Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

Question

Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

нугако

Это очень простой вопрос, где отношение

\hat{п} ψ (Икс) "=" - я ℏ \partial_{Икс} ψ (Икс)

$\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi(x)$ для любой интегрируемой с квадратом

ψ (x)

$\psi(x)$ возникать? В некоторых текстах, которые я нашел, говорится, что указанное выше отношение является следствием того, что импульс определяется как генератор перевода. Но что лежит в основе этого определения? Если бы импульс был определен как генератор другой формы симметрии, то он не имел бы такой формы, как сейчас.

В другом тексте наоборот. А именно, действие импульса на волновую функцию определяется как

\hat{п} ψ (Икс) "=" - я ℏ \partial_{Икс} ψ (Икс)

$\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi(x)$ и отсюда это приводит к тому, что импульс является генератором перевода.

Какой из них правильный? Как исторически сложилось такое действие импульса на волновую функцию?

Qмеханик

Подробнее об операторе импульса в QM .

нугако

В некоторых ответах упоминался коммутатор между x и p. Но, как поясняет Кнчжоу ниже, этот коммутатор также фактически постулировался из ниоткуда. У меня есть оговорки для этого, я хотел бы знать, почему они постулировали этот коммутатор.

угрюмый

@nougako Я думаю, что из ниоткуда это немного резко. Я полагаю, что Шрёдингер изначально был мотивирован сформировать свое волновое уравнение на основе идей де Бройля о корпускулярных волнах, поэтому он рассматривал плоские волны и постулировал, что эти идеи обобщают. Гейзенберг, с другой стороны, думал о матрицах, я думаю, потому что некоторые уравнения, с которыми он работал, выглядели как умножение матриц. Если у вас есть матрицы и вы хотите проверить, коммутируют ли они, вы смотрите на коммутаторы и

i ℏ

$i\hbar$ был последовательным для

x

$x$ и

p

$p$ . -Добавить источники

Ответы (5)

Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

Подробнее об операторе импульса в QM .
В некоторых ответах упоминался коммутатор между x и p. Но, как поясняет Кнчжоу ниже, этот коммутатор также фактически постулировался из ниоткуда. У меня есть оговорки для этого, я хотел бы знать, почему они постулировали этот коммутатор.
@nougako Я думаю, что из ниоткуда это немного резко. Я полагаю, что Шрёдингер изначально был мотивирован сформировать свое волновое уравнение на основе идей де Бройля о корпускулярных волнах, поэтому он рассматривал плоские волны и постулировал, что эти идеи обобщают. Гейзенберг, с другой стороны, думал о матрицах, я думаю, потому что некоторые уравнения, с которыми он работал, выглядели как умножение матриц. Если у вас есть матрицы и вы хотите проверить, коммутируют ли они, вы смотрите на коммутаторы и $i\hbar$ был последовательным для $x$ и $p$ . -Добавить источники

Кнчжоу · Answer 1

Кнчжоу

Исторически вы, вероятно, захотите начать с соотношений де Бройля (т.е. $p = \hbar k$ ), которые являются просто дикой догадкой. Это сразу выскакивает форма $p$ как оператор, если волновая функция является плоской волной.

Математически, $p$ следует определить как генератор трансляций (или, что то же самое, сохраняющуюся величину, соответствующую трансляционной инвариантности), из которой мы получаем его действие на волновые функции как $-i\hbar \partial_x$ . Вы можете сделать это по-другому (что логистически проще для некоторых учебников), но это неудобно.

Физически это не имеет значения. Вы спросите: «Что, если определить импульс как генератор какой-то другой симметрии?», но это упускает суть, потому что тогда он представлял бы другую физическую величину. Единственная важная вещь заключается в том, что импульс — это количество «усилия», которое имеет частица, когда она сталкивается с чем-то, и вы можете получить это из любого из трех вышеперечисленных вариантов.

Кнчжоу

(Я думаю, подобное заблуждение стоит за вашим вопросом об «историческом развитии». Вы можете подумать, что это похоже на математику, где люди накапливают леммы и в конечном итоге доказывают большую теорему. Это наоборот: КМ исторически не развивалась. Шредингер постулировал свое уравнение из ниоткуда.Развитие было залито потом.)

