Магнитный монополь и векторный потенциал

Вы ищете 1-форму$A$на$\mathbb{R} - \{0\}$такой, что$\mathrm{d}A = B$. На всех$\mathbb{R} - \{0\}$,$\mathrm{d}B = 0$, так что это может существовать. Но, поскольку у вас есть магнитный поток, вам требуется, чтобы интеграл от$B$над любой 2-сферой вокруг начала координат должно быть$g$. Следовательно, по теореме Стокса

что является противоречием для$g \neq 0$. Следовательно, такой$A$не может существовать.

^{Это более формальная перефразировка ответа голографа .}

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность, окружающую начало координат, равен$g$(магнитный заряд прилагается). Если магнитное поле исходит из векторного потенциала$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$, этот поверхностный интеграл по теореме Стокса есть интеграл от$\vec{A}$вокруг границы поверхности. Но поверхность замкнута, поэтому не имеет границ, поэтому ответ должен быть равен нулю. Это противоречие, если$g$отличен от нуля, поэтому нет такого$\vec{A}$существует.

(Это имеет более сложную интерпретацию на языке дифференциальных форм и когомологий де Рама, но здесь это не обязательно!)

Пользователь 23873 ответил на мой вопрос в комментариях. Цитирую: «Попробуйте прочитать книгу «Геометрия, топология и калибровочные поля: основы», автор (Набер) ведет это обсуждение прямо во вводной главе и указывает, как невозможность определения правильного векторного потенциала на ℝ3−0 связана с это топология (вторая гомотопическая группа нетривиальна), а также то, как из этого возникают классические монополи Дирака. Наблюдения: ваша гипотеза имеет ненулевой интеграл потока, как и эквивалентное решение для электрического поля точечного заряда».