Как определяется лагранжиан в ОТО?

Question

Как определяется лагранжиан в ОТО?

Мистер Ди

Читая о метрике Шварцшильда в общей теории относительности, я вижу, что иногда
$л "=" г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}$ $L=g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ и иногда $л "=" \sqrt{г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}} .$ $L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}.$ Какой правильный путь?
И как энергия $E$ определяется как
$Е "=" - \frac{\partial л}{\partial \dot{т}} "=" (1 - \frac{2 М}{р}) \dot{т} ?$ $E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}~?$ Потому что $E$ здесь нет единиц энергии. Я что-то упустил здесь?

Кайл Канос

Оба

L

$L$ приводят к одним и тем же уравнениям движения, поэтому они действительно эквивалентны (попробуйте в метрике Минковского в декартовых координатах)

Мистер Ди

Но,

L = \sqrt{g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}}

$L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ не имеет единиц энергии, не так ли?

Qмеханик

Первый подвопрос (v3) по сути является дубликатом physics.stackexchange.com/q/149082/2451 и ссылок в нем.

Кайл Канос

g_{μ ν} {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ тоже не имеет единиц энергии ;)

Мистер Ди

@KyleKanos, потому что

{\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ имеет квадрат скорости.

Кайл Канос

И это единица энергии?

Мистер Ди

@KyleKanos, а как насчет второго вопроса?

Кайл Канос

Таким образом, ваш первый исходит от минимизации

\int d s^{2}

$\int ds^2$ поэтому нужен только кофактор

m

$m$ ; второй исходит из минимизации

\int d s

$\int ds$ поэтому вам нужен кофактор

m c

$mc$ . Но если

c = m = 1

$c=m=1$ , они же, нет?

Мистер Ди

@KyleKanos, хорошо, но правильно ли определять

E = - \frac{\partial L}{\partial \dot{t}} = (1 - \frac{r}{2 M}) \dot{t}

$E=−\frac{∂L}{∂\dot{t}}=\left(1-\frac{r}{2M}\right)\dot{t}$ для обоих случаев?

Кайл Канос

Это должно быть правильно, но вы можете перепроверить свое решение (я думаю, что это

2 m / r

$2m/r$ , нет

r / 2 m

$r/2m$ ).

Мистер Ди

@KyleKanos, вы правы, это должно быть 2 м / об, а также не должно быть коэффициента половины, потому что

E = - \frac{\partial L}{\partial \dot{t}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{2 M}{r}) \dot{t}

$E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$

Кайл Канос

Продолжим обсуждение в чате .

Джерри Ширмер

E

$E$ считается энергией на единицу массы. Также обратите внимание, что это не настоящий лагранжиан, а лагранжиан точечной частицы, движущейся в фиксированной фоновой геометрии. Правильно, вы должны выразить это как

S = m c^{2} \int \sqrt{g_{a b} {\dot{x}}^{a} {\dot{x}}^{b}} d τ

$S = mc^{2}\int\sqrt{g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}}d\tau$ , но большинство людей не заинтересованы в отслеживании всего этого, поэтому используют

S = \frac{1}{2} \int d τ g_{a b} {\dot{x}}^{a} {\dot{x}}^{b}

$S = \frac{1}{2}\int d\tau\, g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}$ , который имеет те же уравнения движения, и гораздо проще взять вариант ..

Феникс87

Заметим, что второй выбор дает нулевой гамильтониан

Ответы (1)

Как определяется лагранжиан в ОТО?

