Получение произвольной матрицы повышения из преобразования подобия

Question

Получение произвольной матрицы повышения из преобразования подобия

дсм

Примечание . Для следующего вопроса я использую нестандартный $(x,y,z,ct)$ обозначение.

Я хочу представить произвольный импульс в $\hat{\beta}$ направлении, выполнив преобразование подобия кадра, усиленного в $z$ направление к кадру с осями $\{{r_1,r_2,\hat{\beta}}\}$ , позволяя $r_1$ и $r_2$ быть любыми двумя взаимно ортонормированными векторами, а также ортогональными $\hat{\beta}$ . Таким образом, матрица повышения и матрица преобразования, соответственно,

л "=" (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & γ & - γ β \\ 0 & 0 & - γ β & γ \end{matrix})

$L=\pmatrix{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\gamma&-\gamma\beta\\0&0&-\gamma\beta&\gamma}$

р "=" (\begin{matrix} Икс \cdot р_{1} & у \cdot р_{1} & г \cdot р_{1} & 0 \\ Икс \cdot р_{2} & у \cdot р_{2} & г \cdot р_{2} & 0 \\ Икс \cdot \hat{β} & у \cdot \hat{β} & г \cdot \hat{β} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} р_{1 Икс} & р_{1 у} & р_{1 г} & 0 \\ р_{2 Икс} & р_{2 у} & р_{2 г} & 0 \\ β_{Икс} / β & β_{у} / β & β_{г} / β & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$R = \pmatrix{x\cdot r_1&y\cdot r_1&z\cdot r_1&0\\x\cdot r_2&y\cdot r_2&z\cdot r_2&0\\x\cdot\hat{\beta}&y\cdot\hat{\beta}&z\cdot\hat{\beta}&0\\0&0&0&1} = \pmatrix{r_{1x}&r_{1y}&r_{1z}&0\\r_{2x}&r_{2y}&r_{2z}&0\\\beta_{x}/\beta&\beta_{y}/\beta&\beta_{z}/\beta&0\\0&0&0&1}$

Выполняя преобразование подобия,

\tilde{л} "=" р л р^{Т} "=" (\begin{matrix} р_{1 Икс}^{2} + р_{1 у}^{2} + γ р_{1 г}^{2} & р_{1 Икс} р_{2 Икс} + р_{1 у} р_{2 у} + γ р_{1 г} р_{2 г} & (р_{1 Икс} β_{Икс} + р_{1 у} β_{у} + γ р_{1 г} β_{г}) / β & - γ р_{1 г} β \\ р_{1 Икс} р_{2 Икс} + р_{1 у} р_{2 у} + γ р_{1 г} р_{2 г} & р_{2 Икс}^{2} + р_{2 у}^{2} + γ р_{2 г}^{2} & (р_{2 Икс} β_{Икс} + р_{2 у} β_{у} + γ р_{2 г} β_{г}) / β & - γ р_{2 г} β \\ (р_{1 Икс} β_{Икс} + р_{1 у} β_{у} + γ р_{1 г} β_{г}) / β & (р_{2 Икс} β_{Икс} + р_{2 у} β_{у} + γ р_{2 г} β_{г}) / β & (β_{Икс}^{2} + β_{у}^{2} + γ β_{г}^{2}) / β^{2} & - γ β_{г} \\ - γ р_{1 г} β & - γ р_{2 г} β & - γ β_{г} & γ \end{matrix})

$\tilde{L}=RLR^T=\pmatrix{r_{1x}^2+r_{1y}^2+\gamma r_{1z}^2&r_{1x}r_{2x}+r_{1y}r_{2y}+\gamma r_{1z}r_{2z}&(r_{1x}\beta_{x}+r_{1y}\beta_{y}+\gamma r_{1z}\beta_{z})/\beta&-\gamma r_{1z}\beta\\r_{1x}r_{2x}+r_{1y}r_{2y}+\gamma r_{1z}r_{2z}&r_{2x}^2+r_{2y}^2+\gamma r_{2z}^2&(r_{2x}\beta_{x}+r_{2y}\beta_{y}+\gamma r_{2z}\beta_{z})/\beta&-\gamma r_{2z}\beta\\(r_{1x}\beta_{x}+r_{1y}\beta_{y}+\gamma r_{1z}\beta_{z})/\beta&(r_{2x}\beta_{x}+r_{2y}\beta_{y}+\gamma r_{2z}\beta_{z})/\beta&(\beta_x^2+\beta_y^2+\gamma\beta_z^2)/\beta^2&-\gamma\beta_z\\-\gamma r_{1z}\beta&-\gamma r_{2z}\beta&-\gamma\beta_z&\gamma}$