нугако

Я до сих пор не понимаю, как мне связать ваше первое объяснение гипотезы де Бройля с остальными вашими объяснениями. Что касается моего собственного взгляда на ваш ответ, кажется, что первого абзаца достаточно, чтобы объяснить историю. Я полагаю, что гипотеза де Бройля была впервые проверена и оказалась успешной. Это означает, что оператор импульса, действующий на плоскую волну, задается производной этой плоской волны. Затем люди провели индукцию, а что, если мы обобщим это соотношение на любую волновую функцию и проверим его. Это оказывается также успешным, поэтому люди используют эту связь до сих пор.

Кнчжоу

@nougako Еще одним параллельным историческим развитием была матричная механика Гейзенберга, где они постулировали

[x, p] = i ℏ

$[x, p] = i \hbar$ из ниоткуда. (Это 100% эквивалентно

p = - i ℏ \partial_{x}

$p = -i\hbar \partial_x$ по теореме Стоуна-фон Неймана.)

Кнчжоу

@nougako Но смысл моего ответа в том, что здесь действительно нет логики: содержание просто постулируется. Это вдохновенные догадки.

нугако

Хорошо, по крайней мере, то, что вы упомянули о гипотезе коммутационного соотношения, проливает свет на историю. Но я уверен, что это не было действительно "из ниоткуда". На мой взгляд, за предложением этой замены должно было стоять какое-то обоснованное предположение. Может быть, они на самом деле пытались имитировать результат классической механики о скобке Possion между

q

$q$ и

p

$p$ в QM, чтобы увидеть, сработало ли это?

Кнчжоу

@nougako Нет, это было обнаружено Дираком несколько лет спустя (см. здесь ). Чем дальше в историю вы уходите, тем меньше в этом смысла!

нугако

Значит, за некоторыми изменениями в физике и технологиях того времени стоял аспект азартных игр? Я не верю, что у физиков есть нулевая причина, выдвигающая определенный постулат. Должна быть какая-то мотивация, побуждающая их постулировать

[x, p] \propto ℏ

$[x,p] \propto \hbar$ .

Кнчжоу

@nougako Ты заставил меня копаться; взгляните на это ! Это должно было соответствовать атомным спектрам. Некоторая мотивация пришла из «старой квантовой теории». Некоторые части удивительно предсказуемы. Но многие из них избыточны или просто логически не в том месте.

Любопытный

Похоже, у вас закатываются глаза, когда вы говорите, что тогда это были дикие догадки. :-) Может быть, стоит сделать шаг назад и посмотреть на временную шкалу... прошло около 240 лет между Ньютоном, объясняющим, как движется материя, и основателями квантовой механики, рассказавшими нам, махнув рукой, почему стабильная материя вообще существует. Мы до сих пор точно не знаем, что такое материя на самом деле... даже период догадок, который вы здесь описываете, в действительности занял около 20 лет.

нугако

@knzhou, спасибо за ссылку. Но не могли бы вы упомянуть, в какой части этой рукописи конкретно говорится о подгонке атомных спектров?

Любопытный Разум

Этот ответ правильный, но я хотел бы еще больше, если бы он больше подчеркивал тот момент, что само определение (уже классическое) «импульса» состоит в том, что это сохраняющаяся величина, связанная с переносами , и что сохраняющиеся величины порождают свои симметрии в формулировка Гамильтона.

Валерио · Answer 2

Импульс является генератором пространственных перемещений даже в классической физике. Во всяком случае, вы можете найти вывод здесь или в книге Сакураи «Современная квантовая механика» . Они более или менее одинаковы и выглядят следующим образом:

Оператор перевода — это оператор $T( a)$ такой, что

Т (а) ∣ Икс ⟩ =∣ Икс + а ⟩

$T( a) \mid x \rangle = \mid x+a\rangle$

Из определения следует, что сопряжение $T$ выполняет обратный перевод:

Т^{†} (а) ∣ Икс ⟩ =∣ Икс - а ⟩

$T^\dagger(a) \mid x \rangle = \mid x-a\rangle$

Конечно, мы должны потребовать, чтобы при переводе, а затем обратном переводе состояние не менялось:

Т^{†} (а) Т (а) ∣ Икс ⟩ =∣ Икс ⟩

$T^\dagger(a) T(a) \mid x \rangle = \mid x \rangle$

Из чего следует, что $T$ должен быть унитарным: $T^\dagger=T^{-1}$

Любой унитарный оператор можно записать в виде

Т (а) "=" е^{- я К а}

$T(a) =e^{-iKa}$

с $K$ отшельник. Теперь вы обнаружите, что собственные состояния $K$ в основе положения лежат плоские волны:

