Как применить оператор импульса к волновой функции?

Question

Как применить оператор импульса к волновой функции?

Кашмири

Википедия говорит

оператор импульса может быть записан в позиционном базисе как: ${ }^{[2]}$
$\hat{п} \mapsto - я ℏ \nabla$ $\hat{\mathbf{p}}\mapsto -i \hbar \nabla$ где $\nabla$ оператор градиента, $\hbar$ - приведенная постоянная Планка, а $i$ является мнимой единицей.

Означает ли это, что

- я ℏ \nabla ψ "=" - я ℏ (\hat{я} \frac{\partial}{\partial Икс} ψ + \hat{ȷ} \frac{\partial}{\partial у} ψ + \hat{к} \frac{\partial}{\partial г} ψ) ?

$-i \hbar \nabla \psi=-i \hbar\left(\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\hat{\jmath} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\hat{k} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)~?$

Я не уверен, что это правильно, потому что я нашел выражение в своей книге $\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ . Поскольку оператор, действующий на множество, дает множество, следовательно, левая часть является скобкой $\langle r$ и $\hat{p}|\psi\rangle$ следовательно, скаляр, но rhs в соответствии с определением Википедии будет тогда вектором.

Кто-нибудь может мне помочь, пожалуйста!

Мирэ

Правильно, так мы делаем это в декартовых координатах. Вы сможете легко сделать это отсюда, если вы знакомы с операторами градиента.

K7PEH

Если вы читаете статью об операторе импульса в Википедии, то ответ на ваш вопрос находится в этой статье. Вы не читали всю статью?

Кашмири

@Mirae Я нашел это выражение в своей книге

⟨ r | \hat{p} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Левая — это скаляр, потому что это скобка, а правая — вектор.

Космас Захос

@Kashmiri lhs - это скаляр в гильбертовом пространстве, но вектор группы вращения (вспоминая выделенный жирным шрифтом импульс), как и правая! Вы смущены этим ?

Кашмири

@CosmasZachos, да, я сделал qm в одном измерении, теперь я начал изучать это в 3D. Я узнал, что оператор, действующий на кет, дает кет, поэтому в соответствии с этим левая часть будет скобкой

⟨ r

$\langle r$ и

\hat{p} | ψ ⟩

$\hat{p}|\psi\rangle$ следовательно, скаляр. Однако rhs является вектором, поскольку в нем есть оператор градиента.

Космас Захос

Как я уже сказал, есть два типа векторов : состояния и вращения!

Тобиас Фюнке

Возможно, связано

Ответы (2)

Как применить оператор импульса к волновой функции?

Правильно, так мы делаем это в декартовых координатах. Вы сможете легко сделать это отсюда, если вы знакомы с операторами градиента.
Если вы читаете статью об операторе импульса в Википедии, то ответ на ваш вопрос находится в этой статье. Вы не читали всю статью?
@Mirae Я нашел это выражение в своей книге $\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Левая — это скаляр, потому что это скобка, а правая — вектор.
@Kashmiri lhs - это скаляр в гильбертовом пространстве, но вектор группы вращения (вспоминая выделенный жирным шрифтом импульс), как и правая! Вы смущены этим ?
@CosmasZachos, да, я сделал qm в одном измерении, теперь я начал изучать это в 3D. Я узнал, что оператор, действующий на кет, дает кет, поэтому в соответствии с этим левая часть будет скобкой $\langle r$ и $\hat{p}|\psi\rangle$ следовательно, скаляр. Однако rhs является вектором, поскольку в нем есть оператор градиента.
Как я уже сказал, есть два типа векторов : состояния и вращения!

Космас Захос · Answer 1

Космас Захос

Я обращаюсь к сути вашего недоумения, на мой взгляд. Твой "?" выражение нормальное.

Я нашел это выражение в своей книге ⟨𝐫|𝐩̂|𝜓⟩=-ℏ𝑖∇⟨𝐫∣𝜓⟩. lhs — это скаляр, потому что это бюстгальтер | ket и rhs — это вектор.

Вектор в этом контексте означает две разные вещи: кет - это вектор гильбертова пространства, возможно, бесконечномерный, преобразующийся под действием операторов $\hat O$ , а его скалярное произведение с бюстгальтером дает скаляр гильбертова пространства.

Однако, в отличие от этого, вектор вращения представляет собой триплет, преобразующийся под действием группы 3d вращения, матрицу вращения 3 × 3. Скаляр вращения не меняется при таком вращении.

