Переход к картине взаимодействия в модели Джейнса-Каммингса [закрыто]

В модели Джейнса-Каммингса для двухуровневого атома гамильтониан для атома определяется как (я пусть час ¯ "=" 1 )

ЧАС а "=" ю а о г 2

а гамильтониан поля равен

ЧАС ф "=" ю с а † а .

Гамильтониан взаимодействия

В "=" ( а + а † ) ( о + + о − ) .

Здесь о г "=" | е ⟩ ⟨ е | − | г ⟩ ⟨ г | является атомарным оператором инверсии, о + "=" | е ⟩ ⟨ г | и о − "=" о + † . Это повышающие и понижающие операторы для атома. а и а † являются бозонными операторами уничтожения и рождения.

Теперь я хочу перейти к картинке взаимодействия

В я "=" U † ( т ) В U ( т ) .

Где U ( т ) "=" е − я ( ЧАС а + ЧАС ф ) т

С В состоит из двух факторов, один из которых относится к полю, а другой к атому, я полагаю, я могу написать

В "=" е я ( ЧАС ф ) т ( а + а † ) е − я ( ЧАС ф ) т е я ( ЧАС а ) т ( о + + о − ) е − я ( ЧАС а т .

Так что мне нужно вычислить

е я ( ю с а † а ) т ( а † ) е − я ( ю с а † а ) т

е я ( ю с а † а ) т ( а ) е − я ( ю с а † а ) т

е я ( ю а о г 2 ) т ( о + ) е − я ( ю а о г 2 ) т

е я ( ю а о г 2 ) т ( о − ) е − я ( ю а о г 2 ) т

Моя проблема заключается здесь, я не знаю, как поступить.

Я думал об использовании чего-то вроде [ а , U ( а † а ) ] | н ⟩ но я никуда не денусь отсюда.

Ответы (1)

Есть много способов выполнить этот расчет. Возможно, самым простым является рассмотрение объекта а ( т ) "=" е я ю с т а † а а е − я ю с т а † а как решение дифференциального уравнения

а ˙ ( т ) "=" − я ю с а ( т ) .
Вы можете показать, что а ( т ) удовлетворяет этому уравнению, непосредственно дифференцируя его по времени. (Вам нужно будет использовать тот факт, что г г т е А т "=" А е А т "=" е А т А , для произвольного оператора А .) Теперь легко проверить, что решение вышеприведенного уравнения есть
а ( т ) "=" е − я ю с т а ( 0 ) .
Заметим, что это свойство следует непосредственно из того, что а является понижающим оператором, т. е. удовлетворяет коммутационному соотношению
[ ЧАС ф , а ] "=" − ю с а .
(Чтобы доказать это, вам нужно тождество [ А Б , С ] "=" А [ Б , С ] + [ А , С ] Б для произвольных операторов А , Б и С .) Аналогичное решение имеет место для атомарных операторов о ± , понижающие операторы относительно гамильтониана ЧАС а .

Спасибо, я пытался доказать упомянутое вами соотношение коммутации, но мне это не удалось. Проблема заключается в том, что происходит с операторами повышения/понижения в показателе степени. Хотите поделиться доказательством?
@JDH Я отредактировал ответ с некоторыми подсказками для вас.
Я не могу правильно провести дифференциацию, дифференцируя, я получаю а ˙ "=" я ю ( а † а а ( т ) − а ( т ) а † а ) "=" я ю [ а † а , а ( т ) ] . С учетом е ± я ЧАС ф т как операторы, это не дает правильного ответа. Где я ошибаюсь?
@JDH На самом деле это правильный ответ, хотя вы еще не совсем там. Вам нужно использовать тот факт, что оператор А коммутирует со своим экспоненциальным е А т .
Переход к картине взаимодействия в модели Джейнса-Каммингса [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v