Использование взаимной ортогональности для устранения всех компонентов $r$ кроме $r_{1z}$ и $r_{2z}$ приводит к

\tilde{л} "=" (\begin{matrix} 1 + р_{1 г}^{2} (γ - 1) & р_{1 г} р_{2 г} (γ - 1) & р_{1 г} β_{г} (γ - 1) / β & - γ β р_{1 г} \\ р_{1 г} р_{2 г} (γ - 1) & 1 + р_{2 г}^{2} (γ - 1) & р_{2 г} β_{г} (γ - 1) / β & - γ β р_{2 г} \\ р_{1 г} β_{г} (γ - 1) / β & р_{2 г} β_{г} (γ - 1) / β & 1 + β_{г}^{2} (γ - 1) / β^{2} & - γ β_{г} \\ - γ β р_{1 г} & - γ β р_{2 г} & - γ β_{г} & γ \end{matrix})

$\tilde{L}=\pmatrix{1+r_{1z}^2(\gamma-1)&r_{1z}r_{2z}(\gamma-1)&r_{1z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&-\gamma\beta r_{1z}\\r_{1z}r_{2z}(\gamma-1)&1+r_{2z}^2(\gamma-1)&r_{2z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&-\gamma\beta r_{2z}\\r_{1z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&r_{2z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&1+\beta_z^2(\gamma-1)/\beta^2&-\gamma\beta_z\\-\gamma\beta r_{1z}&-\gamma\beta r_{2z}&-\gamma\beta_z&\gamma}$

И конечный желаемый результат от упражнения

\tilde{л} "=" р л р^{Т} "=" (\begin{matrix} 1 + \frac{β_{Икс}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{Икс} β_{у} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{Икс} β_{г} (γ - 1)}{β^{2}} & - β_{Икс} γ \\ \frac{β_{Икс} β_{у} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{у}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{у} β_{г} (γ - 1)}{β^{2}} & - β_{у} γ \\ \frac{β_{Икс} β_{г} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{у} β_{г} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{г}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & - β_{г} γ \\ - β_{Икс} γ & - β_{у} γ & - β_{г} γ & γ \end{matrix})

$\tilde{L} = RLR^T = \pmatrix{1+\frac{\beta_{x}^2(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&-\beta_{x}\gamma\\\frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^2}&1+\frac{\beta_{y}^2(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&-\beta_y\gamma\\\frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&1+\frac{\beta_{z}^2(\gamma-1)}{\beta^2}&-\beta_z\gamma\\-\beta_x\gamma&-\beta_y\gamma&-\beta_z\gamma&\gamma}$

Мое замешательство: в упражнении говорится $r_1$ и $r_2$ быть любыми двумя ортонормированными векторами, но мне особенно нужно, чтобы они имели свои $z$ -компоненты быть $r_{1z}=\beta_x/\beta$ и $r_{2z}=\beta_y/\beta$ чтобы получить согласие с матрицей выше. Как я делаю это неправильно, чтобы результат зависел от этих $z$ -компоненты $r_1$ и $r_2$ ? Возможно, я должен использовать инвариантность определителя относительно преобразований подобия, $|\tilde{L}|=|L|$ , чтобы исключить еще один из тех $z$ -компоненты? Это просто похоже на алгебраический кошмар, и моя матрица настолько близка по форме, что я не думаю, что это правильный подход.

Синай Симсон

При преобразовании подобия определитель

L

$L$ должен равняться детерминанту

\tilde{L} .

$\tilde{L}.$ И, может быть, я неправильно понял проблему, но это не усиление Лоренца в

z

$z$ направление

л "=" [\begin{matrix} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{bmatrix}$

Синай Симсон

Я только что понял порядок вашего

4

$4$ компоненты -vectors нестандартны - вы пишете их как:

[\begin{array}{cccc} Икс \\ у \\ г \\ т \end{array}]

$\left[ \begin {array}{cccc} {\it x} \\ y\\ z \\ t\end {array} \right]$ Стандартный заказ на

4

$4$ -векторные компоненты:

[\begin{array}{cccc} т \\ Икс \\ у \\ г \end{array}]

$\left[ \begin {array}{cccc} {\it t} \\ x\\ y\\ z\end {array} \right]$ На самом деле это не имеет значения, но вы можете иметь это в виду при публикации вопросов.