Итак, тогда, $\langle {\mathbf r}| \hat x |\psi\rangle = x \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ является HS-скаляром; и так $\langle {\mathbf r}| \hat y |\psi\rangle = y \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ и $\langle {\mathbf r}| \hat z |\psi\rangle = z \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ . Триплет этих трех скаляров HS составляет вектор вращения,

⟨ р | \hat{р} | ψ ⟩ "=" р ⟨ р | ψ ⟩,

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf r} |\psi\rangle = {\mathbf r} \langle {\mathbf r}|\psi\rangle,$ просто потому, что эти три скаляра HS вращаются друг в друге при вращении в трехмерном пространстве, как компоненты классического вектора. Таким образом, обе стороны являются скалярами HS и векторами вращения.

Теперь вы можете повторить это с тремя декартовыми компонентами оператора импульса: $\langle {\mathbf r}| \hat p_x |\psi\rangle = -i\hbar \partial_x \langle {\mathbf r}|\psi\rangle$ , и т. д., которые снова складываются в 3-векторное выражение, которое вы видели в книге Таунсенда, ⟨𝐫|𝐩̂|𝜓⟩=-ℏ𝑖∇⟨𝐫∣𝜓⟩, снова тройка скаляров HS, преобразующаяся как вектор при трехмерном вращении. Векторы ГС, вошедшие в эти скаляры, здесь бесконечномерны, что видно из того, что на них действуют непрерывные градиенты.

⟨ р | \hat{п} | ψ ⟩ \equiv ⟨ р | (\begin{matrix} {\hat{п}}_{Икс} \\ {\hat{п}}_{у} \\ {\hat{п}}_{г} \end{matrix}) | ψ ⟩ "=" - я ℏ (\begin{matrix} \partial_{Икс} \\ \partial_{у} \\ \partial_{г} \end{matrix}) ψ (р) \equiv - я ℏ \nabla ψ (р) .

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf p}|\psi\rangle \equiv \langle {\mathbf r}|\begin{pmatrix} \hat p_x \\ \hat p_y \\ \hat p_z \end{pmatrix} |\psi\rangle= -i\hbar \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} \psi ({\mathbf r})\equiv -i\hbar \nabla \psi ({\mathbf r}).$

NB Правильное выражение для оператора импульса в координатном представлении на самом деле

\hat{п} "=" - я ℏ \int д^{3} р | р ⟩ \nabla ⟨ р |,

$\hat {\mathbf p}= -i\hbar \int\!\! d^3 {\mathbf r} ~ |{\mathbf r}\rangle \nabla \langle {\mathbf r}|,$ оператор гильбертова пространства и вектор вращения, поскольку он выделен жирным шрифтом . Бессмысленное выражение в вашем комментарии не соответствует правильному выражению Таунсенда!

Кашмири

Используя формализм тензорного произведения, в котором

\hat{P} | ψ ⟩ = ({\hat{P}}_{x} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{P}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$ я нашел

⟨ р | \hat{п} | ψ ⟩ "=" (\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс} ψ + \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial у} ψ + \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial г} ψ) .

$\langle r|\hat{P}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right).$ . В нем нет пространственных единичных векторов. Но в квантовой механике Таунсенда он говорит, что

⟨ р | \hat{п} | ψ ⟩ "=" \frac{ℏ}{я} \nabla ⟨ р ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Это имеет пространственный единичный вектор

Космас Захос

То, что вы нашли, очень неправильно. Вы никогда не должны добавлять три компонента пространственноподобного вектора к левой стороне. Вы должны расположить их в векторе вращения, указанном Таунсендом. Это жирный шрифт. Вы понимаете, что это значит?

Кашмири

Но

⟨ р | \hat{п} | ψ ⟩ "=" (\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс} ψ + \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial у} ψ + \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial г} ψ)

$\langle r|\hat{P}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)$ следует из

\hat{п} | ψ ⟩ "=" ({\hat{п}}_{Икс} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{P}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$

Космас Захос

Ваш несмелый

\hat{P}

$\hat P$ бессмысленная ерунда, как я объяснил. Я объяснил, что вам нужен полужирный вектор вращения

\hat{p}

$\hat {\mathbf p}$ , вместо. Перестаньте использовать бессмысленные символы. Таунсенд этого не сделал, и я этого не сделал, и вам не следует.

Космас Захос

Твое выделенное жирным шрифтом 𝑃̂ — это бессмысленная неразборчивая чепуха, как я объяснил. Я объяснил, что вместо этого вам нужен полужирный вектор вращения 𝐩̂ HS. Я обновил свой ответ, чтобы решить вашу проблему.

Кашмири

Спасибо. Я понимаю, почему у нас есть векторное выражение вращения, но у меня все еще есть сомнения. Пожалуйста, помогите мне.

