Калуца-Кляйн в теории суперструн

Вы говорите о двух способах построения непротиворечивой 10-мерной гетеротической теории струн . Оригинальная статья Гросса, Харви, Мартинека и Рема «Теория гетеротических струн: I. Свободная гетеротическая струна» довольно доступна и подробно описывает конструкцию. Я отвечу на ваш конкретный вопрос о том, как компактификация на торе позволяет генерировать такие «большие» группы, как$\mathrm{SO}(32)$и$E_8\times E_8$не сообщая подробностей.

Вы правы в том, что обычно мы ожидаем только стиль Калуцы-Кляйна.$\mathrm{U}(1)^{16}$из компактификации на 16-мерном торе. Однако эта калибровочная группа в качестве калибровочной группы для теории 10d SUGRA запрещена, поскольку гравитационные и калибровочные аномалии не сокращаются, поэтому эта конструкция не только не дает известной гетеротической струны, но и не дает непротиворечивой эффективной теории при все!

Важным моментом является «выбор правильного тора», то есть отношения радиусов 16 окружностей должны быть специально выбраны, чтобы получить непротиворечивую теорию. Обычный способ кодирования этого выбора состоит в том, чтобы думать о$T^{16}$как$\mathbb{R}^{16}/\Gamma$, где$\Gamma$— дискретная шестнадцатимерная решетка. Теперь рассмотрим на этом фоне бозонную часть спектра замкнутой гетеротической струны. Оказывается, что возбуждения, соответствующие струне, «наматываемой» на компактифицированные измерения, становятся безмассовыми при специальном выборе$\Gamma$. Эти возбуждения вместе с обычными безмассовыми модами Калуцы-Клейна теперь вместе преобразуются как сопряженные к большей калибровочной группе$G$тесно связан с решеткой$\Gamma$, которая оказывается корневой решеткой$G$. Теперь размеры геометрии и групп совпадают таким образом, что размерность решетки/тора соответствует рангу ( а не размерности) группы, поэтому у 16-мерного тора нет проблем с созданием 496-мерного тора.$E_8\times E_8$.

Дальнейшие соображения, касающиеся непротиворечивости теории взаимодействующих струн, сильно ограничивают решетку.$\Gamma$быть целостным, самодвойственным и четным. В 16 измерениях существуют только две такие решетки, связанные с$E_8\times E_8$и$\mathrm{SO}(32)$. В качестве интересного примечания: недавно (2010 г.) Адамс, де Вульф и Тейлор в «Универсальности струн в десяти измерениях» показали, что два других выбора калибровочных групп, в частности$\mathrm{U}(1)^{496}$, не обладают согласованным механизмом Грина-Шварца и являются аномальными, поэтому эти две группы действительно являются единственными допустимыми калибровочными группами для 10D SUGRA.$\mathcal{N}=1$Калибровочная теория.

Я думаю, вы думаете о тороидальной компактификации. Для бозонной струны рассмотрим$O(26-d,10-d, \mathbb R)$для множества преобразований, компактифицирующих$10$объемная супергравитация. Это для$26-d$вершинные операторы$\partial X^\mu\psi^i$и$10-d$вершинные операторы$\partial X^i\psi^\mu$. Предполагается, что решетка корней задана некоторой дискретной группой$\Gamma$и для$g~\in~O(26-d,10-d)$мы можем построить гетеротическую теорию струн. Для пространства модулей

$${\cal M}~=~\frac{O(26-d,10-d,\mathbb r)}{O(26-d,\mathbb R)\times O(10-d,\mathbb R)\times O(26-d,10-d,\mathbb Z)}$$ $$=~\frac{g}{g_1\times g_2\times O(26-d,10-d,\mathbb Z)},$$ где $O(26-d,10-d,\mathbb Z)$является группой T-двойственности модулярной или группы Мёбиуса дробно-линейных преобразований. Это решение удовлетворяет $g_1gg_2\Gamma~\simeq~g\Gamma$. Тогда у нас есть $10-d$бозоны Калуцы-Клейна и $26-d$

Для$d~=~5$это компактификация$26$размерная бозонная струна и для$d-2$это закончилось$SO(32)$string при ограничении специальной ортогональной группой. Затем это дает

$$SO(32)\times U(1)^{36-2d}~\simeq~E_8\times E_8\times U(1)^{36-2d}.$$ Тор это $36-2d$размерный, который для $d~=~10$это $\mathbb T^{16}$