Как/почему Фейнман связал элемент матрицы Гамильтона H12H12H_{12} с амплитудой перехода от |1⟩|1⟩|1\rangle к |2⟩|2⟩| 2\угол?

Наша проблема, таким образом, состоит в том, чтобы понять матрицу$U(t_2,t_1)$за бесконечно малый промежуток времени - за$t_2=t_1+Δt$. Мы спрашиваем себя: если у нас есть государство$ϕ$теперь, что состояние выглядит как бесконечно малое время$Δt$позже? Давайте посмотрим, как мы это запишем. Назовите состояние в момент времени t,$\ket{ψ(t)}$(мы показываем временную зависимость$ψ$чтобы было совершенно ясно, что мы имеем в виду состояние в то время$t$). Теперь зададимся вопросом: каково состояние через небольшой промежуток времени$Δt$позже? Ответ$\newcommand{\bk}[2]{\left\langle #1 | #2 \right\rangle} \newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|} \newcommand{\biik}[3]{\left\langle #1 | #2| #3\right\rangle}$

$$\ket{ψ(t+Δt)}=U(t+Δt,t)\ket{ψ(t)}.$$ Мы также можем решить$\ket{ψ(t)}$в базовые состояния и написать $$\bk{i}{ψ(t+Δt)}=\sum_j \biik{i}{U(t+Δt,t)}{j} \bk{j}{ψ(t)}.$$ Каждая амплитуда на$(t+Δt)$пропорциональна всем другим амплитудам в$t$умножается на набор коэффициентов. Давайте позвоним$U$-матрица$U_{ij}$, под которым мы подразумеваем $$U_{ij}=\biik{i}{U}{j}.$$ Тогда мы можем написать $$C_i(t+Δt)=\sum_j U_{ij}(t+Δt,t)C_j(t).$$ Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики. [..] если$Δt$стремится к нулю, ничего не может произойти — мы должны получить только исходное состояние. Так,$U_{ii}→1$и$U_{ij}→0$, если$i≠j$. Другими словами,$U_{ij}→δ_{ij}$для$Δt→0.$Также можно предположить, что для малых$Δt$, каждый из коэффициентов$U_{ij}$должно отличаться от$δ_{ij}$суммами, пропорциональными$Δt$; так что мы можем написать $$U_{ij}=δ_{ij}+K_{ij}Δt.$$ Однако обычно берут коэффициент$(−i/ℏ)$из коэффициентов$K_{ij}$, по историческим и другим причинам; мы предпочитаем писать $$U_{ij}(t+Δt,t)=δ_{ij}−\frac{i}{ℏ} H_{ij}(t)Δt.$$ Условия$H_{ij}$просто производные по$t_2$коэффициентов$U_{ij}(t_2,t_1)$, оценивается в$t_2=t_1=t.$Использование этой формы для$U$, у нас есть $$C_i(t+Δt)=\sum_j \left[δ_{ij}−\frac{i}{ℏ}H_{ij}(t)Δt\right]Cj(t).$$ Взяв сумму за$δ_{ij}$термин, мы получаем только$C_i(t)$, которую мы можем поставить на другую сторону уравнения. Затем разделив на$Δt$, у нас есть то, что мы признаем производным $$C_i(t+Δt)−Ci(t)Δt=−\frac{i}{ℏ}\sum_j H_{ij}(t)Cj(t)$$ или $$iℏ\frac{dC_i(t)}{dt}= \sum_j H_{ij}(t)Cj(t).$$

Вот как Фейнман определил$H_{ij}$как производная от$U_{ij}$. Это${ij}^\text{th}$элемент матрицы Гамильтона. Потом он довольно резко написал:

Коэффициенты$H_{ij}$называются матрицей Гамильтона или, сокращенно, просто гамильтонианом. (Как Гамильтон, работавший в 1830-х годах, получил свое имя на квантово-механической матрице, — история истории.) Гораздо лучше было бы назвать ее энергетической матрицей по причинам, которые станут очевидными, когда мы будем работать с ней. Итак, проблема в том, что нужно знать свой гамильтониан!

Так,$H_{ij}$которая является производной по времени от$U_{ij}$матрица связана с энергией системы.

Но после двух глав он ниоткуда упомянул, что$H_{ij}$амплитуда, чтобы перейти от$\ket 1$к$\ket 2$. Как

Молекула положительно ионизированного водорода состоит из двух протонов и одного электрона, вращающегося вокруг них. Если два протона находятся очень далеко друг от друга, какие состояния можно ожидать для этой системы? Ответ довольно ясен: электрон останется рядом с одним протоном и сформирует атом водорода в его низшем состоянии, а другой протон останется в одиночестве в виде положительного иона. Итак, если два протона находятся далеко друг от друга, мы можем визуализировать одно физическое состояние, в котором электрон «прикреплен» к одному из протонов. Очевидно, существует другое состояние, симметричное этому состоянию, в котором электрон находится рядом с другим протоном, а первый протон является тем, который является ионом. Мы возьмем эти два состояния в качестве наших базовых состояний и назовем их$\ket{1}$и$\ket{2}.$Существует небольшая амплитуда движения электрона от одного протона к другому. Таким образом, в первом приближении каждое из наших базовых состояний$\ket{1}$и$\ket{2}$будет иметь энергию$E_0$, что равно энергии одного атома водорода плюс один протон. Можно считать, что матричные элементы гамильтониана$H_{11}$и$H_{22}$оба примерно равны$E_0.$Остальные матричные элементы$H_{12}$и$H_{21}$, которые являются амплитудами движения электрона вперед и назад, мы снова запишем как$−A$.

Я не понимаю этого;$H_{12}$&$H_{21}$являются производными по времени от$U_{12}\;\&\;U_{21}$соответственно. Как они могут быть амплитудой , чтобы перейти от$\ket 1$к$\ket 2$? Ведь он связан с дельтой Кронекера$\delta{ij}$или если во временной эволюции, то связанный с$U_{ij}$.$U_{ij}$должна быть амплитуда движения электрона вперед и назад, то есть амплитуда движения иона водорода от$\ket 1$к$\ket 2$или наоборот. Итак, почему Фейнман написал$H_{ij}$как амплитуда вместо$U_{ij}$после всего,$H_{ij}$является производной по времени от$U_{ij}$И нет никакой амплитуды, чтобы перейти от$\ket 1$к$\ket 2$??