Как получить аналитическое выражение для запаздывающей функции Грина с квадратичным гамильтонианом?

Для двух операторов$A(t)$и$B(t)$запаздывающая функция Грина определяется как

$$\begin{equation} G^R(t,t') \equiv \langle \langle A(t)|B(t) \rangle \rangle^R = -i\theta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle \end{equation}$$

то можно показать, что

$$\begin{align*} i\dfrac{\partial}{\partial t} G^R(t,t') & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle - i \theta(t-t')\langle \{i\dfrac{\partial A(t)}{\partial t},B(t')\} \rangle \\ & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle - i \theta(t-t')\langle \{[A(t),H(t)],B(t')\} \rangle \\ & = \delta(t-t')\langle \{A(t),B(t')\} \rangle + \langle \langle [A(t),H(t)]|B(t') \rangle \rangle^R \end{align*}$$ Если гамильтониан$H$в картине Шрёдингера не зависит от времени, то корреляционные функции зависят от$(t-t')$, не на$t$и$t'$в отдельности. Мы можем перейти в пространство Фурье, EOM становится $$\begin{equation} \boxed{\omega \langle \langle A|B \rangle\rangle^R = \langle \{A,B\} \rangle + \langle \langle [A,H]|B \rangle\rangle^R}. \end{equation}$$

Начиная с этой формулы , я хочу вывести аналитическое выражение для запаздывающей функции Грина со следующим гамильтонианом$H$(фермионная система):

$$\begin{equation} H = \sum_k x a_k^\dagger a_k + \sum_{m \neq n} y (a^\dagger_m a_n + a^\dagger_n a_m) \end{equation}$$

Это следующее мое решение:

$$\begin{equation} \boxed{A=a_s,B=a^\dagger_t} \Rightarrow \omega \langle \langle a_s|a^\dagger_t \rangle \rangle^R = \langle \{a_s,a^\dagger_t\} \rangle + \langle \langle [a_s,H]|a^\dagger_t \rangle \rangle^R \end{equation}$$

$$\begin{align*} [a_s,H] & =\left[a_s,\sum_k x a_k^\dagger a_k + \sum_{m \neq n} y (a^\dagger_m a_n + a^\dagger_n a_m) \right ]\\ & = \sum_k x \{a_s,a_k^\dagger\}a_k + \sum_{m \neq n} y \{a_s,a_m^\dagger\}a_n +\sum_{m \neq n} y \{a_s,a_n^\dagger\}a_m \\ & = x a_s+ \sum_{n} y a_n \qquad (s=m \neq n) \end{align*}$$

$$\begin{equation} \omega G_{st}^R = \delta_{st} + x G_{st}^R + \sum_n y \langle \langle a_n|a^\dagger_t \rangle \rangle^R \Rightarrow G_{st}^R = \dfrac{\delta_{st}+y\sum_n G^R_{nt}}{\omega-x} \end{equation}$$

Но этот результат является окончательным решением? Или как я могу еще больше упростить свои результаты?