Ожидаемый импульс электрона в основном состоянии в HH\rm атоме H

я хочу рассчитать ⟨ п Икс ⟩ и ⟨ п Икс 2 ⟩ для электрона в основном состоянии в ЧАС атом.

Радиальная функция

ψ ( р ) "=" А е − р / а
Оператор импульса в 3D:
п → ^ "=" ℏ я ( ∂ ∂ Икс , ∂ ∂ у , ∂ ∂ г ) "=" ℏ я ∇
Оператор импульса 1D:
п ^ Икс "=" ℏ я г г Икс ⟨ п Икс ⟩ "=" ∫ В ψ * ( р ) * п ^ Икс * ψ ( р ) г В
Интуитивно, ⟨ п Икс ⟩ "=" 0 но как мне его рассчитать? Должен ли я изменить оператор на выраженный в сферических координатах или что-то еще? И для ⟨ п Икс 2 ⟩ Я бы просто возвел оператор импульса в квадрат и использовал его вместо этого.

Интеграл на самом деле не так сложно вычислить в декартовых координатах, с чем именно вы столкнулись?
Трудность, с которой я сталкиваюсь, заключается в том, что мой оператор находится в координатах xyz, но моя функция радиально зависит от (r). Итак, как я могу вычислить это. Или я могу просто использовать r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2), подставив его в радиальную функцию, построить интеграл и вычислить его?
Используйте цепное правило, чтобы взять производную от psi (r (x)), что проще, чем подстановка р . Вам понадобится цепное правило для функций более чем одной переменной.
Ой мои плохие о ∇, конечно, это не так. Но не могли бы вы, @EmilioPisanty, помочь мне с проблемой? Я все еще теряюсь в нем.

Ответы (1)

Для сферически-симметричного состояния:

  • ⟨ п Икс ⟩ "=" 0 по четной симметрии. Это можно доказать строго, заменив переменные р → ↦ − р → и показ ожидаемого значения должен как изменить знак, так и остаться неизменным.
  • Все три компонента в квадрате, ⟨ п Икс 2 ⟩ , ⟨ п у 2 ⟩ и ⟨ п г 2 ⟩ , должны быть равны, поэтому ⟨ п Икс 2 ⟩ "=" 1 3 ⟨ п 2 ⟩ . Последнее можно вычислить напрямую, используя выражение для лапласиана в сферических координатах.

Остальную работу делать вам.

Ожидаемый импульс электрона в основном состоянии в HH\rm атоме H
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v