Как оператор импульса действует на кеты состояний?

Question

Как оператор импульса действует на кеты состояний?

Руви Лекамвасам

Я столкнулся с некоторыми проблемами в Modern QM Сакураи, и в какой-то момент мне пришлось вычислить $\langle \alpha|\hat{p}|\alpha\rangle$ где все что мы знаем о государстве $|\alpha\rangle$ в том, что

⟨ Икс | α ⟩ знак равно ф (Икс)

$\langle x|\alpha\rangle=f(x)$ для некоторой известной функции

f

$f$ . (

| α ⟩

$|\alpha\rangle$ представляет собой волновой пакет Гаусса.) Сакураи говорит, что это дается формулой:

⟨ п ⟩ знак равно \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ α | Икс ⟩ (- я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}) ⟨ Икс | α ⟩ г Икс .

$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx.$

Мне интересно, как мы получаем это выражение. Я знаю, что мы можем выразить

| α ⟩ знак равно \int г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс | α ⟩

$|\alpha\rangle =\int dx|x\rangle\langle x|\alpha\rangle$

и

⟨ α | знак равно \int г Икс ⟨ α | Икс ⟩ ⟨ Икс |,

$\langle\alpha|=\int dx\langle\alpha|x\rangle\langle x|,$

поэтому я думаю, что у нас есть:

⟨ α | \hat{п} | α ⟩ знак равно \iint г Икс г {Икс}^{'} ⟨ α | Икс ⟩ ⟨ Икс | \hat{п} | {Икс}^{'} ⟩ ⟨ {Икс}^{'} | α ⟩,

$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle =\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$

и если мы можем «коммутировать» $|x\rangle$ и $\hat{p}$ это станет:

\iint г Икс г {Икс}^{'} ⟨ α | Икс ⟩ \hat{п} ⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩ ⟨ {Икс}^{'} | α ⟩,

$\iint dxdx'\langle\alpha |x\rangle\hat{p}\langle x|x'\rangle \langle x'|\alpha\rangle,$ что является желаемым результатом, поскольку

⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩ знак равно дельта (Икс - {Икс}^{'}) .

$\langle x|x'\rangle=\delta(x-x').$ Правомерен ли этот подход?

Я думаю, что мой вопрос сводится к следующему: работает ли оператор $\hat{p}$ действовать на основе кет $|x\rangle$ или на их коэффициенты? В последнем случае, если бы у нас было некоторое состояние $|\psi\rangle = |x_0\rangle$ на какую-то должность $x_0$ , то можно ли сказать, что для этого состояния

⟨ п ⟩ знак равно ⟨ {Икс}_{0} | (- я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}) | {Икс}_{0} ⟩ знак равно 0

$\langle p\rangle =\langle x_0|\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)|x_0\rangle = 0$ так как единственный коэффициент

1

$1$ и производная от

1

$1$ является

0

$0$ ?

Ответы (7)

Как оператор импульса действует на кеты состояний?

Эмилио Писанти · Answer 1

На мой взгляд, манипуляции с участием $\hat p$ а позиционные бюстгальтеры и кеты легче всего выполнить, учитывая действие $\hat p$ на лифчиках положения , что просто

\begin{matrix} (1) & ⟨ Икс | \hat{п} знак равно - я ℏ \frac{г}{г Икс} ⟨ Икс | . \end{matrix}

$\boxed{ \vphantom{\begin{array}{}make\\the box\\taller\end{array}} \quad\,\,\, \langle x|\hat p=-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|. \quad\,\,\,} \tag 1$

Вы можете легко получить это, увидев, что для любого состояния $|\psi\rangle$ с волновой функцией представления положения $\psi(x)=\langle x|\psi\rangle$ , действие оператора импульса на состояние дает производную от волновой функции. То есть,

⟨ Икс | \hat{п} | ψ ⟩ знак равно - я ℏ \frac{г}{г Икс} ⟨ Икс | ψ ⟩ .

$\langle x|\hat p|\psi\rangle =-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|\psi\rangle.$ Поскольку это уравнение выполняется для всех состояний

| ψ ⟩ \in H

$|\psi\rangle\in\mathcal H$ , вы можете "отменить

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ наружу». (Более технично, так как действие бюстгальтеров

⟨ x | \hat{p}

$\langle x|\hat p$ и

- i ℏ \frac{d}{d x} ⟨ x |

$-i\hbar\frac{\text d}{\text dx}\langle x|$ одинаково для всех векторов, они должны быть равны как линейные функционалы.)

Qмеханик · Answer 2

Уже есть много хороших ответов. Этот ответ в основном является расширенной версией ответа Эмилио Писанти.

