Сведение действия Намбу-Гото к истинным степеням свободы

Вот схема сведения от действия Намбу-Гото (NG) к формулировке светового конуса (LC) с точки зрения Гамильтона:

1. Отправной точкой является гамильтонова формулировка струны NG, ср. например, этот пост Phys.SE. Гамильтониан имеет вид «временные ограничения множителей Лагранжа».$^1$

   $$H~:=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\}.\tag{1}$$

2. Два ограничения первого класса читаются

   $$\chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0.\tag{2}$$ Два ограничения первого класса$\chi_{\alpha}$происходят (и порождают) инвариантность репараметризации мирового листа (WS) действия Намбу-Гото.

3. Тогда соответствующий гамильтонианский лагранжиан имеет вид$^1$

   $$L_H~:=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal L}_H, \qquad {\cal L}_H ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H} . \tag{3}$$ Уравнения Эйлера -Лагранжа. для гамильтониана лагранжиана (3) являются уравнениями Гамильтона. $$\dot{X}^{\mu}~\approx~\lambda^0X^{\mu\prime}+ \frac{\lambda^1}{T_0}P^{\mu},\qquad \dot{P}^{\mu}~\approx~\left(\lambda^0 P^{\mu}+ T_0\lambda^1 X^{\mu\prime}\right)^{\prime},\tag{4}$$ вместе с двумя ограничениями (2).

4. Мы используем координаты светового конуса (LC)

   $$X^{\pm}~:=~\frac{X^0\pm X^1}{\sqrt{2}} ,\tag{5}$$ и метрика Минковского $$\eta_{\mu\nu} ~dX^{\mu}~ dX^{\nu} ~=~ -(dX^0)^2 + (dX^1)^2 + (dX^{\perp})^2$$ $$~=~ -2dX^+dX^- + (dX^{\perp})^2,\tag{6}$$ в целевом пространстве (TS). [В$\perp$символ обозначает поперечные координаты.]

5. Мы зафиксируем калибровочную симметрию, наложив два соответствующих условия фиксации калибровки

   $$X^+(\tau,\sigma)~=~f(p^+(\tau))\tau\qquad\text{and}\qquad P^+(\tau,\sigma)~=~p^+(\tau), \tag{7}$$ т.е. датчик LC , где$f>0$— некоторая положительная функция, обычно принимаемая за линейную или постоянную функцию. Мы опустили обычную мультипликативную константу в условии (7b) для простоты.

6. В LC-калибровке (7) плотность гамильтониана лагранжиана (3) принимает вид

   $${\cal L}_H ~=~P\cdot \dot{X} -\lambda^0\left\{-X^{-\prime} p^+ +\chi^{\perp}_0 \right\} -\lambda^1\chi_1$$ $$~\sim~P\cdot \dot{X} - \lambda^{0 \prime} X^- p^+ -\lambda^0\chi^{\perp}_0 -\lambda^1 \left\{-\frac{p^+ P^-}{T_0} + \chi^{\perp}_1\right\}. \tag{8}$$ The $\sim$символ означает здесь равные по модулю полные члены производной. Также мы ввели, как мы надеемся, естественную сокращенную запись $$\chi^{\perp}_0~:=~P^{\perp}\cdot X^{\perp\prime}, \qquad \chi^{\perp}_1~:=~\frac{(P^{\perp})^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\perp\prime})^2.\tag{9}$$

7. Затем разложите две координаты$X^-$и$P^-$в координатах среднего значения

   $$x^-(\tau)~:=~ \frac{1}{\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma~X^-(\tau,\sigma),\qquad p^-(\tau)~:=~ \frac{1}{\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma~P^-(\tau,\sigma),\tag{10}$$ и координаты $$Y^-~:=~X^- - x^-,\qquad R^-~:=~P^- - p^-,\tag{11}$$ с нулевыми средствами.

8. Кинетический член в гамильтоновом лагранжиане (8) упрощается до

   $$\int_0^{\ell}\! d\sigma~P\cdot \dot{X} ~=~\int_0^{\ell}\!d\sigma\left\{\left(-f(p^+)-\tau\frac{df(p^+)}{d\tau}\right) P^- -p^+\dot{X}^- + P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp}\right\}$$ $$~=~- \ell f(p^+)p^- - \ell p^+\dot{x}^- +\int_0^{\ell}\!d\sigma~ P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp}.\tag{12}$$ В последнем равенстве (12) мы опустили член$\frac{df(p^+)}{d\tau}$, потому что$p^+$есть постоянная движения, так как$x^-$— циклическая координата (в гамильтоновом смысле), ср. экв. (16) ниже.

