Как понять комплексные массы нестабильных частиц? Концептуальная проблема расчета скорости распада

Question

Как понять комплексные массы нестабильных частиц? Концептуальная проблема расчета скорости распада

Физика
резонанс
комплексные числа
s-матричная теория
квантовая теория поля
корреляционные функции

Такуми Хаяси

Если частица имеет комплексную массу, $p^2-m^2=0$ приводит к $p^μ \notin \mathbb R^4$ . Что это значит?

Когда вы хотите рассчитать элементы S-матрицы процесса распада $\langle p_f,\ldots\mid p_i\rangle$ , вы вычисляете $n$ -точечная корреляционная функция

⟨ 0 ∣ Т ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) \dots ∣ 0 ⟩

$\langle 0\mid Tφ(x_1)φ(x_2)\ldots\mid 0\rangle$ и используя формулу LSZ. Преобразование Фурье корреляционной функции имеет полюса при

p_{j}^{2} = m_{j}^{2}

$p_j^2=m_j^2$ , так как включает в себя амплитуды поляризации вакуума

"=" \frac{я}{п_{Дж}^{2} - м_{Дж}^{2} + О ((п_{Дж}^{2} - м_{Дж}^{2})^{2})} \approx \frac{я}{п_{я}^{2} - м_{я}^{2}}

$= \frac i {p_j^2-m_j^2+O((p_j^2-m_j^2)^2)}\approx \frac i{p_i^2-m_i^2}$ на каждой внешней ножке на схемах. Формула LSZ говорит, когда вы умножаете

Π_{j} (p_{j}^{2} - m_{j}^{2}) / i

$Π_j(p_j^2-m_j^2)/i$ и взять предел

p_{j}^{2} \to m_{j}^{2}

$p_j^2→m_j^2$ , вы получаете элементы S-матрицы

⟨ p_{f}, \dots ∣ p_{i} ⟩

$\langle p_f,\ldots\mid p_i\rangle$ . Поэтому вы можете знать, что при расчете S-матрицы вам нужно учитывать только «ампутированные диаграммы».

Однако вне уровня дерева амплитуда поляризации вакуума неустойчивой частицы имеет полюс не вещественной, а комплексной величины. Это означает, что на пределе оболочки $p_i^2→m_i^2$ приводит к $p_i^\mu \notin \mathbb R^4$ . С другой стороны, если вы принимаете ограничения, такие как $p_i^2\to\operatorname{Re} m_i^2$ , вы не можете сделать приближение "амплитуды поляризации вакуума $\approx \frac i{p_i^2-m_i^2}$ ", потому что $p_i^2$ находится далеко от полюса.

В конце концов, мой вопрос заключается в том, как правильно вычислить скорость распада нестабильных частиц. Могу ли я вычислить элементы S-матрицы, вычислив «ампутированные диаграммы», как это обычно делается?

Связанная с этим проблема отмечена в учебнике Средненицкого на стр. 162 http://web.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html
. Он сказал, что внутреннее и внешнее состояния должны состоять из бесконечно долгоживущих частиц. Он думал, что нестабильные частицы присутствуют как промежуточные состояния, а поздний распад рассматривал как величину, связанную с шириной резонанса. (стр. 165 (25.25))

ф (Е) "=" \frac{1}{Е - Е_{0} + я Г / 2} .

$f(E)=\frac{1}{E-E_0+iΓ/2}.$

преобразование Фурье $f(E)$ дает $g(t)=\exp(iE_0t-Γt/2)$ , что кажется чем-то выражающим распад. Я также хочу знать точное значение этой процедуры. (Сначала я рассматривал временную эволюцию $|ψ\rangle = \int dE \, f(E)|E\rangle$ по уравнению Шредингера, но $|ψ(t)\rangle\neq g(t)|ψ(0)\rangle$ ).

Ответы (1)

Как понять комплексные массы нестабильных частиц? Концептуальная проблема расчета скорости распада

InertialObserver · Answer 1

Я буду обсуждать это в контексте теории Юкавы и использовать перенормированную теорию возмущений . Как я понимаю это так.

Настройка : рассмотрим схему перенормировки

ψ_{р} "=" \frac{1}{\sqrt{Z}} ψ_{0} м_{р} "=" \frac{1}{Z_{м}} м_{0}

$\psi_R = \frac{1}{\sqrt{Z}}\psi_0 \\ m_R = \frac{1}{Z_m} m_0$

где $Z_i = 1 + \delta_i$ . Тогда перенормированный пропагатор.

г^{р} "=" \frac{1}{Z_{2}} г^{б а р е} .