Синай Симсон

Я действительно не понимаю, что ты делаешь. Это матрица для произвольного усиления Лоренца с использованием перпендикулярных и параллельных векторов:

л "=" [\begin{matrix} я + \frac{γ - 1}{{\vec{в}}^{2}} \vec{в} {\vec{в}}^{Т} & γ {\vec{в}}^{Т} \\ γ {\vec{в}}^{Т} & γ \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ Если его развернуть, то он должен соответствовать желаемому результату от упражнения — с помощью вашего

4

$4$ -векторная запись. А если установить

β_{x} = β_{y} = 0

$\beta_{x}=\beta_{y}=0$ тогда вы сможете восстановить усиление Лоренца в

z

$z$ направление.

дсм

Привет @CinaedSimson. Да, я должен был уточнить, что я работаю в

(x, y, z, c t)

$(x,y,z,ct)$ соглашение (отредактировал мой пост, чтобы включить это). Я понимаю форму произвольной матрицы повышения, я пытаюсь понять, как это не требует от меня

r_{1 z}

$r_{1z}$ и

r_{2 z}

$r_{2z}$ быть этими конкретными значениями.

Синай Симсон

Хорошо, пусть

{\vec{r}}^{^{'}} = {\vec{r}}_{⊥} + {\vec{r}}_{∥}

$\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+\vec r_{\parallel}$ и

\vec{r} \cdot \vec{v} = r_{∥} v

$\vec r\cdot \vec v=r_{\parallel}v$ . Затем

т^{^{'}} "=" γ (т - \frac{\vec{р} \cdot \vec{в}}{с^{2}})

$t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$

{\vec{р}}^{^{'}} "=" {\vec{р}}_{⊥} + (γ - 1) {\vec{р}}_{∥} - γ \vec{в} т

$\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+(\gamma-1) \vec r_{\parallel}-\gamma \vec vt$ . Заменять,

{\vec{r}}_{⊥} = \vec{r} - {\vec{r}}_{∥}

$\vec r_{\perp}=\vec r-\vec r_{\parallel}$ , и

{\vec{r}}_{∥} = (\frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{v}) \frac{\vec{v}}{v}

$\vec r_{\parallel}=(\frac{\vec r\cdot \vec v}{v})\frac{\vec v}{v}$ - где

\vec{r} \cdot \vec{v}

$\vec r\cdot \vec v$ является проекцией

\vec{r}

$\vec r$ на

\vec{v}

$\vec v$ , и

\frac{\vec{v}}{v}

$\frac{\vec v}{v}$ является единичным вектором - в

{\vec{r}}^{^{'}}

$\vec r^{'}$ . Следовательно,

{\vec{r}}^{^{'}} = \vec{r} + (\frac{γ - 1}{v^{2}} \vec{r} \cdot \vec{v} - γ t) \vec{v}

$\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$ .

дсм

@CinaedSimson Извините, но я не совсем уверен, насколько это относится к моему вопросу. Я пытаюсь устранить всю зависимость от ортогональных направлений в моей общей матрице повышения, чтобы получить ту окончательную матрицу, которую я записал (с преобразованием подобия). Это почти там.

Синай Симсон

Это векторные уравнения для произвольного преобразования Лоренца из

r \to r^{^{'}}

$r \rightarrow r^{'}$ :

{\vec{р}}^{^{'}} "=" \vec{р} + (\frac{γ - 1}{в^{2}} \vec{р} \cdot \vec{в} - γ т) \vec{в}

$\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$

т^{^{'}} "=" γ (т - \frac{\vec{р} \cdot \vec{в}}{с^{2}})

$t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$ Преобразование их в матрицу для сравнения с желаемым результатом остается вам в качестве упражнения.

дсм

@CinaedSimson Мой вопрос не в том, как превратить произвольное преобразование Лоренца в матрицу, я это понимаю. Он получает произвольную матрицу повышения из преобразования подобия . Я ценю ваш вклад, но, опять же, все, о чем я прошу, это разъяснения по самому последнему шагу моего вопроса. Возможно, то, как я спросил, слишком сложно для понимания.

