Как обращается в нуль граничный член в вариации действия

Question

Как обращается в нуль граничный член в вариации действия

действие
Физика
пограничные условия
лагранжев формализм
вариационный принцип

пользователь12906

В конспектах лекций Дэвида Тонга по QFT ( Квантовая теория поля: Кембриджский университет, часть III Mathematical Tripos, Lecture note 2007, стр . 8 ) он утверждает, что

Мы можем определить уравнения движения по принципу наименьшего действия. Варьируем путь, оставляя конечные точки фиксированными и требуем $\delta S=0$ ,
$\begin{aligned} дельта С & "=" \int г^{4} Икс [\frac{\partial л}{\partial ф_{а}} дельта ф_{а} + \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф_{а})} дельта (\partial_{мю} ф_{а})] \\ (1,5) & "=" \int г^{4} Икс [\frac{\partial л}{\partial ф_{а}} - \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф_{а})})] дельта ф_{а} + \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф_{а})} дельта ф_{а}) \end{aligned}$ $\begin{align} \delta S &= \int d^4x\left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi_a}\delta\phi_a+\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta(\partial_\mu\phi_a)\right] \\&= \int d^4x\left[\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi_a} -\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\right) \right]\delta\phi_a +\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta\phi_a\right) \tag{1.5} \end{align}$ Последний член является полной производной и равен нулю для любого $\delta\phi_a(\vec x,t)$ который распадается на пространственной бесконечности и подчиняется $\delta\phi_a(\vec x,t_1)=\delta\phi_a(\vec x,t_2)=0$ . Требование $\delta S=0$ для всех таких путей дает уравнения движения Эйлера-Лагранжа для полей $\phi_a$ , $\begin{matrix} (1.6) & \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф_{а})}) - \frac{\partial л}{\partial ф_{а}} "=" 0 \end{matrix}$ $\partial_\mu\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\right) -\frac{\partial \mathcal L}{\partial\phi_a} =0 \tag{1.6}$

Может ли кто-нибудь объяснить немного больше, почему последний член в уравнении (1.5) исчезает?

Ответы (2)

Как обращается в нуль граничный член в вариации действия

луксен · Answer 1

Термин исчез, потому что мы можем перевести этот термин в высказывание о полях на границе и предположить, что сами поля исчезают в пространственной и временной бесконечности.

По теореме Стокса интегралы по объему можно перевести в интегралы по поверхности. Более конкретно, теорема Гаусса утверждает, что интеграл от дивергенции поля по объему (обозначается $V$ ) к интегралу от самого поля по поверхности этого объема (обозначается $\partial V$ )

\int_{В} див \vec{А} г В "=" \int_{\partial В} \vec{А} г \vec{С}

$\int_V \textrm{div} \vec{A}\,\textrm{d}V= \int_{\partial V} \vec{A}\,\textrm{d}\vec{S}$

Это справедливо для любого измерения и показателя. В пространстве Минковского дивергенция (называемая четырехдивергенцией) в точности равна $\partial_\mu\phi$

Таким образом, вы можете перевести

\int_{В} \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)}) г В "=" \int_{\partial В} \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} г Σ_{мю}

$\int_V \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)\, \textrm{d}V = \int_{\partial V} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\, \textrm{d}\Sigma_\mu$

т. е. если мы предположим, что поля (и, следовательно, лагранжева плотность) обращаются в нуль на бесконечности, этот член обращается в нуль.

Обратите внимание, что полям недостаточно просто исчезнуть на бесконечности, они должны исчезнуть достаточно быстро в зависимости от расстояния. $r$ к происхождению, что $r$ -зависимость того, что вы интегрируете, "бьет" $r$ -зависимость объема сферы от радиуса $r$ .
да, это правда, извините за корявую формулировку

джошфизика · Answer 2

Последний член имеет вид

\int г^{н} Икс \partial_{мю} {Икс}^{мю}

$\int d^n x \partial_\mu X^\mu$ и по теореме Стокса это равно поверхностному интегралу при

\infty

$\infty$

\int_{\infty} г с^{мю} {Икс}_{мю}

$\int_\infty ds^\mu X_\mu$ который исчезает при условии

X^{μ} \to 0

$X^\mu\to 0$ достаточно быстро на бесконечности.