Оба $L$ приводят к одним и тем же уравнениям движения, поэтому они действительно эквивалентны (попробуйте в метрике Минковского в декартовых координатах)
Но, $L=\sqrt{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ не имеет единиц энергии, не так ли?
Первый подвопрос (v3) по сути является дубликатом physics.stackexchange.com/q/149082/2451 и ссылок в нем.
$g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ тоже не имеет единиц энергии ;)
@KyleKanos, потому что $\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$ имеет квадрат скорости.
@KyleKanos, а как насчет второго вопроса?
Таким образом, ваш первый исходит от минимизации $\int ds^2$ поэтому нужен только кофактор $m$ ; второй исходит из минимизации $\int ds$ поэтому вам нужен кофактор $mc$ . Но если $c=m=1$ , они же, нет?
@KyleKanos, хорошо, но правильно ли определять $E=−\frac{∂L}{∂\dot{t}}=\left(1-\frac{r}{2M}\right)\dot{t}$ для обоих случаев?
Это должно быть правильно, но вы можете перепроверить свое решение (я думаю, что это $2m/r$ , нет $r/2m$ ).
@KyleKanos, вы правы, это должно быть 2 м / об, а также не должно быть коэффициента половины, потому что $E=-\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{t}}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$
$E$ считается энергией на единицу массы. Также обратите внимание, что это не настоящий лагранжиан, а лагранжиан точечной частицы, движущейся в фиксированной фоновой геометрии. Правильно, вы должны выразить это как $S = mc^{2}\int\sqrt{g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}}d\tau$ , но большинство людей не заинтересованы в отслеживании всего этого, поэтому используют $S = \frac{1}{2}\int d\tau\, g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b}$ , который имеет те же уравнения движения, и гораздо проще взять вариант ..
Заметим, что второй выбор дает нулевой гамильтониан

проф. Леголасов · Answer 1

Правильный способ — определить репараметризационно-инвариантное действие

С [Икс] "=" \int г т \sqrt{г_{мю ν} (Икс (т)) \cdot \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т}} .

$S[X] = \int d\tau \sqrt{g_{\mu \nu} (X(\tau)) \cdot \frac{dX^{\mu}}{d\tau} \frac{dX^{\nu}}{d\tau} }.$

Обратите внимание, что выбор $\tau$ является произвольным. В системе есть большая группа калибровочных симметрий — это репараметризация мировой линии (различный выбор $\tau$ ).

Один из способов справиться с этим — починить систему. Например, мы можем установить $\tau$ быть собственным временем вдоль геодезической (индуцированной метрикой):

г т "=" \sqrt{г_{мю ν} (Икс (т)) г {Икс}^{мю} г {Икс}^{ν}} .

$d\tau = \sqrt{g_{\mu \nu} (X(\tau)) dX^{\mu} dX^{\nu}}.$

Но это сразу означает, что квадратный корень в действии должен быть равен $1$ . Вот почему удобно отбрасывать квадратный корень ( $\sqrt{1} = 1$ , верно?) и напишите

л "=" г_{мю ν} (Икс (т)) \cdot \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} \frac{г {Икс}^{ν}}{г т} .

$L = g_{\mu \nu} (X(\tau)) \cdot \frac{dX^{\mu}}{d\tau} \frac{dX^{\nu}}{d\tau}.$

Но это работает, только если $\tau$ самое подходящее время.

Кроме того, вы должны умножить лагранжиан на общий коэффициент $m$ . Это позволит восстановить единицы энергии.

Как определяется лагранжиан в ОТО?

Мистер Ди

Кайл Канос

Мистер Ди

Qмеханик

Кайл Канос

Мистер Ди

Кайл Канос

Мистер Ди

Кайл Канос

Мистер Ди

Кайл Канос

Мистер Ди

Кайл Канос

Джерри Ширмер

Феникс87

Ответы (1)

проф. Леголасов

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Уравнение движения фотона в заданной метрике

Изогнутые пути в пространстве-времени, когда вы стоите на месте?

Актуальны ли метрика Шварцшильда и геодезическое уравнение в контексте Земли? [закрыто]

Релятивистские системы отсчета - Что такое независимая переменная?

Интерпретация нормальных координат

Геодезические от решения уравнений полного поля такие же, как путь от тензора энергии-импульса?

Как найти нулевую геодезическую?

Действие Эйнштейна-Гильберта не дает тех же результатов, что и уравнения поля Эйнштейна для данной метрики.

Почему система отсчета, закрепленная на Земле, неинерционна в ОТО? (пренебрегая вращениями и т.д..)