дсм

@ArtBrown А, да, спасибо!

Фробениус

Преобразование подобия, т. е. вращение в пространстве, имеет значение между кадрами, покоящимися друг относительно друга. Так что давайте

S \equiv O x y z t

$\;\mathrm S\boldsymbol{\equiv}Oxyzt\:$ ваш начальный кадр,

S_{α} \equiv O_{α} x y z_{α} t_{α}

$\;\mathrm S_{\alpha}\boldsymbol{\equiv}O_{\alpha}xyz_{\alpha}t_{\alpha}\:$ рама усилена в

z -

$z-$ направление и

S_{β} \equiv O_{β} x_{β} y_{β} z_{β} t_{β}

$\;\mathrm S_{\beta}\boldsymbol{\equiv}O_{\beta}x_{\beta}y_{\beta}z_{\beta}t_{\beta}\:$ рама усилена в

\hat{β} -

$\hat{\beta}-$ направление. Чтобы совершить вращение в пространстве из

S_{α}

$\;\mathrm S_{\alpha}\:$ к

S_{β}

$\;\mathrm S_{\beta}\:$ эти кадры должны находиться в покое относительно друг друга, но...

Фробениус

... это невозможно , если

\hat{β} (\equiv \hat{z_{β}}) \neq \hat{z}

$\hat{\beta}(\equiv \hat{z_{\beta}})\boldsymbol{\ne}\hat{z}$ .

Фробениус

Матрица Лоренца, заданная как

\tilde{L}

$\;\tilde{L}\;$ в вашем вопросе, идентичном тому, который указан в комментарии @Cinaed Simson

л "=" [\begin{matrix} я + \frac{γ - 1}{{\vec{в}}^{2}} \vec{в} {\vec{в}}^{Т} & γ {\vec{в}}^{Т} \\ γ {\vec{в}}^{Т} & γ \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ недействителен для произвольных конфигураций, но для того, что я называю стандартной конфигурацией , см., например, рисунок 01 в моем ответе здесь: это опечатка в выводе Дэвида Тонга о спин-орбитальном взаимодействии? .

Фробениус

... или рисунок-01 в моем ответе здесь: когда мы вычисляем релятивистский угловой момент частицы в направлении оси z, какую релятивистскую массу мы должны использовать? .

Фробениус

Чтобы увидеть, как эта общая Стандартная конфигурация подтверждается хорошо известной Стандартной конфигурацией в

x -

$x-$ ось см. РАЗДЕЛ B в моем ответе здесь (как «user82794» в прошлом): два набора координат каждый в кадрах O и O ′ (преобразование Лоренца)

Синай Симсон

Преобразование подобия — это преобразование поля, происходящее после

4

$4$ -вектор был преобразован Лоренцем. И так как вы, кажется, выступаете по крайней мере

2

$2$ чистый импульс

2

$2$ разных направлениях - и, возможно, с

2

$2$ разных скоростях, кадры Лоренца прецессировали бы - и вы не можете вернуться к исходному кадру без составного усиления и отдельного

3

$3$ г космическое вращение. См. Томас Прецессион " en.wikipedia.org/wiki/Thomas_precession " и комментарии @Frobenius.

Фробениус

@Cinaed Simson: ИМО, ваш поясняющий комментарий выше должен быть подсказкой в ответе. Кстати, два последовательных преобразования Лоренца (симметричных) в двух разных направлениях дают преобразование Лоренца (симметричное) и вращение Томаса (или Вигнера) ( статическое), а не прецессию (движение). Кроме того, здесь у нас есть противоречие: я думаю, что OP даст награду +50 за принятый полный ответ, но для последнего недопустимо быть полным, поскольку модерация пометила его как домашнее задание и упражнения .

дсм

@Frobenius Спасибо за вклад. Я не уверен, что понимаю ваш комментарий о том, что это вращение невозможно, если

\hat{β} \neq \hat{z}

$\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , можно уточнить? Вы хотите сказать, что проблема в корне ошибочна? Вся суть в том, чтобы посмотреть

\hat{β} \neq \hat{z}

$\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , с конечно

\hat{β} = \hat{z}

$\hat{\beta}=\hat{z}$ удовлетворен как частный случай. Это упражнение под вопросом. я встраиваю

R

$R$ в

S O (3, 1)_{o}

$SO(3,1)_o$ , это меняет вашу невозможность?