$G^R = \frac{1}{Z_2} G^{bare}.$

Теперь вспомните, что, суммируя все вставки 1PI, мы можем написать

я г^{б а р е} "=" \frac{я}{⧸ п - м_{0} + Σ (⧸ п)}

$iG^{bare} = \frac{i}{\not{p} - m_0 + \Sigma(\not{p})}$

где $\Sigma$ это сумма по всем вставкам 1PI. Теперь мы можем написать $\Sigma = \Sigma_2 + {\cal O}(g^4)$ сохраняя только те вставки порядка, которые меньше, чем $g^4$ . Так что наш перенормированный пропагатор на порядок $g^2$ является

г^{р} "=" \frac{1}{1 + дельта} \frac{я}{⧸ п - м_{0} + Σ_{2} (⧸ п)} г^{р} "=" \frac{я}{⧸ п - м_{р} + Σ_{р} (⧸ п)}

$G^R = \frac{1}{1+\delta}\frac{i}{\not{p} - m_0 + \Sigma_2(\not{p})} \\ \boxed{G^R= \frac{i}{\not{p} - m_R + \Sigma_R(\not{p})} }$

где мы определили

Σ_{р} "=" Σ_{2} + дельта ⧸ п - (дельта + {дельта}_{м}) м_{р}

$\Sigma_R = \Sigma_2 + \delta \not{p} - (\delta + \delta_m)m_R$

Теперь вспомним, что мы определяем физическую массу как полюс пропагатора. Поэтому,

м_{п} - м_{р} + Σ_{р} (м_{п}) "=" 0 .

$m_P - m_R + \Sigma_R(m_P) = 0 .$

Это означает, что

{дельта}_{м} м_{п} "=" Σ_{р} (м_{п})

$\boxed{\delta_m m_P = \Sigma_R(m_P)}$

Ваш вопрос: Позвоним $\Sigma_2(\not{p}) = i\Delta m$ , предвидя, что поправка является чисто мнимой. Тогда наш пропагатор

{\tilde{г}}^{р} "=" \frac{я}{⧸ п - м_{р} + я Δ м}

$\tilde{G}^R= \frac{i}{\not{p} - m_R+ i\Delta m}$

где теперь мы знаем, что наш пропагатор имеет полюс в $m_P$ .

Напомним, что амплитуда распространения частицы от $x$ к $y$ дается преобразованием Фурье

Д (Икс - у) "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{я}{⧸ п - м_{р} + я Δ м} е^{- я п (Икс - у)}

$D(x-y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not{p} - m_R + i\Delta m}e^{-ip(x-y)}$

Чтобы упростить задачу, предположим, что y=0. Тогда у нас есть

Д (Икс) "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{я}{⧸ п - м_{р} + я Δ м} е^{я п \cdot Икс} е^{- я Е т}

$D(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not{p} - m_R+ i\Delta m}e^{i\mathbf{p\cdot x}}e^{-iEt}$

Где $E = \sqrt{p^2 + m_{rest}^2}$ . Какова масса частицы в системе покоя? Ну по определению это полюс распространителя! И поэтому мы можем заменить

Е "=" \sqrt{п^{2} + (м_{р} - я Δ м)^{2}} "=" \sqrt[4]{{(- {Δ м}^{2} + м^{2} + п^{2})}^{2} + 4 {Δ м}^{2} м^{2}} (я грех (\frac{ф}{2}) + потому что (\frac{ф}{2})) Е \equiv ξ (я грех (\frac{ф}{2}) + потому что (\frac{ф}{2}))

$E = \sqrt{p^2 + (m_R - i \Delta m)^2} \\ =\sqrt[4]{\left(-{\Delta m}^2+m^2+p^2\right)^2+4 {\Delta m}^2 m^2} \left(i \sin \left(\frac{\phi}{2}\right)+\cos \left(\frac{\phi}{2}\right)\right)\\ \boxed{E \equiv \xi \left(i \sin \left(\frac{\phi}{2}\right)+\cos \left(\frac{\phi}{2}\right)\right) }$

где $\phi$ это $\mathrm{Arg}$ подкоренного числа. Окончательно получаем, что

Д (Икс) "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{я е^{я п \cdot Икс} е^{- я ξ потому что (\frac{ф}{2}) т}}{⧸ п - м_{р} + я Δ м} е^{- ξ грех (\frac{ф}{2}) т}

$\boxed{D(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{ie^{i\mathbf{p\cdot x}} e^{-i\xi\cos(\frac{\phi}{2}) t}}{\not{p} - m_R+ i\Delta m}e^{-\xi\sin(\frac{\phi}{2}) t}}$

и, таким образом, мы видим, что действительно вероятность существования частицы в момент времени $t$ затухает экспоненциально.

Спасибо, что ответили на мои вопросы! Я четко понимаю, как интерпретировать скорость распада. D(yx)=<0|Tφ(y)φ(x)|0>=< $y_i|exp(-iH(y_0-x_0)|x_i$ >, поэтому амплитуда вероятности состояния будет экспоненциально уменьшаться с течением времени в соответствии с вашими расчетами. Я не предполагал, что преобразование Фурье f(E) возникло при вычислении D(yx) из $\tilde G^R(p)$ . Я очень ценю ваш ответ!
Верно! Я так по крайней мере об этом думаю

Как понять комплексные массы нестабильных частиц? Концептуальная проблема расчета скорости распада

Такуми Хаяси

Ответы (1)

InertialObserver

Такуми Хаяси

InertialObserver

Какой смысл вводить производящий функционал в слагаемые разложения S-матрицы?

Оператор временного заказа в Средницком

Интерпретация квантового поля

Значение формулы сокращения LSZ

Контактные члены в уравнении Дайсона-Швингера можно игнорировать?

Почему константы перенормировки одинаковы в LSZ и перенормировке?

Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=∫D[ϕ]eiS(ϕ)Z=\int D[\phi]e^{iS(\phi)}; ZZZ реальный или сложный?

Почему несвязные диаграммы не вносят вклад в S-матрицу?

Можно ли упростить амплитуды рассеяния с помощью диаграмм 1PI?