Как найти ранг матрицы \dot{X^\nu} } для строкового лагранжиана Намбу-Гото?

I) В этом ответе мы рассмотрим стандартную строку Намбу-Гото (NG) и покажем, что гессиан имеет коранг 2. Метрика целевого пространства (TS)$G_{\mu\nu}(X)$имеет соглашение о знаках$(-,+,\ldots,+)$, и$c=1=\hbar$. Плотность лагранжиана NG равна

$$\begin{align}{\cal L}_{NG} ~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta}\cr ~=~&-\det\begin{pmatrix}a &c \cr c & d \end{pmatrix}\cr ~=~& c^2-a d\geq 0,\cr a~:=~&\dot{X}^2~\leq~0,\cr c~:=~&\dot{X}\cdot X^{\prime} ,\cr d~:=~&(X^{\prime})^2~>~0.\end{align}\tag{1}$$ Неравенство${\cal L}_{(1)}\geq 0$поясняется, например, в Ref. 1. В дальнейшем мы будем рассматривать только регулярные точки мирового листа, где $${\cal L}_{(1)}~>~0\tag{2}$$ является строго положительным.

II) Импульсы

$$\begin{align} P_{(1)\mu} ~:=~&\frac{\partial {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}}\cr ~=~& 2c X^{\prime}_{\mu} -2 d \dot{X}_{\mu} , \cr P_{(1)}\cdot \dot{X}~=~&2{\cal L}_{(1)},\end{align}\tag{3}$$ $$P_{\mu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_{NG}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ -\frac{T_0}{2{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}} P_{(1)\mu}. \tag{4}$$

III) Исходная плотность гамильтониана обращается в нуль тождественно

$${\cal H}_0~:=~ P\cdot \dot{X} - {\cal L}_{NG}~=~0 , \tag{5}$$

как и следовало ожидать от теории, инвариантной к репараметризации. Это означает, что какими бы ни были первичные ограничения , вторичных ограничений не будет. Мы находим два основных ограничения

$$P_{(1)}\cdot X^{\prime} ~=~0 \quad\Rightarrow \quad \chi_0~:=~P\cdot X^{\prime} ~=~0,\tag{6}$$

$$P_{(1)}^2~=~ -4d {\cal L}_{(1)}\quad\Rightarrow \quad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~=~0.\tag{7}$$

Затем два основных ограничения (6) и (7) образуют алгебру Пуассона первого класса .

$$\begin{align}\{\chi_0(\sigma),\chi_0(\sigma^{\prime})\}_{PB} ~=~&\left[ \chi_0(\sigma)+\chi_0(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime})\cr ~=~&\{\chi_1(\sigma),\chi_1(\sigma^{\prime})\}_{PB},\cr \{\chi_0(\sigma),\chi_1(\sigma^{\prime})\}_{PB} ~=~&\left[ \chi_1(\sigma)+\chi_1(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}). \end{align}\tag{8}$$

Эквивалентно, если мы определим

$$\chi_{\pm} ~:=~ \frac{\chi_1\pm\chi_0}{2} ~=~ T_0Y_{\pm}^2 ,\tag{9}$$

с

$$\begin{align} Y^{\mu}_{\pm} ~:=~&\frac{1}{2T_0}P^{\mu}\pm\frac{1}{2}X^{\mu\prime},\cr Y_{\pm,\mu}~:=~&G_{\mu\lambda}Y^{\lambda}_{\pm}\cr ~=~&\frac{1}{2T_0}P_{\mu}\pm\frac{1}{2}G_{\mu\lambda}X^{\lambda\prime}, \end{align}\tag{10}$$

который удовлетворяет

$$\begin{align} \{Y_{\pm,\mu}& (\sigma), Y_{\pm^{\prime},\nu}(\sigma^{\prime})\}_{PB}\cr ~=~& \frac{1}{4T_0}\left[ \pm G_{\mu\nu}(\sigma)\pm^{\prime} G_{\mu\nu}(\sigma^{\prime})\right]\delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}) \cr &+\frac{1}{4T_0}\left[\pm \partial_{\nu}G_{\mu\lambda}\mp^{\prime}\partial_{\mu}G_{\nu\lambda}\right]X^{\lambda\prime} \delta(\sigma-\sigma^{\prime}) \cr ~=~& \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{4T_0}\left[ G_{\mu\nu}(\sigma) + G_{\mu\nu}(\sigma^{\prime})\right]\delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime})\cr & - \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{8T_0}\Gamma_{[\mu,\nu]\lambda}X^{\lambda\prime} \delta(\sigma-\sigma^{\prime})\cr & + \frac{\pm 1 \mp^{\prime} 1}{4T_0}X^{\lambda\prime} \Gamma_{\lambda,\mu\nu} \delta(\sigma-\sigma^{\prime}), \end{align}\tag{11}$$

