Оператор спиральности h=p^⋅Sh=p^⋅Sh=\hat p \cdot S, связанный с киральностью безмассовых фермионов и в других измерениях? (кроме 4д)

Является оператором спиральности час "=" п ^ ⋅ С такой, как тот, который определен в уравнении (3.54) из книги Peskin QFT, хорошо определенный в других измерениях? Например, здесь Пескин сосредоточился на трехмерном пространстве и одномерном времени (4d). Оператор спиральности час "=" п ^ ⋅ С связано с киральностью безмассовых фермионов в этом 4d.

Мой вопрос заключается в том, является ли оператор спиральности

час "=" п ^ ⋅ С
также связано с киральностью безмассовых фермионов и в других измерениях? (кроме 4д)

Например, в 1d пространстве и 1d времени (2d) у нас все еще может быть фермион, движущийся влево ( п ^ < 0 ) и правого фермиона ( п ^ > 0 ). Как насчет их спинов? Кажется, что их спины заблокированы их импульсом, например, мы можем сказать, что фермион, движущийся влево, имеет спин вверх ( С > 0 ), а правый фермион имеет спин вниз ( С < 0 ).

Тогда мы видим, что левый фермион ( п ^ < 0 , С > 0 )

час "=" п ^ ⋅ С < 0 ,
правый фермион ( п ^ > 0 , С < 0 )
час "=" п ^ ⋅ С < 0.

Так что у них нет разной спиральности час если час "=" п ^ ⋅ С это способ определить спиральность. Поскольку хиральность левого движения может быть − киральным, и правый фермион может быть + хиральный. Они должны иметь разные знаки.

Как насчет других четных измерений пространства-времени, когда мы можем определить хиральность? Можем ли мы найти аналогию операторам спиральности? Как определить такое час ?

Я вижу здесь три вопроса. (1) Какова связь, если она есть, между спиральностью и хиральностью в г ≠ 4 размерное пространство-время? (2) Когда определяется хиральность? (3) Как определяется спиральность в г ≠ 4 размерное пространство-время? Вопросы (2) и (3) являются предпосылками для (1). Вопрос (3) почти дублирует Аналог спиральности в высших измерениях и конкретную формулу , но не совсем. Что касается (2), вы знакомы с алгеброй Клиффорда и спинорами? Что касается (3), знакомо ли вам понятие «маленькой группы» в контексте безмассовых частиц?
спасибо - то, что вы написали, очень полезно. возможно, вы можете обновить ответ, я знаю, что хиральность можно определить, когда у вас есть гамма5 даже в пространственно-временных измерениях.
Хиральность определяется только в четномерном пространстве-времени, и она всегда бинарна (единственные варианты — левосторонний и правосторонний). Напротив, спиральность не всегда бинарна. В двумерном пространстве-времени (одномерном пространстве) угловой момент не существует, потому что группа вращения тривиальна. В 2 н -мерное пространство-время для 2 н ≥ 4 , безмассовая частица имеет 2 н − 2 линейно независимые состояния спиральности для каждой хиральности. Таким образом, для 2 н ≥ 6 , безмассовая частица имеет континуум возможных состояний спиральности (для каждой хиральности) вместо одного. Это то, что вы ищете?

Ответы (1)

В общем пространственно-временном измерении спиральность — это собственное значение вращения, которое оставляет направление движения неизменным. Группа таких вращений называется «малой группой». Для безмассовой частицы малая группа играет особенно важную роль, так как невозможно привести эту частицу в систему покоя, где все вращения играют равнозначную роль.

В 4-х измерениях маленькая группа - это U(1), группа вращений вокруг направления движения. У этого есть один генератор, который является точно проекцией С → вдоль направления движения, т. е. обычная спиральность. Это очень простая ситуация. В 2-х измерениях нет маленькой группы. В 6-ти измерениях маленькая группа - это SO(3) или SU(2).

Я ограничиваюсь здесь четными размерами, потому что именно здесь Г , хиральность, определена. В 2-х измерениях, Г "=" γ 0 γ 1 , в 4 измерениях это обычное γ 5 и т. д. В общих размерностях минимальный размер представления спинора Дирака равен 2 [ г / 2 ] , то есть 2 в 2 или 3 измерениях, 4 в 4 или 5 измерениях и 8 в 6 или 7 измерениях. В четных измерениях можно разделить безмассовое спинорное представление на две части с хиральностью ( Г собственные значения) +1 и -1. Они имеют размеры 1 в 2-d, 2 в 4-d и 4 в 6-d. В 2D (1 пространственное измерение) Г "=" + 1 собственное состояние — это фермион, движущийся вдоль линии только вправо со скоростью света, а Г "=" − 1 состояние представляет собой фермион, движущийся влево по прямой. В 4-d собственные состояния хиральности являются обычными правыми и левыми спинорами. В 6-d четырехмерное представление состоит из двух представлений, которые оба являются спинорами SU (2). При сведении к 4 измерениям это представление распадается как

4 → ( + 1 , 2 , 1 ) + ( − 1 , 1 , 2 )
где первое квантовое число Г собственное значение, а следующие два ( Дж р , Дж л ) квантовые числа С О ( 3 , 1 ) представление. Для тех, кто настроен на это, 4 в 6 измерениях «векторны», когда сведены к 4 измерениям.

Этот вид анализа может быть выполнен в любом четном измерении. Необходимо учитывать также возможность майорановских фермионов. В размерностях 2, 10,... спиноры могут быть как киральными, так и майорановскими, что еще больше уменьшает степени свободы. Все это разработано в книгах по суперсимметрии, для которой важен размер спинорных представлений в высших измерениях. Я рекомендую лечение в «Супергравитации» Фридмана и ван Пройена.

Оператор спиральности h=p^⋅Sh=p^⋅Sh=\hat p \cdot S, связанный с киральностью безмассовых фермионов и в других измерениях? (кроме 4д)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v