Эквивалентные представления стационарных состояний в квантовой механике

Question

Эквивалентные представления стационарных состояний в квантовой механике

энергия
Физика
операторы
гамильтониан
эволюция времени
квантовая механика

пользователь100411

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера имеет вид

я ℏ \frac{г}{г т} | ψ (т) ⟩ "=" \hat{ЧАС} | ψ (т) ⟩ .

$i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}| \psi(t) \rangle = \hat{H} | \psi(t) \rangle.$ Чтобы выяснить, как состояния развиваются во времени, мы хотим найти линейный оператор

\hat{U} (t, t_{0})

$\hat{U}(t,t_0)$ такой, что

| ψ (т) ⟩ "=" \hat{U} (т, т_{0}) | ψ (т_{0}) ⟩ .

$| \psi(t) \rangle = \hat{U}(t,t_0)| \psi(t_0) \rangle.$ Подстановка в уравнение Шредингера дает

\frac{\partial \hat{U} (т, т_{0})}{\partial т} "=" - \frac{я}{ℏ} \hat{ЧАС} \hat{U} (т, т_{0})

$\frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{ \partial t} = - \frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}(t,t_0)$ это ведет к

\hat{U} (т, т_{0}) "=" е^{\frac{- я (т - т_{0}) \hat{ЧАС}}{ℏ}}

$\hat{U}(t,t_0) = e^{\frac{-i(t-t_0)\hat{H}}{\hbar}}$ следовательно

| ψ (т) ⟩ "=" е^{- \frac{я (т - т_{0}) \hat{ЧАС}}{ℏ}} | ψ (т_{0}) ⟩

$| \psi(t) \rangle = e^{-\frac{i(t-t_0)\hat{H}}{\hbar}}|\psi(t_0) \rangle$ где

e^{a \hat{A}} = \sum \frac{a^{n}}{n!} {\hat{A}}^{n} = \hat{I} + a \hat{A} + \frac{a^{2}}{2!} {\hat{A}}^{2} + \frac{a^{3}}{3!} {\hat{A}}^{3} + . . .

$e^{a \hat{A}} = \sum \frac{a^n}{n !}\hat{A}^n = \hat{I} + a \hat{A} + \frac{a^2}{2 !} \hat{A}^2 + \frac{a^3}{3 !}\hat{A}^3 +...$

Вопрос:
Учитывая разложение операторного ряда $e^{a \hat{A}}$ выше, откуда следует, что если мы рассматриваем не зависящий от времени гамильтониан $\hat{H_0}$ где решения - собственные значения $E_n$ и собственные состояния $| \psi_n \rangle$ (стационарные состояния) - эквивалентно формулируются как

е^{\frac{- я т \hat{{ЧАС}_{0}}}{ℏ}} | ψ_{н} ⟩ "=" е^{- \frac{я Е_{н} т}{ℏ}} | ψ_{н} ⟩ ?

$e^{\frac{-it \hat{H_0}}{\hbar}}| \psi_n \rangle = e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}} | \psi_n \rangle?$

Спасибо.

ZeroTheHero

Предположительно отсутствует

\partial_{t}

$\partial_t$ в первый срок...

ZeroTheHero

я не уверен, что следую. Вы, кажется, уже сделали работу: если вы возьмете ряд и предположите, что состояние является собственным состоянием

\hat{A}

$\hat A$ с собственным значением

λ

$\lambda$ , затем

\hat{A} \to λ

$\hat A\to \lambda$ везде в ряду, который тогда является просто рядом для экспоненциальной функции.