то мы классически получаем прямую сумму двух копий алгебры Витта

$$\begin{align}\{\chi_{\pm}(\sigma),&\chi_{\pm^{\prime}}(\sigma^{\prime})\}_{PB}\cr~=~& \frac{\pm 1 \pm^{\prime} 1}{2} \left[ \chi_{\pm}(\sigma)+\chi_{\pm^{\prime}}(\sigma^{\prime})\right] \delta^{\prime}(\sigma-\sigma^{\prime}).\end{align} \tag{12}$$

Отметим, в частности, что$+$и$-$сектор в экв. (12) Пуассон взаимно коммутирует! Полная плотность гамильтониана принимает вид «множители Лагранжа, умноженные на ограничения».

$${\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\} .\tag{13}$$

IV) Гессен читает

$$H_{(1)\mu\nu}~:=~\frac{\partial^2 {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}\partial \dot{X}^{\nu}} ~=~2 X^{\prime}_{\mu}X^{\prime}_{\nu} -2d G_{\mu\nu}\tag{14} ,$$

$$H_{(1)\mu\nu}X^{\prime\nu}~=~0, \qquad H_{(1)\mu\nu}\dot{X}^{\nu}~=~P_{(1)\mu},\tag{15}$$

$$\begin{align} H_{\mu\nu}~:=~& \frac{\partial^2 {\cal L}_{NG}}{\partial \dot{X}^{\mu}\partial \dot{X}^{\nu}}\cr ~=~&-\frac{T_0}{2{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}}H_{(1)\mu\nu}+\frac{T_0}{4{\cal L}_{(1)}^{\frac{3}{2}}}P_{(1)\mu}P_{(1)\nu}\end{align}\tag{16} ,$$ $$\begin{align} -\frac{{\cal L}_{(1)}^{\frac{3}{2}}}{T_0}H_{\mu\nu} ~=~&\frac{1}{2}{\cal L}_{(1)}H_{(1)\mu\nu}+\frac{1}{4}P_{(1)\mu}P_{(1)\nu}\cr ~=~& (c^2-ad)(X^{\prime}_{\mu}X^{\prime}_{\nu} -d G_{\mu\nu})\cr &- (c X^{\prime}_{\mu} -d \dot{X}_{\mu})(c X^{\prime}_{\nu} -d \dot{X}_{\nu}).\end{align}\tag{17}$$

V) Легко проверить, что$\dot{X}$и$X^{\prime}$являются двумя нулевыми модами для гессиана$H_{\mu\nu}$.

Теперь рассмотрим произвольную нулевую моду

$$Z~\notin~ {\rm span}_{\mathbb{R}}(\dot{X},X^{\prime}).\tag{18}$$

Мы хотим найти два действительных числа$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$такой, что вектор

$$V ~:=~ Z - \alpha \dot{X} - \beta X^{\prime} \tag{19}$$ ортогонален$\dot{X}$и$X^{\prime}$, т.е. $$V\cdot \dot{X}~=~0\qquad\text{and}\qquad V\cdot X^{\prime}~=~0. \tag{20}$$ Легко видеть, что это возможно, если${\cal L}_{(1)}\neq 0$, что выполняется в обычных точках мирового листа, ср. неравенство (2). Тогда из уравнения (18) что$V\neq 0$. И с тех пор$\dot{X}$непространственноподобна, то ур. (20) означает, что$V$является космическим.

VI) Наконец, квадратичная форма читается

$$0~=~Z^{\mu}H_{\mu\nu}Z^{\nu}~\stackrel{(14)}{=}~\frac{T_0 d V^2}{{\cal L}_{(1)}^{\frac{1}{2}}}~>~0.\tag{21}$$ Противоречие.

