Как операторы уничтожения и рождения действуют на фермионы?

Question

Как операторы уничтожения и рождения действуют на фермионы?

Миккель Рев

Я прохожу вводный курс по QFT. При квантовании поля Дирака мой учебник дает много информации о том, как операторы уничтожения и рождения действуют на вакуум, но ничего о том, как они действуют на невакуумные состояния. Мне нужно это для вычисления

\int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \sum_{с} ({а_{\vec{п}}^{с}}^{†} а_{\vec{п}}^{с} - {б_{\vec{п}}^{с}}^{†} б_{\vec{п}}^{с}) | \vec{к}, с ⟩,

$\int \frac{\mathrm d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s \left( {a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}} - {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} \right) |\vec{k},s \rangle,$ где

{a_{\vec{p}}^{s}}^{†}, {b_{\vec{p}}^{s}}^{†}

${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger$ являются оператором рождения для фермионов и антифермионов соответственно и

a_{\vec{p}}^{s}, b_{\vec{p}}^{s}

${a^s_ {{\vec{p}}}},{b^s_ {{\vec{p}}}}$ операторы уничтожения фермионов и антифермионов соответственно. Я искал Google, но я не мог ничего найти после 1 часа поиска.

Вы можете сказать мне, как ${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger, {a^s_ {{\vec{p}}}},{b^s_ {{\vec{p}}}}$ действуют на невакуумные состояния?

Ответы (4)

Как операторы уничтожения и рождения действуют на фермионы?

флиппифанус · Answer 1

Основная процедура выглядит следующим образом:

а_{р} (к_{1}) | к_{2}, с ⟩ "=" а_{р} (к_{1}) а_{с}^{†} (к_{2}) | 0 ⟩ "=" {а_{р} (к_{1}), а_{с}^{†} (к_{2})} | 0 ⟩ "=" | 0 ⟩ (2 π)^{2} ю_{1} дельта (к_{1} - к_{2}) {дельта}_{р с},

$a_r(\mathbf{k}_1) |\mathbf{k}_2,s\rangle = a_r(\mathbf{k}_1) a_s^{\dagger}(\mathbf{k}_2) |0\rangle = \{a_r(\mathbf{k}_1), a_s^{\dagger}(\mathbf{k}_2) \}|0\rangle = |0\rangle (2\pi)^2\omega_1 \delta(\mathbf{k}_1-\mathbf{k}_2) \delta_{rs} ,$ где

| k_{2}, s ⟩

$|\mathbf{k}_2,s\rangle$ считается фермионным состоянием. Для антифермионного состояния можно было бы использовать

b

$b$ -операторы вместо этого. Причина, по которой это можно выразить в терминах антикоммутатора, заключается в том, что

a_{r} (k_{1}) | 0 ⟩ = 0

$a_r(\mathbf{k}_1) |0\rangle = 0$ . Детализация конечного выражения зависит от конкретного отношения антикоммутации, которое вы используете. Здесь я использовал конвариантную версию Лоренца.

Спасибо, а вы можете объяснить, как $b_r(\vec{k}_1)$ , $b_r^\dagger(\vec{k}_1)$ и $a_r^\dagger(\vec{k}_1)$ действует на $| \vec{k}_2,s\rangle$ или просто констатировать результат? Спасибо
И добавить $b_r^\dagger(\vec{k}) | 0 \rangle$ для полноты? :)
Возможно, вы можете добавить в свой вопрос определения для $a_s(\mathbf{k})$ , $b_s(\mathbf{k})$ , и т. д.
Благодарю за ваш ответ. Я добавил определения по запросу.
Я предлагаю награду +50 за ответ сейчас

Чарли · Answer 2

Если вам нужно вычислить

\int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3}} \sum_{с} ({а_{\vec{п}}^{с}}^{†} а_{\vec{п}}^{с} - {б_{\vec{п}}^{с}}^{†} б_{\vec{п}}^{с}) | \vec{к}, р ⟩,

$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s ( {a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}} - {b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} ) |\vec{k},r \rangle,$ тебе понадобится

{a_{\vec{p}}^{s}}^{†} a_{\vec{p}}^{s} | \vec{k}, r ⟩

${a^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger a^s_ {{\vec{p}}}|\vec{k},r \rangle$ и

{b_{\vec{p}}^{s}}^{†} b_{\vec{p}}^{s} | \vec{k}, r ⟩

${b^s_ {{\vec{p}}}}^\dagger b^s_ {{\vec{p}}} |\vec{k},r \rangle$ . Поскольку вы имеете дело с полями Дирака, вы получаете их, используя антикоммутационные отношения (с правильными коэффициентами нормализации - и я не знаю, какое соглашение вы используете):

{а_{\vec{п}}^{с}, {а_{\vec{д}}^{р}}^{†}} "=" {дельта}_{с р} дельта (\vec{п} - \vec{д}), {б_{\vec{п}}^{с}, {б_{\vec{д}}^{р}}^{†}} "=" {дельта}_{с р} дельта (\vec{п} - \vec{д}), {а_{\vec{п}}^{с}, {б_{\vec{д}}^{р}}^{†}} "=" {б_{\vec{п}}^{с}, {а_{\vec{д}}^{р}}^{†}} "=" 0.