Ответы (1)

Эквивалентные представления стационарных состояний в квантовой механике

Предположительно отсутствует $\partial_t$ в первый срок...
я не уверен, что следую. Вы, кажется, уже сделали работу: если вы возьмете ряд и предположите, что состояние является собственным состоянием $\hat A$ с собственным значением $\lambda$ , затем $\hat A\to \lambda$ везде в ряду, который тогда является просто рядом для экспоненциальной функции.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Если $A$ — произвольный оператор с собственным базисом

\begin{matrix} (1) & А | а ⟩ "=" а | а ⟩ \end{matrix}

$A|a\rangle=a|a\rangle\tag{1}$ тогда оператор

f (A)

$f(A)$ определяется через

\begin{matrix} (2) & ф (А) | а ⟩ "=" ф (а) | а ⟩ \end{matrix}

$f(A)|a\rangle=f(a)|a\rangle\tag{2}$

Если функция $f$ аналитический,

\begin{matrix} (3) & ф (Икс) "=" \sum_{н} \frac{ф^{(н)} (0)}{н!} {Икс}^{н} \end{matrix}

$f(x)=\sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\tag{3}$ тогда вы также можете определить

\begin{matrix} (4) & ф (А) \equiv \sum_{н} \frac{ф^{(н)} (0)}{н!} А^{н} \end{matrix}

$f(A)\equiv \sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!}A^n\tag{4}$ и, если сумма сходится, она согласуется с

(2)

$(2)$ , как следует из

A^{n} | a ⟩ = a^{n} | a ⟩

$A^n|a\rangle=a^n|a\rangle$ (здесь вы должны предположить, что ряд Тейлора

f

$f$ сходится для всех

x

$x$ в спектре

A

$A$ ).

В вашем конкретном случае, $A=H$ , $f=\exp$ , и $|a\rangle=|\psi_n\rangle$ , Который означает, что

\begin{matrix} (5) & е^{я ЧАС т} | ψ_{н} ⟩ "=" е^{- я Е_{н} т} | ψ_{н} ⟩ \end{matrix}

$\mathrm e^{iHt}|\psi_n\rangle=\mathrm e^{-iE_nt}|\psi_n\rangle \tag{5}$ выполняется по определению (см.

(2)

$(2)$ ).

Спасибо за Ваш ответ. Не могли бы вы уточнить (или сослаться на какой-либо результат) причину, по которой $ф (А) "=" \sum_{н} \frac{ф^{(н)} (0)}{н!} А^{н} ⟹ ф (А) | а ⟩ "=" ф (а) | а ⟩$ $f(A) = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n \implies f(A)| a \rangle = f(a)|a \rangle$ если мы предположим, что $f$ сходится для всех собственных значений $\hat{A}$ . Следует ли это из результата функционального исчисления?
@JohnDoe хорошо, если ты возьмешь $f(A) = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n$ и действовать с обеих сторон с $|a\rangle$ , Вы получаете $f(A)|a\rangle = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} A^n|a\rangle$ . Если вы используете $A^n|a\rangle= a^n|a\rangle$ , это становится $f(A)|a\rangle = \sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} a^n|a\rangle$ . Наконец, если вычесть $|a\rangle$ на правой, вы получаете $f(A)|a\rangle = \left[\sum_{n} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} a^n\right]|a\rangle=f(a)|a\rangle$ , как требуется.
Хорошо, я понимаю, поэтому единственное реальное функциональное исчисление действительно заключается в определении $f(A)$ из определения $f(x)$ ?

Эквивалентные представления стационарных состояний в квантовой механике

пользователь100411

ZeroTheHero

ZeroTheHero

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь100411

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь100411

СлучайныйПреобразование Фурье

Эволюция во времени с зависящим от времени гамильтонианом [закрыто]

Оператор эволюции для зависящего от времени гамильтониана

Решение нестационарного уравнения Шредингера для унитарного оператора

Гамильтонианы, операторы рождения/уничтожения, рекурсия

Очевидно ли, что гамильтониан, наблюдаемый в квантовой механике, также должен быть наблюдаемой энергией?

Почему в квантовой механике ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m}, а не ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Коммутационное соотношение при временном порядке

Как/почему Фейнман связал элемент матрицы Гамильтона H12H12H_{12} с амплитудой перехода от |1⟩|1⟩|1\rangle к |2⟩|2⟩| 2\угол?

Как гамильтониан является эрмитовым оператором?

Логарифм операторов в квантовой механике