дсм

@CinaedSimson Можете ли вы пояснить, как я «выполняю как минимум 2 чистых ускорения в 2 разных направлениях - и, возможно, с 2 разными скоростями»? Вся цель этой задачи, по крайней мере, так я думал, состояла в том, чтобы просто просмотреть

z

$z$ повысить как произвольный, повернув на другой кадр, который

\hat{β}

$\hat{\beta}$ как его

z

$z$ -ось. Следовательно, один чистый буст рассматривается произвольно. Прошу прощения, что так долго тянул с этим, не уверен, что я больше надеюсь получить от этого подхода.

Ответы (2)

Получение произвольной матрицы повышения из преобразования подобия

При преобразовании подобия определитель $L$ должен равняться детерминанту $\tilde{L}.$ И, может быть, я неправильно понял проблему, но это не усиление Лоренца в $z$ направление $л "=" [\begin{matrix} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{matrix}]$ $L=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{bmatrix}$
Я только что понял порядок вашего $4$ компоненты -vectors нестандартны - вы пишете их как: $[\begin{array}{cccc} Икс \\ у \\ г \\ т \end{array}]$ $\left[ \begin {array}{cccc} {\it x} \\ y\\ z \\ t\end {array} \right]$ Стандартный заказ на $4$ -векторные компоненты: $[\begin{array}{cccc} т \\ Икс \\ у \\ г \end{array}]$ $\left[ \begin {array}{cccc} {\it t} \\ x\\ y\\ z\end {array} \right]$ На самом деле это не имеет значения, но вы можете иметь это в виду при публикации вопросов.
Я действительно не понимаю, что ты делаешь. Это матрица для произвольного усиления Лоренца с использованием перпендикулярных и параллельных векторов: $л "=" [\begin{matrix} я + \frac{γ - 1}{{\vec{в}}^{2}} \vec{в} {\vec{в}}^{Т} & γ {\vec{в}}^{Т} \\ γ {\vec{в}}^{Т} & γ \end{matrix}]$ $L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ Если его развернуть, то он должен соответствовать желаемому результату от упражнения — с помощью вашего $4$ -векторная запись. А если установить $\beta_{x}=\beta_{y}=0$ тогда вы сможете восстановить усиление Лоренца в $z$ направление.
Привет @CinaedSimson. Да, я должен был уточнить, что я работаю в $(x,y,z,ct)$ соглашение (отредактировал мой пост, чтобы включить это). Я понимаю форму произвольной матрицы повышения, я пытаюсь понять, как это не требует от меня $r_{1z}$ и $r_{2z}$ быть этими конкретными значениями.
Хорошо, пусть $\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+\vec r_{\parallel}$ и $\vec r\cdot \vec v=r_{\parallel}v$ . Затем $т^{^{'}} "=" γ (т - \frac{\vec{р} \cdot \vec{в}}{с^{2}})$ $t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$ ${\vec{р}}^{^{'}} "=" {\vec{р}}_{⊥} + (γ - 1) {\vec{р}}_{∥} - γ \vec{в} т$ $\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+(\gamma-1) \vec r_{\parallel}-\gamma \vec vt$ . Заменять, $\vec r_{\perp}=\vec r-\vec r_{\parallel}$ , и $\vec r_{\parallel}=(\frac{\vec r\cdot \vec v}{v})\frac{\vec v}{v}$ - где $\vec r\cdot \vec v$ является проекцией $\vec r$ на $\vec v$ , и $\frac{\vec v}{v}$ является единичным вектором - в $\vec r^{'}$ . Следовательно, $\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$ .
@CinaedSimson Извините, но я не совсем уверен, насколько это относится к моему вопросу. Я пытаюсь устранить всю зависимость от ортогональных направлений в моей общей матрице повышения, чтобы получить ту окончательную матрицу, которую я записал (с преобразованием подобия). Это почти там.
Это векторные уравнения для произвольного преобразования Лоренца из $r \rightarrow r^{'}$ : ${\vec{р}}^{^{'}} "=" \vec{р} + (\frac{γ - 1}{в^{2}} \vec{р} \cdot \vec{в} - γ т) \vec{в}$ $\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$ $т^{^{'}} "=" γ (т - \frac{\vec{р} \cdot \vec{в}}{с^{2}})$ $t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$ Преобразование их в матрицу для сравнения с желаемым результатом остается вам в качестве упражнения.