Кашмири

В формализме тензорного произведения мы

\hat{п} | ψ ⟩ "=" ({\hat{п}}_{Икс} \otimes 1 \otimes 1) | ψ ⟩ + \dots

$\hat{\mathbf p}|\psi\rangle=\left(\hat{P}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right)|\psi\rangle+\ldots$ Если этот шаг правильный, то следует, что

⟨ р | \hat{п} | ψ ⟩ "=" (\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс} ψ + \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial у} ψ + \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial г} ψ)

$\langle {\mathbf r}|\hat{\mathbf p}| \psi\rangle=\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \psi+\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z} \psi\right)$ что вы сказали неправильно. Что пошло не так в этом выводе?

Космас Захос

Ваша отправная точка неверна: это не сумма трех членов, а вектор с их компонентами; тот, который я написал.

Кашмири

Так я могу написать

\begin{aligned} \hat{п} & "=" {\hat{е}}_{Икс} ({\hat{п}}_{Икс} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{е}}_{у} (1 \otimes {\hat{п}}_{у} \otimes 1) \\ + {\hat{е}}_{г} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{п}}_{г}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} &=\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) \end{aligned}$

Космас Захос

Да, в принципе. Но имейте в виду, что первые знаки вставки означают единичный вектор вращения, а вторые — оператор HS, как вас предупреждали другие. Я понимаю, что вы имеете в виду, но большинство читателей съеживаются!

Кашмири

Если

\begin{aligned} \hat{п} & "=" {\hat{е}}_{Икс} ({\hat{п}}_{Икс} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{е}}_{у} (1 \otimes {\hat{п}}_{у} \otimes 1) \\ + {\hat{е}}_{г} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{п}}_{г}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} &=\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) \end{aligned}$ тогда что такое

{\hat{п}}^{2} | ψ ⟩

$\hat{\mathbf p}^2|\psi\rangle$ ?

Космас Захос

Что ж, квадрат выделенного жирным шрифтом вектора является скалярным оператором вращения, поэтому

⟨ r | {\hat{p}}^{2} | ψ ⟩ = - ℏ^{2} \nabla^{2} ψ (r)

$\langle {\mathbf r}| \hat {\mathbf p}^2 |\psi\rangle = -\hbar^2 \nabla^2 \psi({\mathbf r})$ . Векторы единиц позиции исчезают.

Кашмири

Так правильно ли писать

\begin{aligned} \hat{p} . \hat{p} & = [{\hat{e}}_{x} ({\hat{p}}_{x} \otimes 1 \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{y} (1 \otimes {\hat{p}}_{y} \otimes 1) \\ + {\hat{e}}_{z} (1 \otimes 1 \otimes {\hat{p}}_{z})]^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} \hat{\mathbf p} .\hat{\mathbf p}&=[\hat{e}_{x}\left(\hat{p}_{x} \otimes \mathbb{1} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{y}\left(\mathbb{1} \otimes \hat{p}_{y} \otimes \mathbb{1}\right) \\ &+\hat{e}_{z}\left(\mathbb{1} \otimes \mathbb{1} \otimes \hat{p}_{z}\right) ]^2\end{aligned}$

= ({\hat{p}}_{x}^{2} \otimes 1 \otimes 1) + ({\hat{p}}_{y}^{2} \otimes 1 \otimes 1) + ({\hat{p}}_{z}^{2} \otimes 1 \otimes 1)

$=(\hat{p}_{x}^2 \otimes 1 \otimes 1)+(\hat{p}_{y}^2 \otimes 1 \otimes 1)+(\hat{p}_{z}^2\otimes 1\otimes 1)$

Космас Захос

Да, это. С точки зрения вращения это скаляр. С точки зрения HS это оператор.

Кашмири

Большое спасибо, профессор. :)

my2cts · Answer 2

my2cts

Это верно. Однако ваше обозначение не соответствует. Нет смысла надевать «шапку» сверху $\bf p$ и $\hat P$ также может быть заменен на $\bf p$ .

Гарип

Я могу ошибаться, но похоже, что ОП использует карат для обозначения абстрактного оператора.

my2cts

@garyp Он также использует его для обозначения единичного вектора. Мне также нужно было использовать не менее 30 символов.

Кашмири

Я нашел это выражение в своей книге

⟨ r | \hat{p} | ψ ⟩ = \frac{ℏ}{i} \nabla ⟨ r ∣ ψ ⟩

$\langle\mathbf{r}|\hat{\mathbf{p}}| \psi\rangle=\frac{\hbar}{i} \nabla\langle\mathbf{r} \mid \psi\rangle$ Левая — это скаляр, потому что это скобка, а правая — вектор.

Гарип

LHS выглядит, так сказать, как "вектор скаляров". Я думаю, мы все можем согласиться с тем, что обозначение не является стандартным. Мне интересно: что за книга?

Кашмири

@garyp, квантовая механика Таунсенда