$\{{a^s_ {{\vec{p}}}},{a^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\delta_{sr}\delta(\vec{p}-\vec{q}),\\ \{{b^s_ {{\vec{p}}}},{b^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\delta_{sr}\delta(\vec{p}-\vec{q}),\\ \{{a^s_ {{\vec{p}}}},{b^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=\{{b^s_ {{\vec{p}}}},{a^r_ {{\vec{q}}}}^\dagger\}=0.\\$ и зная, что

a_{\vec{p}}^{s} | 0 ⟩ = b_{\vec{p}}^{s} | 0 ⟩ = 0

${a^s_ {{\vec{p}}}}|0\rangle={b^s_ {{\vec{p}}}}|0\rangle=0$ .

Он следует за ответом с той же процедурой, которую использовал @flippiefanus.

Ногейра · Answer 3

Все, что вам нужно, это (анти-) коммутационные соотношения и определения состояний в терминах операторов рождения, действующих на вакуумное состояние.

например государство $|\psi\rangle$ из двух частиц:

с_{к} | ψ ⟩ "=" с_{к} (\sum_{я < Дж} ψ_{я Дж} | я, Дж ⟩) "=" \sum_{я < Дж} ψ_{я Дж} с_{к} с_{я}^{†} с_{Дж}^{†} | 0 ⟩

$c_k|\psi\rangle =c_k\left(\sum_{i<j}\psi_{ij}|i,j\rangle\right)= \sum_{i<j}\psi_{ij}c_k c_i^{\dagger}c_j^{\dagger}|0\rangle$

Затем коммутирует $c_k$ с $c_i^{\dagger}$ и $c_j^{\dagger}$ пока не попадете в состояние вакуума и не уничтожите его.

\sum_{я < Дж} ψ_{я Дж} ({[с_{к}, с_{я}^{†}]}_{+} - с_{я}^{†} с_{к}) с_{Дж}^{†} | 0 ⟩ "=" \sum_{я < Дж} ψ_{я Дж} ({[с_{к}, с_{я}^{†}]}_{+} с_{Дж}^{†} - с_{я}^{†} {[с_{к}, с_{Дж}^{†}]}_{+}) | 0 ⟩ "=" \sum_{я < Дж} ψ_{я Дж} ({[с_{к}, с_{я}^{†}]}_{+} | Дж ⟩ - {[с_{к}, с_{Дж}^{†}]}_{+} | я ⟩)

$\sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+ - c_i^{\dagger}c_k\right) c_j^{\dagger}|0\rangle=\sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+c_j^{\dagger} - c_i^{\dagger} \left[ c_k ,\, c_j^{\dagger}\right]_+ \right) |0\rangle = \sum_{i<j}\psi_{ij}\left(\left[ c_k ,\, c_i^{\dagger}\right]_+|j\rangle - \left[ c_k ,\, c_j^{\dagger}\right]_+ |i\rangle \right)$

Herr_Mitesch · Answer 4

Результат: единственное, что вам действительно понадобится для этого вычисления, — это определение одно-(анти)-частичных состояний (приведенное ниже) и применение к ним операторов аннигиляции, заданных формулой

а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1}} | {\vec{п}}_{2}, с_{2}; 0, 0 ⟩ "=" {дельта}_{с_{1}, с_{2}} {дельта}^{3} ({\vec{п}}_{1} - {\vec{п}}_{2}) | 0 ⟩, б_{{\vec{д}}_{1}}^{р_{1}} | 0, 0; {\vec{д}}_{2}, р_{2} ⟩ "=" {дельта}_{р_{1}, р_{2}} {дельта}^{3} ({\vec{д}}_{1} - {\vec{д}}_{2}) | 0 ⟩ .

$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle =\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle,\\b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle.\\\\$

Вывод: Вы спрашивали о действии операторов рождения и уничтожения на одночастичные состояния, заданных формулой

| \vec{п}, с; \vec{0}, 0 ⟩ "=" а_{\vec{п}}^{с †} | 0 ⟩ | 0, 0; \vec{п}, с ⟩ "=" б_{\vec{п}}^{с †} | 0 ⟩ .