@CinaedSimson Мой вопрос не в том, как превратить произвольное преобразование Лоренца в матрицу, я это понимаю. Он получает произвольную матрицу повышения из преобразования подобия . Я ценю ваш вклад, но, опять же, все, о чем я прошу, это разъяснения по самому последнему шагу моего вопроса. Возможно, то, как я спросил, слишком сложно для понимания.
Преобразование подобия, т. е. вращение в пространстве, имеет значение между кадрами, покоящимися друг относительно друга. Так что давайте $\;\mathrm S\boldsymbol{\equiv}Oxyzt\:$ ваш начальный кадр, $\;\mathrm S_{\alpha}\boldsymbol{\equiv}O_{\alpha}xyz_{\alpha}t_{\alpha}\:$ рама усилена в $z-$ направление и $\;\mathrm S_{\beta}\boldsymbol{\equiv}O_{\beta}x_{\beta}y_{\beta}z_{\beta}t_{\beta}\:$ рама усилена в $\hat{\beta}-$ направление. Чтобы совершить вращение в пространстве из $\;\mathrm S_{\alpha}\:$ к $\;\mathrm S_{\beta}\:$ эти кадры должны находиться в покое относительно друг друга, но...
... это невозможно , если $\hat{\beta}(\equiv \hat{z_{\beta}})\boldsymbol{\ne}\hat{z}$ .
Матрица Лоренца, заданная как $\;\tilde{L}\;$ в вашем вопросе, идентичном тому, который указан в комментарии @Cinaed Simson $л "=" [\begin{matrix} я + \frac{γ - 1}{{\vec{в}}^{2}} \vec{в} {\vec{в}}^{Т} & γ {\vec{в}}^{Т} \\ γ {\vec{в}}^{Т} & γ \end{matrix}]$ $L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ недействителен для произвольных конфигураций, но для того, что я называю стандартной конфигурацией , см., например, рисунок 01 в моем ответе здесь: это опечатка в выводе Дэвида Тонга о спин-орбитальном взаимодействии? .
... или рисунок-01 в моем ответе здесь: когда мы вычисляем релятивистский угловой момент частицы в направлении оси z, какую релятивистскую массу мы должны использовать? .
Чтобы увидеть, как эта общая Стандартная конфигурация подтверждается хорошо известной Стандартной конфигурацией в $x-$ ось см. РАЗДЕЛ B в моем ответе здесь (как «user82794» в прошлом): два набора координат каждый в кадрах O и O ′ (преобразование Лоренца)
Преобразование подобия — это преобразование поля, происходящее после $4$ -вектор был преобразован Лоренцем. И так как вы, кажется, выступаете по крайней мере $2$ чистый импульс $2$ разных направлениях - и, возможно, с $2$ разных скоростях, кадры Лоренца прецессировали бы - и вы не можете вернуться к исходному кадру без составного усиления и отдельного $3$ г космическое вращение. См. Томас Прецессион " en.wikipedia.org/wiki/Thomas_precession " и комментарии @Frobenius.
@Cinaed Simson: ИМО, ваш поясняющий комментарий выше должен быть подсказкой в ответе. Кстати, два последовательных преобразования Лоренца (симметричных) в двух разных направлениях дают преобразование Лоренца (симметричное) и вращение Томаса (или Вигнера) ( статическое), а не прецессию (движение). Кроме того, здесь у нас есть противоречие: я думаю, что OP даст награду +50 за принятый полный ответ, но для последнего недопустимо быть полным, поскольку модерация пометила его как домашнее задание и упражнения .
@Frobenius Спасибо за вклад. Я не уверен, что понимаю ваш комментарий о том, что это вращение невозможно, если $\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , можно уточнить? Вы хотите сказать, что проблема в корне ошибочна? Вся суть в том, чтобы посмотреть $\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , с конечно $\hat{\beta}=\hat{z}$ удовлетворен как частный случай. Это упражнение под вопросом. я встраиваю $R$ в $SO(3,1)_o$ , это меняет вашу невозможность?
@CinaedSimson Можете ли вы пояснить, как я «выполняю как минимум 2 чистых ускорения в 2 разных направлениях - и, возможно, с 2 разными скоростями»? Вся цель этой задачи, по крайней мере, так я думал, состояла в том, чтобы просто просмотреть $z$ повысить как произвольный, повернув на другой кадр, который $\hat{\beta}$ как его $z$ -ось. Следовательно, один чистый буст рассматривается произвольно. Прошу прощения, что так долго тянул с этим, не уверен, что я больше надеюсь получить от этого подхода.