⟨ Икс ∣ к ⟩ "=" ψ_{к} (Икс) \sim е^{я к Икс}

$\langle x \mid k \rangle = \psi_k(x) \sim e^{ikx}$

Теперь (и это ключевой отрывок) в игру вступает гипотеза де Бройля:

п "=" ℏ к

$p = \hbar k$

так что

Т (а) "=" е^{- я п а / ℏ}

$T(a)=e^{-iPa/\hbar}$

И с некоторой математикой (отрывки в статье, на которую я ссылаюсь), вы можете показать, что

п ψ (Икс) "=" ⟨ Икс ∣ п ∣ Икс ⟩ "=" - я ℏ \frac{\partial ψ}{\partial Икс}

$P \psi(x) = \langle x \mid P \mid x \rangle = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}$

Гипотеза де Бройля не является строго необходимой. Например, Сакураи замечает, что для бесконечно малого перевода у вас есть

Т (г Икс) "=" 1 - я К г Икс

$T(dx) = 1-i K dx$

и что в классической механике производящая функция бесконечно малого переноса

{Икс}^{'} "=" Икс + г Икс

$x'=x+dx$

п^{'} "=" п

$p'=p$

является

Ф (Икс, п^{'}) "=" Икс п^{'} + п г Икс

$F(x,p')=x p'+ p dx$

где $xp'$ является производящей функцией тождественного преобразования. Из сходства между $F(x,p')$ и $T(dx)$ затем он предполагает, что $K$ связано с импульсом, а поскольку $K \ dx$ должно быть безразмерным мы должны иметь

К "=" \frac{п}{постоянная с размерами действия}

$K=\frac{P}{\text{constant with dimensions of an action}}$

Из опытов получается, что наша константа в точности равна $\hbar$ .

Вы в основном начинаете с определения оператора импульса как генератора перевода в QM. Мой изначальный вопрос: почему это так? Почему в КМ можно определить импульс как генератор переноса, как в классической механике? Что я хотел бы узнать от вас, так это то, что они просто взяли соответствие между QM и CM при определении импульса как такового?
@nougako Я почти уверен, что это весь процесс квантования, который предлагает Дирак. Возьмите классическую систему и замените положение и импульс операторами, удовлетворяющими каноническим коммутационным соотношениям. Даже гамильтоновский оператор исходит из классической идеи энергии, отдельной частицы, например $E=p^2/2m+U\to \hat{H}=\hat{P}^2/2m+\hat{U}$
Подожди, подожди: никто не определяет $P$ как генератор космических переводов. Мы просто определяем оператор перевода $T$ , из которого генератор $K$ выходит. Тогда мы узнаем, что собственные функции $K$ в базисе положения - плоские волны, и поэтому обнаруживаем, что его собственные значения - волновые числа. Десять мы используем гипотезу де Бройля, чтобы связать $K$ к $P$ .
Кроме того, @snulty прав: процесс квантования как раз и заключается в замене классических функций операторами. Симметрии и их генераторы остаются точно такими же (например, угловой момент $\to$ вращательной симметрии), но они больше не функции, а операторы в КМ. В конце концов, QM был построен из гамильтоновой формулировки CM. На самом деле, я бы сказал, что если вы очень хорошо изучите гамильтоновскую CM, то шаг к QM будет почти тривиальным.
Гипотеза де Бройля — отвлекающий маневр. Импульс является генератором трансляций, потому что «импульс», по самому своему определению, является нётеровским зарядом трансляционной симметрии, а нётеровские заряды порождают свои симметрии в гамильтоновой формулировке (уже чисто классической!), и именно гамильтонову формулировку мы квантуем. .
В своем ответе я написал, что гипотеза де Бройля не является строго необходимой.
@ACuriousMind Ваш комментарий здесь верен, но я чувствую, что он несправедливо упрощает вопрос. Стоит отметить, что то, что мы подразумеваем под «генератором» в гамильтоновом формализме в классической физике, существенно отличается от того, что мы подразумеваем в квантовой механике. Чтобы установить связь, вам нужно добавить некоторые дополнительные предположения о том, как связаны математические структуры этих двух теорий (т. е. скобки Пуассона превращаются в коммутаторы и т. д.). Установление этой связи является нетривиальной аксиомой и, когда большинство людей впервые сталкивается с ней, довольно неинтуитивно.