9. Отметим, что в гамильтоновом лагранжиане (8) переменные$Y^-$и$R^-$появляются только в одном месте каждый внутри$X^-$и$P^-$, соответственно. Интеграция через$Y^-$и$R^-$подразумевает, что

   $$\lambda^{0 \prime\prime}~\approx~ 0 \quad\text{and}\quad \lambda^{1 \prime}~\approx~ 0,\tag{13}$$ соответственно. Чтобы понять дополнительные производные в уравнении. (13), см., например , этот пост Phys.SE для аналогичного аргумента для действия струны Полякова. Затем соответствующие граничные/периодические условия подразумевают, что $$\lambda^{0 \prime}~\approx~ 0.\tag{14}$$ Таким образом, оба множителя Лагранжа$\lambda^0$и$\lambda^1$являются глобальными константами.

10. Интегрирование по константе$\lambda^1$-mode накладывает LC-энергетическое условие (2b)

    $$p^- ~\approx~ \frac{T_0}{p^+\ell}\int_0^{\ell}\! d\sigma ~\chi^{\perp}_1,\qquad \chi^{\perp}_1~:=~\frac{(P^{\perp})^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\perp\prime})^2.\tag{15}$$ Затем$p^-$уже не является независимой переменной. Гамильтониан LC читает $$H^{LC}~:=~f(p^+)\ell p^-+\lambda^0 \int_0^{\ell}\! d\sigma~\chi^{\perp}_0 ~=~\int_0^{\ell}\! d\sigma~{\cal H}^{LC}, \tag{16}$$ $${\cal H}^{LC}~:=~\lambda^0\chi^{\perp}_0 +T_0\frac{f(p^+)}{p^+} \chi^{\perp}_1.\tag{17}$$ Заманчиво ввести (возможно, сбивающую с толку) сокращенную запись $$\lambda^1~:=~T_0\frac{f(p^+)}{p^+}~>~0 \tag{18}$$ в уравнении (17), так что ЖК-гамильтониан (17) внешне имеет тот же вид, что и исходный гамильтониан (1). $\lambda^1$в уравнении (18) не следует путать с нулевой модой множителя Лагранжа.$\lambda^1$, который на данном этапе был интегрирован.

11. Лагранжиан гамильтониана LC с фиксированной калибровкой становится тогда

    $$L^{LC}_H~=~ - \ell p^+\dot{x}^- +\int_0^{\ell}\!d\sigma~ P^{\perp}\cdot \dot{X}^{\perp} - H^{LC},\tag{19}$$ где гамильтониан ЖК$H^{LC}$дается в уравнении (16). Остальные динамические переменные являются поперечными переменными$X^{\perp}$и$P^{\perp}$и нулевые моды$x^-$и$p^+$. Ненулевые фундаментальные скобки Пуассона читаются $$\{x^-, p^+\}_{PB}~=~-\frac{1}{\ell}, \qquad \{X^{\mu\perp}(\sigma), P^{\perp}_{\nu}(\sigma^{\prime})\}_{PB}~=~\delta^{\mu}_{\nu}\delta(\sigma-\sigma^{\prime}).\tag{20}$$ Это отвечает на вопрос ОП об истинных степенях свободы. Кроме того, есть множитель Лагранжа с нулевым режимом.$\lambda^0$, которые будут обсуждаться ниже.

12. Теперь давайте обсудим роль множителя Лагранжа нулевой моды.$\lambda^0$. Для открытой струны со свободными концами следует наложить граничные условия Неймана

    $$\frac{\partial{\cal L}_H}{\partial X^{\prime}_{\mu}}~=~0\quad\text{for}\quad \sigma~\in~\{0,\ell\}, \tag{21}$$ что за координата$\mu=+$подразумевает, что постоянный режим$\lambda^0=0$должен исчезнуть (если$p^+\neq 0$).

13. В оставшейся части этого ответа мы обсудим закрытую строку. Интегрирование по постоянному множителю Лагранжа$\lambda^0$накладывает так называемое ограничение/условие согласования уровней (LMC)

    $$\int_0^{\ell}\!d\sigma~\chi^{\perp}_0~\approx~0, \qquad \chi^{\perp}_0~:=~P^{\perp}\cdot X^{\perp\prime}. \tag{22}$$ И наоборот, интегрирование по конкретной моде поперечной струны присвоило бы (квантовое) среднее значение$\lambda^0$. Однако, чтобы сохранить красивую чистую классическую картину, ср. Согласно формуле (23) ниже, мы предпочитаем отложить интегрирование по конкретной моде поперечной струны и нулевой моде.$\lambda^0$Для последующего.