Арт Браун · Answer 1

Признаюсь, меня не совсем устраивает эта проблема. (Посмотрите на мою первую попытку ответа.)

Несмотря ни на что, я думаю, что $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$ ограничены требованием, чтобы преобразование Лоренца $\tilde{L}$ быть чистым стимулом; то есть, что пространственные векторы, перпендикулярные направлению усиления $\vec{\beta}/\beta$ остаются без изменений по $\tilde{L}$ . (Эти векторы образуют двумерное собственное пространство с собственным значением 1.)

В частности, решение $\tilde{L} \vec{r_1} = \vec{r_1}$ и $\tilde{L} \vec{r_2} = \vec{r_2}$ (или его компоненты) дает 2 условия, которые удовлетворяются при выборе $r_{1z}=\beta_x/\beta$ и $r_{2z}=\beta_y/\beta$ .

Например, $x$ -компонент $\tilde{L} \vec{r_1} = \vec{r_1}$ упрощается до:

р_{1 Икс} р_{1 г} + р_{1 у} р_{2 г} + р_{1 г} β_{г} / β "=" 0

$r_{1x} r_{1z} + r_{1y} r_{2z} + r_{1z} \beta_z/\beta = 0$

С заменами это уравнение становится внутренним продуктом $r_1$ и $\beta$ , который обращается в нуль в силу ортогональности $r_1$ и $\beta$ .

Другие компоненты дают такое же или подобное уравнение, которое удовлетворяется теми же заменами.

ОБНОВЛЯТЬ:

Теперь все ясно. Мой ответ выше был проблематичным, поскольку он накладывал некоторые дополнительные ограничения на $\hat{r_1}$ и $\hat{r_2}$ помимо того, что они ортонормированы друг к другу и $\hat{\beta}$ , а в задаче говорилось, что должна работать любая ортонормированная пара. В самом деле, любая такая пара $\hat{r_1}$ и $\hat{r_2}$ дает симметричный $\tilde{L}$ , и, следовательно, чистый импульс, так почему же должны требоваться дополнительные ограничения?

Ответ состоит в том, что дополнительные ограничения не требуются, если выбрать матрицу $R$ вращать $\hat{z}$ в $\hat{\beta}$ ( $R \hat{z}=\hat{\beta}$ ). Конкретно, $R$ должен был быть транспонированием того, который вы использовали. С этим изменением выполненный вами расчет дает ожидаемый результат без каких-либо дополнительных ограничений на $\hat{r_1}$ и $\hat{r_2}$ необходимый.

(Наоборот, с версией $R$ вы наняли, было необходимо, чтобы $r_{1z}=\beta_x/\beta$ и $r_{2z}=\beta_y/\beta$ так что $\hat{z}$ был превращен в $\hat{\beta}$ .)