Следовательно$\dot{X}$и$X^{\prime}$являются единственными двумя нулевыми модами. Они идут рука об руку с двумя ограничениями первого класса (6) и (7).

Использованная литература:

1. Б. Цвибах, Первый курс теории струн, 2-е издание, 2009 г.; п. 109-110.

2. Э. Кирицис, Теория струн в двух словах, 2007; стр.15.

I) В этом альтернативном ответе мы разрешаем сингулярный гессиан$H_{\mu\nu}$действия струны Намбу-Гото, вводя с самого начала две вспомогательные переменные, тем самым косвенно показывая, что гессиан$H_{\mu\nu}$должен иметь коранг 2. Метрика целевого пространства имеет$(-,+,\ldots,+)$подписать конвенцию и$c=1=\hbar$. Рассмотрим расширенную плотность лагранжиана Намбу-Гото$^1$

$$\begin{align} {\cal L}(X,e,b) ~:=~&-\frac{{\cal L}_{(1)}(X,b)}{2e}-\frac{eT_0^2}{2}, \qquad e~>~0,\cr {\cal L}_{(1)}(X,b)~:=~&-b^2+2bc-a d ,\cr a~:=~&\dot{X}^2~\leq~0,\cr c~:=~&\dot{X}\cdot X^{\prime} ,\cr d~:=~&(X^{\prime})^2~>~0. \end{align}\tag{1}$$

II) Эомы для$e$и$b$являются

$$(eT_0)^2~\approx~{\cal L}_{(1)}(X,b) \qquad\text{and}\qquad b~\approx~c, \tag{2}$$ соответственно. [Уравнение движения (эом) означает уравнение ЭЛ . $\approx$Знак означает здесь равенство по модулю чисел.] Если мы проинтегрируем вспомогательные переменные$e$и$b$, получаем обычную плотность лагранжиана Намбу-Гото

$$\begin{align}{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c) ~=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} \cr ~=~&-\det\begin{pmatrix}a &c \cr c & d \end{pmatrix}\cr ~=~& c^2-a d~\geq~ 0, \cr {\cal L}_{NG}(X)~:=~&{\cal L}\left(X,e\!=\!\frac{\sqrt{{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c)}}{T_0} ,b\!=\!c\right)\cr ~=~& -T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}(X,b\!=\!c)}.\end{align}\tag{3}$$

III) Импульсы

$$P_{(1)\mu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_{(1)}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ 2b X^{\prime}_{\mu} -2 d \dot{X}_{\mu} ,\tag{4}$$ $$P_{\mu}~:=~\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot{X}^{\mu}} ~=~ -\frac{1}{2e} P_{(1)\mu}. \tag{5}$$

Можно решить для скоростей

$$\begin{align} \dot{X}_{\mu}~=~&\frac{b}{d}X^{\prime}_{\mu}-\frac{1}{2d}P_{(1)\mu}\cr ~=~&\frac{b}{d}X^{\prime}_{\mu}+\frac{e}{d}P_{\mu}.\end{align}\tag{6}$$

Это косвенно указывает на то, что оригинальный Намбу-Гото Гессен$H_{\mu\nu}$(в$X$-сектор) должен иметь коранг (меньше или равен) 2. Введение вспомогательных переменных$e$и$b$сделал переписку$\dot{X} \leftrightarrow P$биективный. [Полное преобразование Лежандра сингулярно во вспомогательном секторе, так как$\dot{e}$и$\dot{b}$не появляться в${\cal L}$.]

IV) Удалив зависимость от скорости (6), плотность лагранжиана принимает вид

$${\cal L}_{(1)}~=~-\frac{e^2P^2}{d}.\tag{7}$$

Плотность гамильтониана принимает вид «временные ограничения множителей Лагранжа».

$$\begin{align} {\cal H}~:=~& P\cdot \dot{X} - {\cal L}\cr ~=~&\frac{b}{d}\chi_1 +\frac{e}{2d}\chi_2, \cr H :=& \int \! d\sigma~{\cal H}. \end{align}\tag{8}$$

Обратите внимание, что вспомогательные переменные$e$и$b$играют роль множителей Лагранжа в формулировке Гамильтона. Два ограничения первого класса :

$$\begin{align} \chi_1~:=~&P\cdot X^{\prime} ~\approx~0, \cr \chi_2~:=~&P^2+T_0^2(X^{\prime})^2~\approx~0.\end{align}\tag{9}$$

Первая половина уравнений Гамильтона. воспроизводит ур. (6). Вторая половина уравнений Гамильтона. дает эом Намбу-Гото.

