Как показать с помощью преобразования Лоренца, что v⃗ v→\vec{v} одного кадра в другой в любом кадре равно |v⃗ ||v→|\vert\vec{v}\vert [закрыто]

Чтобы измерить сокращение длины, вам нужно посмотреть на две параллельные мировые линии; вы смотрите на одну индивидуальную мировую линию, и поэтому вы не ясно представляете, что изучаете.

Преобразование координат, которое вы хотите (с$w=ct$и$\beta=v/c$показать некоторую симметрию уравнений)

$$\begin{align} w'&=\gamma~(w - \beta~x),\\ x'&=\gamma~(x - \beta~w),\\ y'&=y,\\ z'&=z.\end{align}$$ Игнорирование $y$и $z$направления тривиальны, сокращение длины происходит, когда мы рассматриваем мировые линии $(w, x) = (s, 0)$для всех $s$и $(w, x)=(s, L)$для всех $s$. Оба они превращаются в: $$w'=\gamma~(s - \beta~L),\\ x'=\gamma~(L-\beta~s).$$ Замена для $s=w'/\gamma + \beta~L$мы можем найти уравнение $$x'=\gamma~(L-\beta~(w'/\gamma+\beta~L) = -\beta~w' + \gamma~L~(1 - \beta^2).$$

Обратите внимание, что$\gamma~(1-\beta^2) = \gamma / \gamma^2 = 1/\gamma,$давая наш знакомый коэффициент сокращения длины; обратите также внимание, что эта линия, которая была неподвижной, теперь движется назад со скоростью$-\beta~c=-v$.

Этот эффект, заключающийся в том, что когда вы ускоряетесь, часы перед вами тикают тем быстрее, чем дальше они от вас, а часы позади вас идут медленнее, чем дальше они от вас, называется «относительностью одновременности». Это очень важный эффект: на самом деле я уже говорил, что это самый важный эффект в том, что для малых$\beta\ll 1$это единственный эффект, который сохраняется: и мы можем восстановить общее преобразование координат, приведенное выше, из этого$\gamma\approx 1$форма.

Вы говорите о релятивистской взаимности, т. е . об утверждении, что обратное преобразование Лоренца находится путем замены$v\mapsto-v$, как обсуждалось далее в моем ответе здесь .

Хотя он интуитивно разумен и обманчиво прост, он не тривиален, и его следует либо принимать как постулат, либо его можно вывести из некоторых аксиоматических начал специальной теории относительности.

Суть дела в допущении изотропности пространства: если мы изменим направление разгона и перестроим нашу систему координат на разгон, то преобразование Лоренца измениться не может. То есть в пространстве нет особого или предпочтительного направления, и все направления «выглядят одинаково». Шаг 4 в моем подробном объяснении ниже является решающим и наиболее важным для рассматриваемой проблемы способом, которым предположение о пространственной изотропии входит в обсуждение.

Но количество предположений, которые вам нужно сделать, чтобы прийти к тому, что вы пытаетесь доказать, удивительно велико. Вы можете обратиться к документу, указанному в моем другом ответе , или мой собственный взгляд на этот вопрос изложен в деталях ниже.

---

Подробные необходимые аксиомы и вывод преобразования Лоренца с взаимностью

1. Четыре аксиомы

   • (1) Принцип Галилея (что преобразование Лоренца зависит только от относительной скорости) вместе с предположениями о
   • (2) однородность пространства-времени;
   • (3) плоскостность пространства-времени (или пространственно-временного многообразия и что мы имеем дело с локальными преобразованиями, так что мы можем, по крайней мере, иметь локальную плоскостность) и
   • (4) непрерывность преобразования Лоренца (в его зависимости от пространственно-временных координат) показывает, что преобразование Лоренца линейно действует на пространственно-временные координаты, т.е. может быть описано матрицей;

2. Пятая аксиома о том, что преобразование Лоренца в заданном направлении непрерывно отображает реальную линию скоростей в группу матриц, показывает, что преобразование должно иметь форму:

   $$X\mapsto \exp(\eta(v)\,K)\,X\tag{1}$$ где быстрота$\eta(v)$является непрерывной функцией скорости$v$,$K$является константой$4\times 4$матрица и$X$в$1\times 4$вектор-столбец пространственно-временных координат. Я показываю это более подробно в моем ответе здесь .