14. Уравнения LC Гамильтона. читать

    $$\dot{X}^{\perp}~\approx~\lambda^0X^{\perp\prime}+ \frac{\lambda^1}{T_0}P^{\perp},\qquad \dot{P}^{\perp}~\approx~\lambda^0P^{\perp\prime}+ T_0\lambda^1X^{\perp\prime\prime},\tag{23}$$ где$\lambda^1$дается уравнением (18). Устранение поперечных импульсов$P^{\perp}$урожаи $$\ddot{X}^{\perp}-2\lambda^0 \dot{X}^{\perp\prime} + (\lambda^0+\lambda^1)(\lambda^0-\lambda^1) X^{\perp\prime\prime}~\approx~0. \tag{24}$$

15. Введем новые координаты ЗС

    $$\sigma^{\pm}~:=~ \sigma \pm \lambda^{\pm}\tau ~\equiv~(\sigma + \lambda^0\tau) \pm \lambda^1\tau, \qquad \lambda^{\pm}~:=~\lambda^1\pm \lambda^0, \tag{25}$$ по характеристикам УЧП (24). Уравнения LC Гамильтона. (23) стать $$P^{\perp}~\approx~T_0(\partial_+ - \partial_-)X^{\perp},\qquad (\partial_+ - \partial_-)P^{\perp}~\approx~T_0(\partial_+ + \partial_-)^2X^{\perp}.\tag{26}$$ EOM (24) факторизуется $$\partial_+\partial_-X^{\perp}~\approx~0, \tag{27}$$ с полным решением, представляющим собой сумму левого и правого движения $$X^{\perp}~\approx~ X^{\perp}_L(\sigma^+)+X^{\perp}_R(\sigma^-). \tag{28}$$ Условия периодичности накладывают дополнительные условия на лево- и праводвигателей, ср. исх. 1-5.

16. На оболочке гамильтониан ЖК (16) принимает вид

    $$H^{LC}~\approx~T_0\int_0^{\ell}\! d\sigma\left[\lambda^+(\partial_+X_L^{\perp})^2 + \lambda^-(\partial_-X_R^{\perp})^2 \right]$$ $$~=~T_0\int_0^{\ell}\! d\sigma\left[ \lambda^0 \left\{(\partial_+X_L^{\perp})^2-(\partial_-X_R^{\perp})^2\right\} + \lambda^1 \left\{(\partial_+X_L^{\perp}\}^2+(\partial_-X_R^{\perp})^2\right\}\right],\tag{29}$$ где$\lambda^1$дается уравнением (18). Обратите внимание, что неявная зависимость$\lambda^0$в уравнении (29) всегда появляется в комбинации$\sigma + \lambda^0\tau$[из-за новых координат ЗС$\sigma^{\pm}$, ср. экв. (25)]. Поскольку строка$\ell$-периодический, мы можем сдвинуть$\sigma$-интегрирование в LC-гамильтониане (29), чтобы избавиться от неявного$\lambda^0$-зависимость. Таким образом$\lambda^0$перед БМО (22) - единственная актуальная$\lambda^0$-зависимость, как и должно быть. Интеграция через$\lambda^0$обеспечивает соблюдение LMC (22).

17. Наконец, давайте вернемся к вопросу ОП. Классически ортогональное условие

    $$\dot{X}\cdot X^{\prime}~\approx~0,\tag{30}$$ о котором спрашивает ОП, эквивалентно выбору нулевого режима$\lambda^0=0$быть равным нулю, см. уравнения (2а) и (4а). Это то, что происходит в открытой строке. В замкнутой строке мы должны интегрировать по$\lambda^0$. Тем не менее, мы можем уйти от работы в$\lambda^0=0$"калибровка", если мы дополнительно наложим ограничение соответствия уровней (22) вручную. Последний подход часто используется в учебниках по теории струн.

Использованная литература:

1. Б. Цвибах, Первый курс теории струн, 2-е издание, 2009 г.

2. Дж. Полчински, Теория струн, Vol. 1, 1998.

3. Р. Блюменхаген, Д. Ласт и С. Тайзен, Основные концепции теории струн, 2012.

4. К. Сандермейер, Динамика с ограничениями, Конспект лекций по физике 169, 1982.

5. М. Хенно и К. Тейтельбойм, Квантование калибровочных систем, 1994.

