последовательность
• Полнота
• надежность
• Теоремы Гёделя о неполноте

Нет, истинной теории множеств не существует (за исключением конечных частей). Наиболее важной и интересной особенностью теории множеств является существование несчетных множеств. Но это существование противоречит аксиомам.

Можно доказать, что все определимые элементы множеств принадлежат счетному множеству. Поэтому большинство элементов несчетных множеств неопределимы. С другой стороны, аксиома экстенсиональности Цермело гласит: «Аксиома 1: ... Или кратко: всякое множество определяется своими элементами. (Аксиома детерминированности)». различимы и не существуют.

Но есть еще более простое противоречие фактической бесконечности, необходимой для теории множеств. Он основан на аргументе, часто применяемом в теории множеств уже Кантором в его первом применении трансфинитной индукции:

«Если были исключения, то одно из них было наименьшим, назовем его а, таким, что теорема была верна для всех х < а, но не для х = < а, что противоречит доказательству». [ГРАММ. Cantor: "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre 2", Math. Аннален 49 (1897), стр. 207-246, § 18]

Почему бы не применить его к тому факту, что никакого натурального числа недостаточно, чтобы сделать множество |N действительно бесконечным?

Теорема: последовательность натуральных чисел на самом деле не бесконечна.

Доказательство: Натуральные числа 1, 2, ..., n не образуют действительно бесконечного множества. Если бы существовали натуральные числа, способные произвести действительно бесконечное множество, то одно из них было бы наименьшим, назовем его а, так что теорема была верна для всех х < а, но не для х = < а. Противоречие.

Конечно, натуральные числа потенциально бесконечны. Это нельзя опровергнуть. В отношении этого факта доказательства, подобные настоящему, были бы забавными — и их часто так называли. Но когда замолчат критики, тогда смысл бесконечности будет незаметно и незаметно изменен с потенциального на актуальное. – Действительно коварная процедура.

Вот почему теоретики множеств отказываются понимать разницу между потенциальной и актуальной бесконечностью. Их стандартная процедура станет очевидной.

В главе VI https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf собрано гораздо больше противоречий.