Когда ожидаемое значение импульса равно 000?

Question

Когда ожидаемое значение импульса равно 000?

Накшатра Гангопадхай

Когда - ожидаемое значение импульса для квантово-механической волновой функции $0$ ?

Один из возможных случаев, о котором я думаю, это когда волновая функция симметрична. В этом случае частица с одинаковой вероятностью будет двигаться в положительном и отрицательном направлениях.

Однако я также столкнулся с тем фактом, что математическое ожидание импульса « всегда » . $0$ , для реальной волновой функции.

Мой вопрос в том, являются ли два приведенных выше случая независимыми друг от друга? Например, если волновая функция действительна, но не симметрична, остается ли импульс $0$ ? Или, если волновая функция сложная, но симметричная, является ожидаемым значением $0$ ?

Поскольку я также убежден, что волновые функции связанных состояний реальны, не должны ли одномерные связанные частицы всегда иметь $0$ импульс, независимо от симметрии, поскольку они «реальны»? Существуют ли связанные состояния, чьи волновые функции сложны?

Любое объяснение будет высоко оценено.

Ответы (1)

Когда ожидаемое значение импульса равно 000?

Дж. Г. · Answer 1

Разделите действительную и мнимую части волновой функции на четные и нечетные части, а именно.

ψ "=" е_{р} + о_{р} + я е_{я} + я о_{я}

$\psi=e_r+o_r+ie_i+io_i$ с

e_{r}, e_{i}

$e_r,\,e_i$ настоящий и даже и

o_{r}, o_{i}

$o_r,\,o_i$ настоящее и странное. Средний импульс

- я ℏ \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} ψ^{'} г Икс "=" - я ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (е_{р} + о_{р} - я е_{я} - я о_{я}) (е_{р}^{'} + о_{р}^{'} + я е_{я}^{'} + я о_{я}^{'}) г Икс .

$-i\hbar\int_{-\infty}^\infty\psi^\ast\psi^\prime dx=-i\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_r+o_r-ie_i-io_i)(e_r^\prime+o_r^\prime+ie_i^\prime+io_i^\prime)dx.$ Расширяя это подынтегральное выражение, получаем шестнадцать членов с определенной четностью, восемь из которых нечетны, поэтому их вклады равны нулю. Среднее значение

- я ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (е_{р} о_{р}^{'} + о_{р} е_{р}^{'} + е_{я} о_{я}^{'} + о_{я} е_{я}^{'}) г Икс + ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (е_{р} о_{я}^{'} + о_{р} е_{я}^{'} - е_{я} о_{р}^{'} - о_{я} е_{р}^{'}) г Икс .

$-i\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_r^\prime+o_re_r^\prime+e_io_i^\prime+o_ie_i^\prime)dx+\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_i^\prime+o_re_i^\prime-e_io_r^\prime-o_ie_r^\prime)dx.$ В силу унитарности волновые функции обращаются в нуль при

\pm \infty

$\pm\infty$ , как и их действительные и мнимые части, а также их четные и нечетные части. Так

- я ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (е_{р} о_{р}^{'} + о_{р} е_{р}^{'} + е_{я} о_{я}^{'} + о_{я} е_{я}^{'}) г Икс "=" - я ℏ [е_{р} о_{р} + е_{я} о_{я}]_{- \infty}^{\infty} "=" 0.

$-i\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_r^\prime+o_re_r^\prime+e_io_i^\prime+o_ie_i^\prime)dx=-i\hbar[e_ro_r+e_io_i]_{-\infty}^\infty=0.$ Обнадеживает, что среднее значение реально, а именно

ℏ \int_{- \infty}^{\infty} (е_{р} о_{я}^{'} + о_{р} е_{я}^{'} - е_{я} о_{р}^{'} - о_{я} е_{р}^{'}) г Икс .

$\hbar\int_{-\infty}^\infty(e_ro_i^\prime+o_re_i^\prime-e_io_r^\prime-o_ie_r^\prime)dx.$ Это может исчезнуть по нескольким причинам. Если

ψ

$\psi$ симметричен,

o_{r} = o_{i} = 0

$o_r=o_i=0$ , поэтому подынтегральная функция

0

$0$ ; если

ψ

$\psi$ реально,

e_{i} = o_{i} = 0

$e_i=o_i=0$ , поэтому подынтегральная функция

0

$0$ . Как отмечено, какая из четырех степеней свободы исчезает в каждом случае, это разные причины, если они пересекаются.

Большое спасибо, это все, что мне было нужно. Таким образом, эти две причины не зависят друг от друга. Кроме того, поскольку мы можем показать, что волновые функции связанного состояния реальны, это означает, что для связанных состояний ожидаемое значение импульса всегда равно 0?
@NakshatraGangopadhay А, я вижу, вы знакомы с этим результатом . Обратите внимание на отказ от ответственности Qmechanic.
Поскольку это обычно не относится к TDSE, это означает, что это неверно для состояний суперпозиции. В этих случаях без симметрии ожидаемое значение не равно 0.
@NakshatraGangopadhay Я вижу, вы заметили отказ от ответственности. В качестве упражнения не стесняйтесь также проверить мои расчеты, показывающие, что мнимые и нечетные волновые функции имеют нулевой средний импульс.

Когда ожидаемое значение импульса равно 000?

Накшатра Гангопадхай

Ответы (1)

Дж. Г.

Накшатра Гангопадхай

Дж. Г.

Накшатра Гангопадхай

Дж. Г.

Комплексно-сопряженный оператор импульса

Как оператор импульса действует на кеты состояний?

Доказательство того, что оператор импульса, действующий на волновую функцию, дает среднее значение

Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

Квантовая теория поля для одаренного любителя: задача 2.4

Обозначение и производная Bra Ket [дубликат]

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

Ожидание импульса в связанном состоянии

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?