Использованная литература:

1. Б. Цвибах, Первый курс теории струн, 2-е издание, 2009 г.; п. 109-110.

2. Э. Кирицис, Теория струн в двух словах, 2007; стр.15.

--

$^1$Гауссово интегрирование по вспомогательной переменной$b\equiv b_M$выглядит наивно неустойчивым в подписи Минковского. Вик должен вращаться$\tau_E=i\tau_M$к евклидовой сигнатуре, чтобы получить лагранжеву плотность$-{\cal L}_M={\cal L}_E>0$ограниченный снизу с$-ib_M=b_E\in\mathbb{R}$.

Общее доказательство, применимое к репараметризационно-инвариантным действиям

$$S = \int d^2 u \mathcal{L}(x^{\mu},x_{,i}^{\mu}), \ \ \ \ i = 0,1, \ \ \ \mu = 0,1,\dots, D- 1,$$ следует отметить, что часть вывода теоремы Нётер (вывод, в котором вы предполагаете, что элемент объема также варьируется), схематично выводится следующим образом (подробности см. В ссылке ниже) для бесконечно малого изменения параметров $\tilde{u}^i(u) = u^i + \varepsilon^i(u)$отметив $$\begin{align} \delta S &= \delta \int d^2 u \mathcal{L}(x^{\mu},x_{,i}^{\mu}) \\ &= \int d^2 u [\dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} \delta x^{\mu} + \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} \delta x^{\mu}_{,i} + \mathcal{L} \partial_i \varepsilon^i ] \\ &= \int d^2 u \{ \partial_i [ (\mathcal{L} \delta^i_j - \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} x^{\mu}_{j})\varepsilon^j ] - ( \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} - \dfrac{\partial }{\partial u^i} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{,i}^{\mu}}) x^{\mu}_{,i} \} \\ &= 0, \end{align}$$ implies, for variations of the $u^i$ which vanish at the boundaries, that the operators $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) = \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} - \dfrac{\partial }{\partial u^i} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{,i}^{\mu}} \end{align}$$ satisfy the identities $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) x^{\mu}_{,i} = 0 , \ \ \ i = 0,1 \end{align}$$ automatically, which means we only have $D - 2$ equations of motion for $D$ coordinates, so that the solution depends on two arbitrary functions of the parameters $u^0,u^1$.

For actions like the Nambu-Goto action not depending on the $x^{\mu}$ the operators $L_{\mu}$ take the form

$$L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) = \dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x'^{\mu}})$$ and satisfy the identities $$\begin{align} L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) \dot{x}^{\mu} &= 0 \\ L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x)x'^{\mu} &= 0 \end{align}$$ which when expanded become, say, for $\dot{x}^{\mu}$: $$\begin{align} 0 &= L_{\mu}(\partial x, \partial^2 x) \dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial}{\partial \tau} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\mu}}) + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [ \dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \ddot{x}^{\nu} + \dots + \dfrac{\partial}{\partial \sigma} (\dfrac{\partial \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial x'^{\mu}})]\dot{x}^{\mu} \\ &= [\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \dot{x}^{\mu} ] \ddot{x}^{\nu} + \dots \end{align}$$ and since this must hold regardless of the choice of $x^{\mu}$, the coefficients of each derivative of $x^{\nu}$ must be zero automatically, implying the Hessian satisfies $$[\dfrac{\partial^2 \mathcal{L}(\dot{x},x')}{\partial \dot{x}^{\nu} \partial \dot{x}^{\mu}} \dot{x}^{\mu} ] = 0$$ and similarly starting from $x'^{\mu}$, giving the rank of the Hessian to be $D- 2$. Furthermore analyzing the components of $$t_{ij} = \mathcal{L} \delta^i_j - \dfrac{ \partial \mathcal{L}}{\partial x^{\mu}_{,i}} x^{\mu}_{j} = 0$$ вы получаете оба основных ограничения для действия Nambu-Goto. Все это делается в:

Ссылка:

1. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. (1990). Введение в релятивистскую теорию струн; сек. 3, 7, приложение Б.