Как получить ∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A =\int_{ \Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu} для свободной ЭМ? [дубликат]

Question

Как получить ∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A =\int_{ \Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu} для свободной ЭМ? [дубликат]

Вейн Эльд

На странице 22 представлена симплектическая форма свободной электродинамики:

\begin{matrix} (1) & {Ом}_{Σ} "=" - \frac{1}{е^{2}} \int_{Σ} дельта (* Ф) \land дельта А, \end{matrix}

$\Omega_{\Sigma}=-\frac{1}{e^2}\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A,\tag{1}$ где

Σ

$\Sigma$ любая гиперповерхность Коши (трехмерная) и

δ

$\delta$ есть вариация в фазовом пространстве. В дальнейшем (1) дает уравнение с индексами вида

\begin{matrix} (2) & {Ом}_{Σ} "=" - \frac{1}{е^{2}} \int_{Σ} г Σ^{мю} дельта Ф_{мю ν} \land дельта А^{ν}, \end{matrix}

$\Omega_{\Sigma}=-\frac{1}{e^2}\int_{\Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu},\tag{2}$ где

d Σ^{μ}

$d\Sigma^{\mu}$ представляет собой индуцированное измерение, умноженное на вектор единичной нормы для

Σ

$\Sigma$ .

Кто-нибудь знает, как вывести уравнение (2) из уравнения (1)? Далее, что имеется в виду под «индуцированной мерой» здесь? Значит ли это $\sqrt{|h|}dx^1dx^2dx^3$ , где $h_{\mu\nu}$ индуцированная метрика? Если это действительно так, то когда поверхность является нулевой гиперповерхностью $\mathcal{I}^{\pm}$ , у нас есть $h=0$ .

ДжамалС

Возможный дубликат индуцированной метрики на нулевой гиперповерхности

Кайл Канос

Обратите внимание, что на сайте вопросов и ответов каждое сообщение будет вопросом , поэтому нет смысла давать этому сообщению тот заголовок, который у вас есть. Пожалуйста, рассмотрите заголовок, который фактически описывает проблему, с которой вы столкнулись, а не заявление о том, что у вас есть проблема.

Эмилио Писанти

В дополнение к комментариям Кайла, вот предлагаемое название на гораздо более информативном уровне.

Ответы (1)

Как получить ∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A =\int_{ \Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu} для свободной ЭМ? [дубликат]

Возможный дубликат индуцированной метрики на нулевой гиперповерхности
Обратите внимание, что на сайте вопросов и ответов каждое сообщение будет вопросом , поэтому нет смысла давать этому сообщению тот заголовок, который у вас есть. Пожалуйста, рассмотрите заголовок, который фактически описывает проблему, с которой вы столкнулись, а не заявление о том, что у вас есть проблема.
В дополнение к комментариям Кайла, вот предлагаемое название на гораздо более информативном уровне.

Qмеханик · Answer 1

Давайте здесь обратимся только к последней концептуальной части вопроса ОП (v4).

Пусть задано 4-мерное ориентируемое лоренцево многообразие $(M,\mathbb{g})$ с каноническим псевдообъемом $^1$ форма

\begin{matrix} (А) & Ом "=" \sqrt{| г |} г {Икс}^{0} \land г {Икс}^{1} \land г {Икс}^{2} \land г {Икс}^{3} е Г (⋀^{4} (Т^{*} М)), г "=" дет (г_{мю ν}) . \end{matrix}

$\Omega~:=~\sqrt{|g|}\mathrm{d}x^{0}\wedge \mathrm{d}x^{1}\wedge\mathrm{d}x^{2}\wedge\mathrm{d}x^{3}~\in~\Gamma(\bigwedge \! {}^4(T^{\ast}M)), \qquad g~:=~\det(g_{\mu\nu}). \tag{A}$ [Обратите внимание, что эта омега не имеет ничего общего с симплектической формой в уравнениях. (1) и (2)] Гамильтоново квантование в теории поля обычно основано на выборе векторного поля

X \in Γ (T M)

$X\in \Gamma(TM)$ который представляет поток параметра эволюции, ср. например, этот пост Phys.SE. Для времениподобного векторного поля мы всегда можем нормализовать его, если захотим; но если оно светоподобно, то нет канонического выбора

X

$X$ .

Затем мы выбираем поверхность Коши $\Sigma\subset M$ коразмерности 1, т. е. гиперповерхность, такую, что

\begin{matrix} (Б) & Т_{п}^{*} Σ "=" К е р ({Икс}_{п}), п е Σ . \end{matrix}

$T^{\ast}_p\Sigma~=~{\rm Ker}(X_p), \qquad p~\in~\Sigma.\tag{B}$ Здесь мы определили вектор

\begin{matrix} (С) & {Икс}_{п} : Т_{п}^{*} М \to р \end{matrix}

$X_p: T^{\ast}_pM~\to~ \mathbb{R}\tag{C}$ с функционалом на кокасательном пространстве

T_{p}^{*} M

$T^{\ast}_pM$ . Затем мы можем определить форму псевдообъема

ω \in Γ (⋀^{3} (T^{*} Σ))

$\omega \in \Gamma(\bigwedge\! {}^3(T^{\ast}\Sigma))$ на поверхности Коши

Σ

$\Sigma$ через сокращение

\begin{matrix} (Д) & ю_{п} "=" я_{{Икс}_{п}} {Ом}_{п}, п е Σ . \end{matrix}

$\omega_p~:=~i_{X_p}\Omega_p, \qquad p~\in~\Sigma.\tag{D}$

--

$^1$ Форма псевдообъема преобразуется как

\begin{matrix} (Е) & {Ом}^{'} "=" с г н (Дж) Ом, Дж "=" дет (\frac{\partial {Икс}^{' ν}}{\partial {Икс}^{мю}}), \end{matrix}

$\Omega^{\prime} ~=~{\rm sgn }(J)~\Omega, \qquad J~:=~\det(\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}}), \tag{E}$ при общих преобразованиях координат

x^{μ} \to x^{' ν} = f^{ν} (x)

$x^{\mu} \to x^{\prime \nu}=f^{\nu}(x)$ .

Как получить ∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν∫Σδ(∗F)∧δA=∫ΣdΣμδFμν∧δAν\int_{\Sigma}\delta(*F)\wedge\delta A =\int_{ \Sigma}d\Sigma^{\mu}\delta F_{\mu\nu}\wedge\delta A^{\nu} для свободной ЭМ? [дубликат]

Вейн Эльд

ДжамалС

Кайл Канос

Эмилио Писанти

Ответы (1)

Qмеханик

Векторный потенциал AAA на двумерной сфере S2S2S^2 радиуса RRR с удаленными точками

Доказательство существования 4-потенциала из уравнения поля Гаусса-Фарадея

Магнитный монополь и векторный потенциал

Уравнения Максвелла в 2+1 D

Нахождение векторного потенциала вращающейся сферической оболочки с однородным поверхностным зарядом?

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Как получается метрический тензор сферических координат? [закрыто]

Помогите с символами Кристоффеля для задачи геометрической механики?

Вычисление символов Кристоффеля из лагранжиана

Нахождение дивергенции в сферических координатах с помощью метрического тензора