Доказательство того, что оператор импульса, действующий на волновую функцию, дает среднее значение

Question

Доказательство того, что оператор импульса, действующий на волновую функцию, дает среднее значение

Хайме_mc2

Я слежу за книгой, в которой автор пытается доказать, что

\begin{matrix} (0) & ⟨ п ⟩ "=" ⟨ ψ | \hat{п} | ψ ⟩, \end{matrix}

$\langle p \rangle = \langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle,\tag{0}$ поэтому он просто вычисляет интеграл

\begin{matrix} (1) & ⟨ ψ | \hat{п} | ψ ⟩ "=" \int_{р} ψ^{*} (Икс) (- я ℏ \frac{г}{г Икс}) ψ (Икс) г Икс \end{matrix}

$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \psi^*(x) \left( -i\hbar \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right) \psi(x) \, \mathrm{d}x \tag{1}$

и начинает с того, что

\begin{matrix} (2) & - я ℏ \frac{г ψ (Икс)}{г Икс} "=" - я ℏ \frac{г}{г Икс} \int_{р} \tilde{ψ} (п) е^{я п Икс / ℏ} г п "=" \int_{р} п \tilde{ψ} (п) е^{я п Икс / ℏ} г п \end{matrix}

$-i\hbar\dfrac{\mathrm{d}\psi(x)}{\mathrm{d}x} ~=~ -i\hbar\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{\mathbb{R}} \tilde{\psi}(p) e^{ipx/\hbar} \, \mathrm{d}p ~=~ \int_{\mathbb{R}} p \, \tilde{\psi}(p) \, e^{ipx/\hbar} \, \mathrm{d}p \tag{2}$

что нормально, потому что мы можем разложить волновую функцию в пространстве положений как сумму волновых функций в импульсном пространстве, используя преобразование Фурье на $\psi(x) .$

Используя этот результат, мы имеем, что

\begin{matrix} (3) & ⟨ ψ | \hat{п} | ψ ⟩ "=" \int_{р} (\int_{р} {\tilde{ψ}}^{*} (п^{'}) е^{я п^{'} Икс / ℏ} г п^{'}) (\int_{р} п \tilde{ψ} (п) е^{я п Икс / ℏ} г п) г Икс \end{matrix}

$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle ~=~ \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} \tilde{\psi}^*(p') \, e^{ip'x/\hbar} \mathrm{d}p' \right) \left( \int_{\mathbb{R}} p \, \tilde{\psi}(p) \, e^{ipx/\hbar} \mathrm{d}p \right) \mathrm{d}x \tag{3}$

Однако я не понимаю, почему следующие два шага математически правильны и как он перемещает знаки интегрирования:

\begin{aligned} (4) & ⟨ ψ | \hat{п} | ψ ⟩ & "=" \int_{р} \int_{р} п {\tilde{ψ}}^{*} (п^{'}) \tilde{ψ} (п) (\int_{р} е^{я (п - п^{'}) Икс / ℏ} г Икс) г п^{'} г п \\ (5) & "=" \int_{р} \int_{р} дельта (п - п^{'}) п {\tilde{ψ}}^{*} (п^{'}) \tilde{ψ} (п) г п г п^{'} \\ (6) & "=" \int_{р} п | \tilde{ψ} (п) |^{2} г п \\ (7) & "=" ⟨ п ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi \rangle &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} p\, \tilde{\psi}^*(p')\, \tilde{\psi}(p) \left( \int_{\mathbb{R}} e^{i(p-p')x/\hbar} dx\right) \, \mathrm{d}p' \, \mathrm{d}p \tag{4} \\[5px] &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} \delta(p-p') \,p\, \tilde{\psi}^*(p')\, \tilde{\psi}(p) \, \mathrm{d}p \, \mathrm{d}p' \tag{5} \\[5px] &= \int_{\mathbb{R}} p \vert \tilde{\psi}(p) \vert^2 \, \mathrm{d}p \tag{6} \\[5px] &= \langle p \rangle \tag{7} \end{align}$

уравнение (7) очевидно следует из уравнения (6), потому что математическое ожидание случайной величины равно интегралу от этой переменной, умноженному на распределение плотности вероятности, а это именно то, что $\vert\tilde{\psi}(p)\vert^2$ является. Но как он попадает в уравнение? (6)?

Вопрос: Как получить уравнения (5) и (6), исходя из уравнения (4)?

Любопытный Разум

Я не понимаю этого вопроса -

⟨ p ⟩

$\langle p\rangle$ и

⟨ ψ | \hat{p} | ψ ⟩

$\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi\rangle$ для меня просто два обозначения для одного и того же. Что именно вы хотите здесь доказать?

Qмеханик

Какой учебник?

Дэвид З.

@ACuriousMind Я подозреваю, что Jamie_mc2 использует

⟨ p ⟩

$\langle p\rangle$ означает значение статистического ожидания, т.е.

⟨ X ⟩ = E [X] = \int X P (X) d X

$\langle X\rangle = E[X] = \int X P(X) \mathrm{d}X$ , что априори не то же самое, что матричный элемент оператора типа

⟨ ψ | \hat{p} | ψ ⟩

$\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle$ .

Хайме_mc2

Да, @DavidZ именно это я и имел в виду. Спасибо

Ответы (1)

Доказательство того, что оператор импульса, действующий на волновую функцию, дает среднее значение

Я не понимаю этого вопроса - $\langle p\rangle$ и $\langle \psi \vert \hat{p} \vert \psi\rangle$ для меня просто два обозначения для одного и того же. Что именно вы хотите здесь доказать?
@ACuriousMind Я подозреваю, что Jamie_mc2 использует $\langle p\rangle$ означает значение статистического ожидания, т.е. $\langle X\rangle = E[X] = \int X P(X) \mathrm{d}X$ , что априори не то же самое, что матричный элемент оператора типа $\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle$ .
Да, @DavidZ именно это я и имел в виду. Спасибо

Любопытный Разум · Answer 1

Из уравнения (4) к ур. (5): Преобразование Фурье $1$ это $\delta$ функция, т.е. $\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}px}\mathrm{d}p = \delta(x)$ , ср. например википедия .

Из уравнения (5) к ур. (6): Это просто характерное свойство $\delta$ -функция, т.е. $\int f(x) \delta(x - y) \mathrm{x} = f(y)$ .

Есть $2\pi$ везде отсутствует: $\int e^{ipx}dp = 2\pi \delta(x)$

Доказательство того, что оператор импульса, действующий на волновую функцию, дает среднее значение

Хайме_mc2

Любопытный Разум

Qмеханик

Дэвид З.

Хайме_mc2

Ответы (1)

Любопытный Разум

Майк Стоун

Комплексно-сопряженный оператор импульса

Когда ожидаемое значение импульса равно 000?

Как оператор импульса действует на кеты состояний?

Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

Квантовая теория поля для одаренного любителя: задача 2.4

Обозначение и производная Bra Ket [дубликат]

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

Ожидание импульса в связанном состоянии

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?