--

$^1$Вот доказательство того, что наша отправная точка в этом ответе, гамильтонов лагранжиан (3), описывает струну NG, по крайней мере, классически. Если мы интегрируем$P^{\mu}$импульсов в гамильтоновом лагранжиане (3), получаем плотность лагранжиана$^2$

$${\cal L}~=~T_0\frac{\left(\dot{X}-\lambda^0 X^{\prime}\right)^2}{2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2} (X^{\prime})^2.\tag{i}$$

Интегрирование следующих вспомогательных переменных$\lambda^0$приводит к

$$\left. {\cal L}\right|_{\lambda_0} ~=~-\frac{T_0{\cal L}_{(1)}}{2(X^{\prime})^2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2}(X^{\prime})^2,\tag{ii}$$ где $${\cal L}_{(1)}~:=~-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0.\tag{iii}$$

Наконец-то интеграция

$$\lambda^1~>~0 \tag{iv}$$

то дает стандартную плотность лагранжиана NG

$${\cal L}_{NG}~:=~-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}. \tag{v}$$

[Мы предположили, что вспомогательная переменная$\lambda^1>0$положительна (iv), чтобы избавиться от ветви с отрицательным квадратным корнем. Крайне важно, чтобы отрицательная ветвь квадратного корня отсутствовала. После вращения Вика это привело бы к неустойчивому экспоненциально растущему (а не к экспоненциально подавленному) фактору Больцмана. ] Наоборот, если мы преобразуем Лежандра плотность лагранжиана (i), мы получим обратно плотность гамильтониана (1), ср. мой Phys.SE здесь . Более того, следует упомянуть общеизвестный факт, что если мы интегрируем полную метрику WS$h_{\alpha\beta}$в плотности лагранжиана Полякова

$${\cal L}_P~=~-\frac{T_0}{2} \sqrt{-h} h^{\alpha\beta} \partial_{\alpha}X \cdot\partial_{\beta}X ~=~\frac{T_0}{2} \left\{\frac{\left(h_{\sigma\sigma}\dot{X}- h_{\tau\sigma}X^{\prime}\right)^2}{\sqrt{-h}h_{\sigma\sigma}} - \frac{ \sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}(X^{\prime})^2 \right\}, \tag{vi}$$

тогда мы получим стандартную плотность лагранжиана NG (v), ср. этот пост Phys.SE. [Мы выбираем ветвь для квадратного корня$\sqrt{-h}$имеет тот же знак, что и$h_{\sigma\sigma}$чтобы сделать кинетический член$\dot{X}^2$положительно определенная.] И наоборот, плотность лагранжиана Полякова (vi) может быть получена из плотности лагранжиана Полякова (P) Де Дондер-Вейля (DDW)

$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{h_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-h}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2\end{align} \tag{vii}$$

путем интегрирования полиимпульсов$P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$. См. также, например, мой ответ Phys.SE здесь . Во втором равенстве уравнения (vii), мы определили

$$\lambda^0~=~\frac{h_{\tau\sigma}}{h_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{h^{\tau\sigma}}{h^{\tau\tau}},$$ $$\lambda^1~=~\frac{\sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-h}h^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad h~:=~\det\left(h_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1 h_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \tag{viii}$$

Точно так же в лагранжевой картине плотность лагранжиана Полякова (vi) равна плотности лагранжиана (i) при отождествлении (viii). Дело в том, что только 2 из 3 степеней свободы в метрике WS$h_{\alpha\beta}$входят в действие Полякова из-за симметрии Вейля на классическом уровне. Поэтому метрика WS$h_{\alpha\beta}$можно заменить только двумя переменными$\lambda^0$и$\lambda^1$. Переписка (vi)$\leftrightarrow$(i) устанавливает более тонкую эквивалентность между лагранжевой формулировкой Полякова и Намбу-Гото, чем простое интегрирование полной метрики WS$h_{\alpha\beta}$грубой силой.

Наконец, если мы только проинтегрируем

$$P^{\sigma}~\approx~-T_0\lambda^1X^{\prime}-\lambda^0P^{\tau}\tag{ix}$$

в плотности лагранжиана Полякова Де Дондера-Вейля (vii), но сохранить$P^{\tau}\equiv P$переменной, то плотность лагранжиана Полякова Де Дондера-Вейля (vii) становится плотностью гамильтониана лагранжиана (3), т.е. нашей отправной точкой в ​​этом ответе. Это показывает, что формулировки Намбу-Гото и гамильтоновой формулировки Полякова эквивалентны, ср. этот пост Phys.SE.

$^2$Гауссово интегрирование по вспомогательной переменной$\lambda^0\equiv \lambda^0_M$выглядит наивно неустойчивым в подписи Минковского. Вик должен вращаться$\tau_E=i\tau_M$к евклидовой сигнатуре, чтобы получить лагранжеву плотность$-{\cal L}_M={\cal L}_E>0$ограниченный снизу с$-i\lambda^0_M=\lambda^0_E\in\mathbb{R}$. Другими словами, продукт$\lambda^0_M\tau_M=\lambda^0_E\tau_E$должны оставаться инвариантными при вращении Вика.