Всегда ли мы можем выразить гамильтониан ЭМ-поля как (возможно, зависящую от времени) пару операторов уничтожения и рождения?

Гамильтониан ЭМ-поля, в принципе, представляет собой функционал (с выбранным операторным порядком), определенный на операторных полях А ^ ( Икс ) и ∂ мю А ^ . Если провести расчеты и использовать определения Б ^ и Е ^ , вы получите:

ЧАС ^ "=" ∫ д 3 Икс ϵ 0 2 ( Е → ^ 2 + с 2 Б → ^ 2 )
Я приму это как определение гамильтониана в будущих вычислениях. Для свободного поля Ansatz А → ^ "=" е → ( а к → ^ е я ( к → Икс → − ю к → т ) + а к → ^ † е − я ( к → Икс → − ю к → т ) ) удовлетворяет этому волновому уравнению. Используя линейность, можно наложить все решения, включить их в определение гамильтониана и получить:
ЧАС ^ "=" ∑ к → , λ → а ^ к → , λ † а ^ к → , λ ю к → ℏ

Теперь мой вопрос: могу ли я также использовать этот гамильтониан во взаимодействующей теории? (Например, электромагнитное поле, связанное с атомом). Я спрашиваю, потому что волновые уравнения, которые меняют операторы Гейзенберга. Наложение операторов рождения и уничтожения, как показано выше, больше не является решением уравнения поля, поэтому я не могу выразить Е → и Б → уже нет, просто использую а ^ и а ^ † ? Как я могу еще мотивировать

ЧАС ^ "=" ∑ к → , λ → а ^ к → , λ † а ^ к → , λ ю к → ℏ
быть правильным гамильтонианом?

EDIT: мне ясно, что в случае взаимодействия будет дополнительный термин взаимодействия, например, что-то вроде Икс → ^ Е → ^ е ℏ . Я чист от этого факта. Однако я хочу знать, всегда ли можно увеличить количество, например Е → ^ с точки зрения операторов создания и уничтожения. Например: полный гамильтониан для электрона, взаимодействующего с ЭМ-полем, будет (в предположении дипольного приближения):

п → ^ 1 2 м + В ( Икс → ^ ) + Икс → ^ Е → ^ ( Икс → А т о м ) е ℏ + ∫ д 3 Икс ϵ 0 2 ( Е → ^ 2 + с 2 Б → ^ 2 )

Я хочу знать, можно ли это вообще выразить с помощью операторов создания и уничтожения вместо Е → ^ и Б → ^ , например, как:

п → ^ 1 2 м + В ( Икс → ^ ) + Икс → ^ Е → ^ ( Икс → А т о м ) е ℏ + ∑ к → , λ → а ^ к → , λ † а ^ к → , λ ю к → ℏ

К вашему сведению: я отредактировал свой ответ, включив в него обсуждение вашего отредактированного вопроса. Я не уверен, что ты это видел.

Ответы (2)

В пространстве Фока каждый оператор может быть выражен через операторы рождения и уничтожения, хотя обычно появляются неквадратичные члены. Это предмет вторичного квантования, и его можно сделать математически строгим.

Однако в теории взаимодействия основное гильбертово пространство не является пространством Фока (теорема Хаага: картина взаимодействия не существует), поэтому описание в терминах операторов рождения и уничтожения (которые действуют только на пространствах Фока) больше не имеет смысла. . Попытка сделать это приводит к известным бесконечностям. Перенормировка разрушает пространство Фока, а вместе с ним и выражение гамильтониана и других образующих группы Пуанкаре через операторы рождения и уничтожения.

Примечание. Всегда можно построить картину взаимодействия в квантовой механике с конечным числом классических степеней свободы. Но в релятивистской квантовой теории поля соответствующее потенциальное унитарное преобразование не существует, потому что оно сильно расходится, когда снимается обрезание регуляризованной версии, и, в отличие от элементов S-матрицы, перенормировка не спасает ситуацию. Это называется теоремой Хаага . Комплексное современное лечение дано в докторской диссертации Лутца Клачинского (2016) . См. также [это обсуждение PhysicsOverflow] ( https://www.physicsoverflow.org/22400 ).

Почему не существует изображения взаимодействия? Я могу записать унитарное преобразование, которое преобразует операторы изображения Шредингера в операторы изображения взаимодействия.
@Quantumwhisp: я добавил объяснение.
связанные обсуждения на этом форуме: physics.stackexchange.com/questions/3983/… , physics.stackexchange.com/questions/69281/… ,
Означает ли это, что наличие отсечки спасает положение?
@Quantumwhisp: Да, с отсечкой картина взаимодействия существует. Но вместо этого теряется симметрия Пуанкаре! Таким образом, теория без отсечки не является лоренц-инвариантной. Чтобы получить это (что является основой всей теории), нужно снять отсечку.

ОП спрашивает, является ли выражение формы

ЧАС "=" ∑ к → , λ → а к → , λ † а к → , λ ю к →
выполняется во взаимодействующей КТП. Ответ, в общем,

Нет.

