Я пытаюсь решить проблему, показанную ниже. Используя подсказку, я до сих пор нашел:
Однако я не понимаю, что подразумевается под компонентами время-время, время-пространство, пространство-время и пространство-пространство. Некоторая разработка того, что это означает, будет оценена по достоинству. Должен ли я приравнять вышеуказанные матричные компоненты к
Если да, то что я пытаюсь решить, чтобы действительно показать, что это в группе Лоренца?
Обратите внимание, я только новичок в нотации суммирования, поэтому прошу прощения, если что-то написал неправильно.
Подсказки:
Обратите внимание, что если является единичным 3-вектором, то является проекцией на его направление, так как для каждого
РЕДАКТИРОВАТЬ :
где настоящий симметричный матрица с элементами действительный скаляр, действительный 3-вектор и действительный симметричный матрица соответственно все предстоит определить. Сейчас,
Так,
КЭД.
Другой, менее грязный способ сделать это заключается в следующем. Свяжите указанную матрицу с единичной матрицей путем, определенным:
где скорость предполагаемого повышения. Здесь - единичный вектор направляющих косинусов, указывающих вдоль направления усиления.
Упражнение : проверьте, что все матрицы указанного вида могут быть записаны в виде (1), так что все они образуют гладкий путь через единицу (где они проходят, когда ).
Обратите внимание на полезную маленькую формулу , так что вы можете почти манипулировать матрицами формы в (1), как если бы их элементы были скалярными, за исключением того, что остается неупрощенным. Вы получаете такие вещи, как (это значит, что — это идемпотентный проектор на направление усиления), который вы можете использовать в дальнейшем.
откуда:
Теперь, учитывая (3), мы имеем очень просто:
и, поскольку искомое тождество тривиально следует для , мы имеем, через (4) начальную задачу Коши, в которой производная является липшиц-непрерывной функцией от , поэтому , верно для всех , является уникальным решением для этого CIVP, и его подлинность подтверждена.
Таким образом, вы получили довольно полезное и компактное выражение для общего повышения в (1), и вы можете видеть, в свете (3), что это матричная экспонента от умножить на простую матрицу в правой части (3). Матрицу в правой части (3) иногда называют бесконечно малой добавкой ; все бесконечно малые надбавки представляют собой линейные комбинации с направляющими косинусами в качестве весов трех бесконечно малых надбавок для трех направлений в пространственных координатах.
Акидриан
Фробениус