Дополнение. Я понимаю, что это довольно краткий ответ, поэтому позвольте мне добавить некоторые детали. Обратите внимание, что элемент ориентированной поверхности $ds^\mu$ принадлежащий $n$ -сфера имеет поведение

г с^{мю} "=" г А_{н - 1} р^{н - 1} {\hat{н}}^{мю}

$ds^\mu = dA_{n-1} r^{n-1} \,\hat n^{\mu}$ там

n^{μ}

$n^\mu$ является радиально направленной наружу единицей измерения, нормальной и

d A_{n - 1}

$dA_{n-1}$ элемент площади на единицу

n - 1

$n-1$ сфера. Например, в двух пространственных измерениях мы имеем

г с^{мю} "=" \underset{элемент длины на единичной окружности}{\underset{⏟}{г А_{1}}} р {\hat{н}}^{мю}

$ds^\mu = \underbrace{dA_1}_{\text{length element on unit circle}} r\,\hat n^\mu$ в то время как в трех пространственных измерениях

г с^{мю} "=" \underset{элемент площади на единичной 2-сфере}{\underset{⏟}{г А_{2}}} р^{2} {\hat{н}}^{мю}

$ds^\mu = \underbrace{dA_2}_{\text{area element on unit 2-sphere}} r^2\, \hat n^\mu$ Поверхностный интеграл на «бесконечности» можно рассматривать как предел интеграла по поверхности сферы, когда радиус сферы становится большим;

\int_{\infty} г с^{мю} {Икс}_{мю} "=" \underset{р \to \infty}{лим} \int_{С^{н - 1}} г А_{н - 1} р^{н - 1} {\hat{н}}^{мю} {Икс}_{мю} (р, \vec{ф})

$\int_\infty ds^\mu X_\mu = \lim_{r\to\infty}\int_{S^{n-1}}dA_{n-1}\, r^{n-1}\hat n^\mu X_\mu(r, \vec\phi)$ Где

\vec{ϕ}

$\vec\phi$ есть координаты на сфере. Теперь обратите внимание, что при условии, например, что

X^{μ} \sim r^{- n}

$X^\mu\sim r^{-n}$ как

r \to \infty

$r\to\infty$ , этот поверхностный интеграл будет равен нулю в больших

r

$r$ предел.

Отличный ответ. Стоит ли здесь отметить, что могут существовать граничные члены конечного действия, где $X^\mu \sim 1/r^{n-1}$ , например, инстантоны.
Итак, согласно вашему ответу, термин, упомянутый спрашивающим ( $\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_\mu\phi_a)}\delta\phi_a\right)$ ) не исчезает в 4-мерном случае, не так ли @oshphysics

Как обращается в нуль граничный член в вариации действия

пользователь12906

Ответы (2)

луксен

джошфизика

луксен

джошфизика

innisfree

РОБИН РАЙ

РОБИН РАЙ

Почему уравнения Эйлера-Лагранжа остаются инвариантными, если мы добавляем к действию поверхностный член?

Каков физический смысл утверждения «лагранжиан может быть определен только с точностью до полной производной»?

Вариация действия с вариациями временных координат

Почему мы можем установить вариации для метрики и ее производных равными нулю на бесконечности?

Итого производные в GR

Граничный член в действии Эйнштейна-Гильберта

Можно ли добавить чистый лагранжиан Янга-Миллса с четырьмя дивергенциями, чтобы изменить действие? [дубликат]

Может ли лагранжиан быть таким, что все возможные пути имеют одно и то же действие?

Когда числовое значение лагранжиана оценивается на оболочке как полный дифференциал?

Теорема Стокса в действии Эйнштейна-Гильберта