$|\vec p, s; \vec 0, 0\rangle = a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ |0,0;\vec p, s\rangle = b_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle.$

Имеет смысл также определить следующие двухчастичные состояния, которые отличны от нуля, только если снова все ${\vec p_i, s_i}$ и ${\vec q_j, s_j}$ соответственно различны.

| \vec{п}, с; \vec{д}, р ⟩ "=" \frac{1}{2} (а_{\vec{п}}^{с †} б_{\vec{д}}^{р †} - б_{\vec{д}}^{р †} а_{\vec{п}}^{с †}) | 0 ⟩ | {\vec{п}}_{1}, с_{1}, {\vec{п}}_{2}, с_{2}; \vec{0}, 0 ⟩ "=" \frac{1}{2} (а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1} †} а_{{\vec{п}}_{2}}^{с_{2} †} - а_{{\vec{п}}_{2}}^{с_{2} †} а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1} †}) | 0 ⟩ | \vec{0}, 0; {\vec{д}}_{1}, р_{1}, {\vec{д}}_{2}, р_{2} ⟩ "=" \frac{1}{2} (б_{{\vec{д}}_{1}}^{р_{1} †} б_{{\vec{д}}_{2}}^{р_{2} †} - б_{{\vec{д}}_{2}}^{р_{2} †} б_{{\vec{д}}_{1}}^{р_{1} †}) | 0 ⟩

$|\vec p, s; \vec q, r\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}}^{s\dagger}b_{\vec{q}}^{r\dagger}-b_{\vec{q}}^{r\dagger}a_{\vec{p}}^{s\dagger}\right)|0\rangle\\ |\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2;\vec 0,0\rangle = \frac{1}{2}\left(a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}-a_{\vec{p}_2}^{s_2\dagger}a_{\vec{p}_1}^{s_1\dagger}\right)|0\rangle\\|\vec 0,0;\vec q_1, r_1, \vec q_2, r_2\rangle = \frac{1}{2}\left(b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}-b_{\vec{q}_2}^{r_2\dagger}b_{\vec{q}_1}^{r_1\dagger}\right)|0\rangle$ где мы только что решили использовать (анти)симметричное определение — ясно, что, используя соответствующие антикоммутационные соотношения, все эти состояния можно записать без разницы двух терминов.

Теперь, чтобы найти действие этих операторов, мы будем использовать упомянутые антикоммутационные соотношения

{а_{\vec{п}}^{с}, а_{\vec{д}}^{р}} "=" 0 {а_{\vec{п}}^{с †}, а_{\vec{д}}^{р †}} "=" 0 {а_{\vec{п}}^{с}, а_{\vec{д}}^{р †}} "=" {дельта}^{р с} {дельта}^{3} (\vec{п} - \vec{д})

$\{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^r\}=0 \qquad \{a_{\vec p}^{s\dagger}, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=0\\ \{a_{\vec p}^s, a_{\vec q}^{r\dagger}\}=\delta^{rs} \delta^3(\vec p - \vec q)$ и аналогичные для

b

$b$ -операторы. Кроме того, каждый

b

$b$ антикоммутирует с каждым

a

$a$ .

Заметим, что приведенные выше состояния адекватно нормированы при условии, что вакуум $|0\rangle$ является:

⟨ \vec{п}, с; \vec{0}, 0 | \vec{д}, р; 0, 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | а_{\vec{д}}^{р} а_{\vec{п}}^{с †} | 0 ⟩ "=" ⟨ 0 | {а_{\vec{д}}^{р}, а_{\vec{п}}^{с †}} | 0 ⟩ "=" {дельта}^{р с} {дельта}^{3} (\vec{п} - \vec{д})

$\langle \vec p, s; \vec 0, 0|\vec q, r; 0, 0\rangle = \langle 0| a_{\vec{q}}^{r}a_{\vec{p}}^{s\dagger}|0\rangle\\ = \langle 0|\{a_{\vec{q}}^{r},a_{\vec{p}}^{s\dagger}\}|0\rangle\\=\delta^{rs} \delta^3(\vec p-\vec q)$ Из того факта, что все b и a антикоммутативны, мы можем немедленно вывести

б_{\vec{п}}^{с} | \vec{д}, р; 0, 0 ⟩ "=" 0, а_{\vec{п}}^{с} | 0, 0; \vec{д}, р ⟩ "=" 0.

$b_{\vec p}^s |\vec q, r;0,0\rangle = 0, \\a_{\vec p}^s |0,0;\vec q, r\rangle = 0.$ Кроме того, поскольку операторы создания антикоммутируют друг с другом, мы имеем

{(а_{\vec{п}}^{с †})}^{2} "=" 0 "=" {(б_{\vec{п}}^{с †})}^{2}

$\left(a_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2 = 0 =\left(b_{\vec p}^{s\dagger}\right)^2$ так что

а_{\vec{п}}^{с †} | \vec{п}, с; 0, 0 ⟩ "=" 0 "=" б_{\vec{п}}^{с †} | 0, 0; \vec{п}, с ⟩ .