3. Теперь мы думаем об изотропии пространства . Если пространство изотропно, мы вольны выбирать$x$ось должна быть вдоль направления наддува, и мы не можем потерять общность. Повышение в любом другом направлении просто находится путем поворота координат из формы, которую мы вычисляем в$x$направление. Более того, произвольный поворот координат относительно$x$ось также не может изменить форму нашего ускорения. Таким образом, из (1):

   $$R_x(\theta)\exp(\eta\,K)\, R_x(\theta)^{-1} = \exp(\eta\,K)\tag{2}$$ где$R_x(\theta)$это поворот на угол$\theta$о$x$. Если наш порядок координат$(t,\,x,y,\,z)$тогда можно показать, что (2) уменьшает матрицу$K$к форме: $$K = \left(\begin{array}{cc}k_{11}&k_{12}&0&0\\k_{21}&k_{22}&0&0\\0&0&k_{33}&-k_{43}\\0&0&k_{43}&k_{33}\end{array}\right)\tag{3}$$

4. Во-вторых, ключевой для вашего вопроса, изотропия пространственного рассмотрения — это то, что происходит, когда мы поворачиваем координатную ось в направлении ускорения. Если мы повернем одну из других координатных осей, так что пространственные координаты останутся правосторонними, то изотропное пространство означает, что преобразование не может измениться. Наша матрица преобразования координат тогда, скажем,$\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1)$, который является$180^\circ$вращение вокруг$z$оси (тот же результат следует из$180^\circ$вращение вокруг любой оси, нормальной к направлению наддува). Итак, у нас есть условие: $$\eta \,\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1)\,K\,\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1) = \eta^\prime\, K\tag{3}$$ То есть ускорение происходит в том же направлении, т. е. представляет «тот же вид движения», то есть по-прежнему имеет форму (1) с, возможно, другим параметром скорости.$\eta^\prime$. Это приводит к уравнению: $$\left(\begin{array}{cc}(1+u)\,k_{11}&-(1-u)\,k_{12}&0&0\\-(1-u)\,k_{21}&(1+u)\,k_{22}&0&0\\0&0&(1+u)\,k_{33}&(1-u)\,k_{43}\\0&0&-(1-u)\,k_{43}&(1+u)\,k_{33}\end{array}\right)=0\tag{4}$$ где$u=\eta^\prime/\eta$. Теперь есть две возможности,$u=\pm1$, для нетривиального ( т.е. $K_{jk}=0;\;\forall j,\,k$) Преобразование Лоренца. Первый$\eta=\eta^\prime$. Пока в постулатах нет ничего, что запрещало бы это, но это была бы странная вселенная, в которой соблюдался бы такой закон. Преобразование Лоренца было бы диагональным, а ускорение вообще не было бы относительным движением; действительно, вместо относительного движения у нас было бы замедление времени вместе с сокращением и увеличением масштабов длины. Это то, что Шон Кэрролл называет вселенной «Алисы в стране чудес»; где существа на самом деле не могут двигаться, но могут сжиматься и растягиваться по желанию, как Алиса, пьющая свой тост с маслом «Выпей меня» и обкусывающая края своего гриба. Вторая возможность$u=-1$. Это, в сущности, то, что вы хотите доказать, т. е . то, что то же самое движение с той же скоростью, но в противоположном направлении, соответствует$\eta\mapsto-\eta$и к обратному преобразованию Лоренца. Итак, мы, по сути, закончили, но если мы хотим увидеть тот же результат в терминах скоростей, мы сосредоточимся на$(x,\,t)$координаты, для которых преобразование: $$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)&\mapsto&\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}0&k_{12}\\k_{21}&0\end{array}\right)\right)\,\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)\\\\&=&\left(\begin{array}{cc}\cosh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)&\sqrt{\frac{k_{12}}{k_{21}}}\sinh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\\\sqrt{\frac{k_{21}}{k_{12}}}\sinh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)&\cosh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\end{array}\right)\,\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)\end{array}\tag{5}$$ которую мы теперь можем «откалибровать», чтобы определить соотношение между скоростью$v$и быстрота$\eta(v)$путем нахождения отношения, которое устанавливает$x=0$в преобразованных координатах: $$v = \sqrt{\frac{k_{21}}{k_{12}}}\tanh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\tag{6}$$ что является нечетной функцией в$v$, показывая, что обратное преобразование Лоренца находится путем замены$v\mapsto-v$, что ты и собирался доказать.

Обратите внимание, что это нетривиально и неочевидно, особенно потому, что существует вселенная Алисы в стране чудес, которая совместима со всеми нашими предположениями, включая пространственную изотропию, поэтому нам нужно, в дополнение к другим нашим аксиомам, явное исключение этой возможности в качестве аксиомы/предположения. . Вселенная Алисы в Стране чудес имеет такое же (а не обратное) преобразование, вызванное изменением направления.

---

Послесловие: Приведение в порядок - Причинность и последние шаги к обычному преобразованию Лоренца

Чтобы справиться с$k_{43}$в вышеизложенном, т.е. доказать$k_{43}=0$, то есть любопытный поворот о$x$ось, которая разрешена нашими предположениями до сих пор, нам нужно сделать дальнейшие предположения; либо явно постулировать$k_{43}=0$на экспериментальном основании, что этот поворот экспериментально не наблюдается, или, наоборот, предположение, что обращение$t$ось соответствует обратному преобразованию Лоренца, также докажет то же самое. Наконец, необходимо исследовать знак$k_{12}\,k_{21}$; если отрицательное, преобразование Лоренца представляет собой вращение, которое трудно согласовать с причинно-следственной связью. Так что у нас должно быть это$k_{12}\,k_{21}>0$, что при подходящей замене единиц приводит к известному лоренцеву бусту в (5)