Льюис Миллер · Answer 3

Импульс и положение являются сопряженными переменными в классической механике, что означает, что они удовлетворяют соотношению скобки Пуассона. Когда была изобретена квантовая механика, соотношение скобки Яда было заменено операторным коммутационным соотношением, которое приводит к рассматриваемому соотношению.

Макс Лейн · Answer 4

Что $\hat{P} = - i \hbar \partial_x$ генерирует переводы, исходит из прямого вычисления: если $\psi$ непрерывно дифференцируема, и $\Psi$ а также его производная интегрируемы с квадратом, то можно доказать, что

\begin{aligned} я \frac{г}{г у} (ψ (Икс - у)) |_{у "=" 0} "=" - я \partial_{Икс} ψ (Икс) \end{aligned}

$\begin{align} i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} \bigl ( \psi(x - y) \bigr ) \big \vert_{y = 0} = - i \partial_x \psi(x) \end{align}$ держит, а ты пишешь

e^{- i y \cdot \hat{P}} ψ (x) = ψ (x - y)

$\mathrm{e}^{- i y \cdot \hat{P}} \psi(x) = \psi(x - y)$ .

Лучшая физическая мотивация на мой взгляд почему $\hat{P}$ следует называть «импульсом» (оператором) через квазиклассический предел с использованием стандартных приемов. Вы можете использовать исчисление Вигнера-Вейля, чтобы показать, что если потенциалы изменяются медленно по сравнению с длиной волны вашей волновой функции, то

\begin{aligned} \hat{п} (т) "=" \hat{п (т)} + е р р о р \end{aligned}

$\begin{align} \hat{P}(t) = \widehat{p(t)} + \mathrm{error} \end{align}$ выполняется, т. е. наблюдаемая Гейзенберга

\hat{P} (t)

$\hat{P}(t)$ связанный с импульсом, приблизительно равен квантованию классически эволюционировавшего импульса

p (t)

$p(t)$ . Вы можете привести аналогичные аргументы для положения, углового момента и других наблюдаемых величин. Сделать это точным довольно сложно.

Упрощенное, но, на мой взгляд, прекрасное объяснение можно найти в статье Эренфеста 1927 года. К сожалению, большинство учебников по квантовой механике, которые я видел, очень плохо объясняют этот момент (возможно, потому, что они не могут прочитать статью Эренфеста, она написана на немецком языке).

дрврм · Answer 5

Ab initio операторы импульса могут быть построены с использованием плоских волн де Бройля.

В одном измерении, используя плосковолновое решение уравнения Шредингера, волновая функция

Пси = эксп. я (кх - вес) ,

если взять частную производную wr по x волновой функции

дельта/дельта х (Psi) = ik. Пси

и используя соотношение де Бройля p = hbar . К мы получаем

дельта/дельта х (Psi) = ip/hbar . Пси

Приведенное выше соотношение предполагает операторную эквивалентность импульса:

p-оператор = -ihbar. Дельта/дельта-налог

поэтому значение импульса p является скалярным множителем, импульсом частицы и измеряемым значением является собственное значение оператора импульса.

Поскольку частная производная является линейным оператором, оператор импульса также является линейным (можно рассматривать импульс как генератор трансляционной симметрии)

и поскольку любая волновая функция может быть выражена как суперпозиция других возможных состояний

когда этот оператор импульса действует на всю наложенную волну, он дает собственные значения импульса для каждой компоненты плоской волны.

Использование гипотезы де Бройля не является «выводом ab initio». Современная квантовая механика исходит из канонических коммутационных соотношений, и $p=\hbar k$ является производным утверждением.
ну, я пытался мыслить в терминах исторической перспективы!

Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

нугако

Qмеханик

нугако

угрюмый

Ответы (5)

Кнчжоу

Кнчжоу

нугако

Кнчжоу

Кнчжоу

нугако

Кнчжоу

нугако

Кнчжоу

Любопытный

нугако

Любопытный Разум

Валерио

нугако

угрюмый

Валерио

Валерио

Любопытный Разум

Валерио

сасквайр

Льюис Миллер

Макс Лейн

дрврм

Любопытный Разум

дрврм