$a_{\vec p}^{s\dagger} |\vec p, s; 0, 0\rangle = 0 = b_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec p, s\rangle.$ Конечно, если мы воздействуем операторами рождения с разными импульсами и/или спинами на одночастичные состояния, мы собираемся создать вышеупомянутые двухчастичные (и состояния частица-античастица). Мы можем объединить это с последней формулой следующим образом:

а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1} †} | {\vec{п}}_{2}, с_{2}; 0, 0 ⟩ "=" (1 - {дельта}_{с_{1}, с_{2}} {дельта}_{{\vec{п}}_{1}, {\vec{п}}_{2}}) | {\vec{п}}_{1}, с_{1}, {\vec{п}}_{2}, с_{2}; 0, 0 ⟩ б_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1} †} | 0, 0; {\vec{п}}_{2}, с_{2} ⟩ "=" (1 - {дельта}_{с_{1}, с_{2}} {дельта}_{{\vec{п}}_{1}, {\vec{п}}_{2}}) | 0, 0; {\vec{п}}_{1}, с_{1}, {\vec{п}}_{2}, с_{2} ⟩ а_{\vec{п}}^{с †} | 0, 0; \vec{д}, р ⟩ "=" | \vec{п}, с; \vec{д}, р ⟩ б_{\vec{д}}^{р †} | п, с; 0, 0 ⟩ "=" - | \vec{п}, с; \vec{д}, р ⟩

$a_{\vec p_1}^{s_1\dagger} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2; 0,0\rangle\\ b_{\vec p_1}^{s_1\dagger} |0,0;\vec p_2, s_2\rangle = (1-\delta_{s_1, s_2}\delta_{\vec p_1, \vec p_2})|0,0;\vec p_1, s_1, \vec p_2, s_2\rangle\\ a_{\vec p}^{s\dagger} |0,0;\vec q, r\rangle = |\vec p, s; \vec q, r\rangle\\ b_{\vec q}^{r\dagger} |p, s;0,0\rangle = -|\vec p, s; \vec q, r\rangle$

Теперь действительно интересно $^{1}$ такое случается, если мы аннигилируем частицу из одночастичного состояния (или античастицу из одноантичастичного состояния).

а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1}} | {\vec{п}}_{2}, с_{2}; 0, 0 ⟩ "=" а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1}} а_{{\vec{п}}_{2}}^{с_{2} †} | 0 ⟩ "=" {а_{{\vec{п}}_{1}}^{с_{1}}, а_{{\vec{п}}_{2}}^{с_{2} †}} | 0 ⟩ "=" {дельта}_{с_{1}, с_{2}} {дельта}^{3} ({\vec{п}}_{1} - {\vec{п}}_{2}) | 0 ⟩

$a_{\vec p_1}^{s_1} |\vec p_2, s_2;0,0\rangle = a_{\vec p_1}^{s_1}a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}|0\rangle \\=\{a_{\vec p_1}^{s_1}, a_{\vec p_2}^{s_2\dagger}\}|0\rangle \\=\delta_{s_1, s_2} \delta^3\left(\vec p_1 - \vec p_2\right) |0\rangle$ и аналогично

б_{{\vec{д}}_{1}}^{р_{1}} | 0, 0; {\vec{д}}_{2}, р_{2} ⟩ "=" {дельта}_{р_{1}, р_{2}} {дельта}^{3} ({\vec{д}}_{1} - {\vec{д}}_{2}) | 0 ⟩

$b_{\vec q_1}^{r_1} |0,0;\vec q_2, r_2\rangle=\delta_{r_1, r_2} \delta^3\left(\vec q_1 - \vec q_2\right) |0\rangle$

Как операторы уничтожения и рождения действуют на фермионы?

Миккель Рев

Ответы (4)

флиппифанус

Миккель Рев

Миккель Рев

флиппифанус

Миккель Рев

Миккель Рев

Чарли

Ногейра

Herr_Mitesch

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Различные следствия теоремы Вика в фермионных и бозонных системах конденсированного состояния

Простое моделирование QFT - как это сделать

Каковы асимптотические собственные состояния импульса? Одетые кванты или кванты свободной теории?

Пространство Фока со смешанными антикоммутационными/коммутационными отношениями?

Почему корреляционные функции определяются только как упорядоченные по времени?

Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Путаница с книгой КТП Вайнберга, том 1, глава 3: перевод времени и картина Гейзенберга

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Какие операторы связаны с электронным/электромагнитным квантовым полем?