Во-первых, такой гамильтониан, вообще говоря, не будет независимым от времени, поскольку

д д т а к → , λ ( т ) ≠ 0

Например, для поля Клейна-Гордона

д д т а к → ( т ) ∼ ∫ д Икс   ( ∂ 2 + м 2 ) ф
а для поля Дирака
д д т а к → , λ ( т ) ∼ ∫ д Икс   ( ⧸ ∂ + я м ) ψ
ни одна из них не исчезает во взаимодействующих теориях. Эти формулы очень важны в теории рассеяния и их можно найти, например, в книге Средненицкого по КТП (§§ 5, 41).

Это доказывает, что взаимодействующий гамильтониан, вообще говоря, не может быть выражен как квадратичная функция операторов рождения и уничтожения. Первые не зависят от времени, а вторые — нет.

Следует, однако, упомянуть, что если рассматривать все объекты как взаимодействующие операторы изображения (а не как Гейзенберга), то расширение ЧАС в терминах операторов рождения/уничтожения действителен, но имеет члены более высокого порядка в этих объектах (поскольку несвободные теории включают явления рождения и уничтожения, когда несколько частиц рассеиваются в другие частицы). Это разложение справедливо фактически для любого оператора в любой теории. Доказательство этого утверждения можно найти в книге Вайнберга по КТП, §4.2.

На пути к редактированию

ОП спрашивает, всегда ли можно расширить какое-либо поле с точки зрения операторов создания и уничтожения. Если поле свободное или взаимодействующее поле на картинке взаимодействия, ответ, очевидно, да . Если поле взаимодействует и на картинке Гейзенберга, ответ по-прежнему да , как я обсуждаю в этом посте PSE . Но есть очень важное отличие: в последнем случае эти операторы рождения и уничтожения не будутбыть независимыми от времени, и в этом случае их интерпретация как операторов, создающих и уничтожающих частицы, теряет смысл — такая интерпретация больше невозможна/непротиворечива. С этим согласуется тот факт, что во взаимодействующих теориях нет четкого представления о частицах, если только мы не рассматриваем асимптотические (то есть свободные) поля.

В любом случае, очень важно отметить, что выражение в OP

п → 2 2 м + В ( Икс → ) + Икс → ⋅ Е → ( Икс → ) е + 1 2 ∫ ( Е → 2 + Б → 2 ) д 3 Икс →
является эффективным низкоэнергетическим приближением к КЭД, которое справедливо только в нерелятивистском режиме. Таким образом, он не рассматривает возможность наличия динамических фотонов — нет обратной реакции атома на фотоны. Первые чувствуют влияние вторых, но не наоборот: фотоны не замечают присутствия электрона и поэтому практически свободны (поскольку калибровочное поле для КЭД неабелево). В этом смысле расширение Е → , Б → с точки зрения операторов создания и уничтожения вполне оправдано : эти операторы свободны для всех практических целей.

Означает ли это, что любая попытка выразить, например, векторный потенциал в терминах операторов рождения и уничтожения является приближением?
@Quantumwhisp на картинке Гейзенберга, да. В интерактивной картине операторы свободны, поэтому в этом случае их можно выразить через а , а † . В этом случае свободная часть гамильтониана ЧАС 0 можно записать как в ОП, но это верно только для ЧАС 0 , а не полный гамильтониан ЧАС "=" ЧАС 0 + В .
Думаю, я получил эту часть. Потому что в картине взаимодействия эволюция Операторов во времени такая же, как и в картине Гейзенберга свободной теории. НО: Если я нахожусь в картине взаимодействия и выражаю свои поля операторами создания и уничтожения, не могу ли я преобразовать все, например, в картину шредингера, и все еще иметь выражение, содержащее «шредингеровскую версию» создания и операторы уничтожения?
@Quantumwhisp да, и ЧАС 0 часть гамильтониана будет квадратичной. Но полный гамильтониан ЧАС будут содержать члены кубической и четвертой степени (и, возможно, более высокие) вида а † а † а а , ответственный за 2 → 2 рассеяние. Полный гамильтониан не будет квадратичным, как вы пишете в ОП.
можно ли получить разложение на «операторы создания и уничтожения», как вы описываете их в связанном вопросе, путем преобразования их из картины взаимодействия в картину Гейзенберга? (думаю да, я просто хочу проверить правильно ли я понял).
@Quantumwhisp На изображении взаимодействия у вас есть ф я ∼ а я е я к Икс + час . с . . На картинке Гейзенберга у вас есть ф ЧАС "=" U ( т ) ф я U † ( т ) ∼ а ЧАС ( т ) е я к Икс + час . с . . Поэтому, а ЧАС ( т ) "=" U ( т ) а я U † ( т ) . Ты это имеешь ввиду?
да, это то, что я имею в виду
Всегда ли мы можем выразить гамильтониан ЭМ-поля как (возможно, зависящую от времени) пару операторов уничтожения и рождения?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v