Не могли бы вы уточнить, как эти условия являются результатом требования неизменности собственного времени? Кажется, это моя задержка
@dsm, моя идея была неверной, извините. Я думаю, что мой пересмотренный ответ лучше.
Требование $\tilde{L}r_1=r_1$ и $\tilde{L}r_2=r_2$ имеет смысл, но я не могу заставить их выскочить $r_{1z}=\beta_x/\beta$ и $r_{2z}=\beta_y/\beta$ . В моей самой упрощенной форме $\tilde{L}$ я устранил $\beta_x$ и $\beta_y$ используя ортогональность, и я не вижу, как эти компоненты возвращаются в игру из этих двух матричных уравнений. Я что-то пропустил?
Я отменил общие множители в уравнении. То, что осталось, можно было бы выразить как исчезновение внутреннего продукта $r$ и еще один вектор. Этот второй вектор становится $\beta$ если две рассматриваемые подводные лодки сделаны стратегически (принося $\beta_x$ и т.д. обратно в игру) и удовлетворяющие уравнению по ортогональности.
Аааа, вижу! Спасибо. Это слишком долго сбивало меня с толку. И вместо подстановки мне понятнее просто вычесть условие ортогональности $r_1$ и $\beta$ От этого $x$ -компонентное уравнение, чтобы увидеть, что мы должны иметь те $z$ -компоненты за счет $r_1$ (или $r_2$ при использовании другого уравнения) с произвольным $x$ и $y$ компоненты; то есть $р_{1 Икс} (р_{1 г} - β_{Икс} / β) + р_{1 у} (р_{2 г} - β_{у} / β) "=" 0 \Rightarrow р_{1 г} "=" β_{Икс} / β и р_{2 г} "=" β_{у} / β$ $r_{1x}(r_{1z}-\beta_x/\beta)+r_{1y}(r_{2z}-\beta_y/\beta)=0\hspace{1mm}\Rightarrow r_{1z}=\beta_x/\beta\hspace{1mm}\text{and}\hspace{1mm}r_{2z}=\beta_y/\beta$ Я ценю вашу настойчивость, ура :)

Эли · Answer 2

Общая матрица преобразования Лоренца:

л "=" [\begin{matrix} γ & - γ {\vec{β}}^{Т} \\ - γ \vec{β} & я_{3} + \frac{γ - 1}{\vec{в} \cdot \vec{в}} \vec{β} {\vec{β}}^{Т} \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\,\vec{\beta}^T \\ -\gamma\,\vec{\beta} & I_3+\frac{\gamma-1}{\vec{v}\,\cdot \vec{v}}\,\vec{\beta}\,\vec{\beta}^T \\ \end{bmatrix}$

если вы вращаете матрицу Лоренца, то:

$\vec{\beta}\mapsto R\,\vec{\beta}$

где R $3\times 3$ ортогональная матрица вращения

$R^T=\left[\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}\right]$ и $R^\,R^T=I_3$

потому что $R\,\vec{\beta}$ в вашем случае это:

β_{г} [\begin{matrix} р_{1 г} \\ р_{2 г} \\ р_{3 г} \end{matrix}]

$\beta_z\,\begin{bmatrix} r_{1z} \\ r_{2z} \\ r_{3z} \\ \end{bmatrix}$

задействованы только z-компоненты векторов, которые создают матрицу вращения R

Я не знаю, что вы пытаетесь сделать здесь. Почему вы подаете заявку $R$ к $\vec{\beta}$ , направление, в котором я вращаю $z$ направление на? И что вы пытаетесь донести с помощью $\beta_z(r_{1z},r_{2z},r_{3z})^T$ ? И что такое $r_3$ ? Все, что я пытаюсь сделать, это устранить $r_{1z}$ и $r_{2z}$ в моем окончательном выражении, чтобы получить эту окончательную матрицу; т.е. не зависеть ни от каких компонент ортогонального $r$ направления.

Получение произвольной матрицы повышения из преобразования подобия

дсм

Синай Симсон

Синай Симсон

Синай Симсон

дсм

Синай Симсон

дсм

Синай Симсон

дсм

дсм

Фробениус

Фробениус

Фробениус

Фробениус

Фробениус

Синай Симсон

Фробениус

дсм

дсм

Ответы (2)

Арт Браун

дсм

Арт Браун

дсм

Арт Браун

дсм

Эли

дсм

Вывод простой бустовской идентичности Лоренца, dp′z/dpzdpz′/dpzdp'_z/dp_z

Как показать с помощью преобразования Лоренца, что v⃗ v→\vec{v} одного кадра в другой в любом кадре равно |v⃗ ||v→|\vert\vec{v}\vert [закрыто]

Доказательство существования преобразования Лоренца от светоподобных к светоподобным векторам

Специальная теория относительности: проверка того, что общая матрица буста находится в группе Лоренца.

Невозможно согласовать мое понимание сокращения длины с преобразованием Лоренца

Релятивистское преобразование c2/vc2/vc^2/v

Вывод преобразований Лоренца

Доказательство единственности преобразования между релятивистскими системами отсчета

Двумерная задача преобразования скорости Лоренца

Докажите, что y=y',z=z'y=y',z=z'y=y',z=z' в преобразовании Лоренца