Начнем с того, что вспомним стандартное соглашение о записи волновой функции положения
$\begin{matrix} (1) & ψ (Икс) знак равно ⟨ Икс | ψ ⟩ \end{matrix}$ $\psi(x)~=~\langle x | \psi \rangle \tag{1}$ как перекрытие с положением бюстгальтера $\langle x |$ .
CCR _
$\begin{matrix} (2) & [\hat{Икс}, \hat{п}] знак равно я ℏ 1 \end{matrix}$ $[\hat{x},\hat{p}]~=~i\hbar{\bf 1}\tag{2}$ является первым принципом канонического квантования.
Представление позиции Шредингера
$\begin{matrix} (3) & \hat{Икс} знак равно Икс, \hat{п} знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс}, \end{matrix}$ $\hat{x}~=~x , \qquad \hat{p}~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x},\tag{3}$ является наиболее распространенным представлением CCR (2), хотя и далеко не единственным, ср. например , этот пост Phys.SE. Однако см. также теорему Стоуна-фон Неймана .
Важно понимать, что неявно подразумевается, что операторы (3) действуют на бюстгальтеры (в отличие от кетов ). (Однако см. уравнение (6) ниже.) Следовательно, правильнее записать (3) как
$\begin{matrix} (4) & ⟨ Икс | \hat{Икс} знак равно Икс ⟨ Икс |, ⟨ Икс | \hat{п} знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial ⟨ Икс |}{\partial Икс} знак равно \underset{ε \to 0}{лим} \frac{ℏ}{я} \frac{⟨ Икс + ε | - ⟨ Икс |}{ε} . \end{matrix}$ $\langle x |\hat{x}~=~x\langle x | , \qquad \langle x |\hat{p} ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial \langle x |}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon}.\tag{4}$
Заметим, что позиционное представление Шредингера (4) на бюстгальтерах реализует CCR (2)
$\begin{aligned} ⟨ Икс | & [\hat{Икс}, \hat{п}] \\ знак равно & \underset{ε \to 0}{лим} \frac{ℏ}{я} {Икс \frac{⟨ Икс + ε | - ⟨ Икс |}{ε} - \frac{(Икс + ε) ⟨ Икс + ε | - Икс ⟨ Икс |}{ε}} \\ (5) & знак равно & я ℏ ⟨ Икс |, \end{aligned}$ $\begin{align}\langle x| & [\hat{x},\hat{p}]\cr ~=~& \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{\hbar}{i}\left\{ x\frac{ \langle x+\varepsilon |- \langle x |}{\varepsilon} -\frac{ ( x+\varepsilon)\langle x+\varepsilon |- x\langle x |}{\varepsilon}\right\}\cr ~=~&i\hbar \langle x | ~, \tag{5}\end{align}$ с правильным знаком, как и должно быть.
Заметим, что позиционное представление Шредингера (4) на бюстгальтерах и соглашение (1) влекут за собой стандартные формулы

\begin{matrix} (6) & \hat{Икс} ψ (Икс) знак равно Икс ψ (Икс), \hat{п} ψ (Икс) знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial ψ (Икс)}{\partial Икс} . \end{matrix}

$\hat{x}\psi(x)~=~x\psi(x) , \qquad \hat{p}\psi(x) ~=~\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi(x)}{\partial x}. \tag{6}$

Обратите внимание, в частности, что если настаивать на воздействии на кеты (в отличие от бюстгальтеров ), то представление позиции Шредингера имеет противоположный знак: $\begin{matrix} (7) & \hat{Икс} | Икс ⟩ знак равно | Икс ⟩ Икс, \hat{п} | Икс ⟩ знак равно я ℏ \frac{\partial | Икс ⟩}{\partial Икс} знак равно \underset{ε \to 0}{лим} я ℏ \frac{| Икс + ε ⟩ - | Икс ⟩}{ε} . \end{matrix}$ $\hat{x}|x\rangle ~=~|x\rangle x , \qquad \hat{p}|x\rangle ~=~i\hbar\frac{\partial |x\rangle}{\partial x} ~=~\lim_{\varepsilon\to 0}i\hbar \frac{ |x+\varepsilon \rangle- | x\rangle }{\varepsilon}.\tag{7}$

Любош Мотл · Answer 3

Глядя на вопрос

Я думаю, что мой вопрос сводится к следующему: $\hat p$ действовать на основе кет $|x\rangle$ или на их коэффициенты?

можно с уверенностью определить, что вы в чем-то запутались, но сложнее понять, в чем вопрос на самом деле. Итак, позвольте мне повторить здесь некоторые основные вещи — я уверен, что вы, должно быть, запутались в одном из них, несмотря на их основной характер.

Символ $\hat p$ является оператором. Это означает объект, который действует на любой кет-вектор и дает вам другой (или тот же) кет-вектор. Карта должна быть линейной и так далее. Так $\hat p$ обязательно действует на векторы, а не на «коэффициенты».

С другой стороны, когда он действует на базисный вектор, такой как $|x\rangle$ , результат может быть выражен как линейная комбинация базисных векторов в одном и том же базисе,

\hat{п} | Икс ⟩ знак равно \int г {Икс}^{'} ф_{Икс} ({Икс}^{'}) | {Икс}^{'} ⟩

$\hat p |x\rangle = \int dx' f_x(x') |x'\rangle$ с некоторыми коэффициентами

f_{x} (x^{'})

$f_x(x')$ . Каждый кет-вектор и

\hat{p} | x ⟩

$\hat p | x \rangle$ представляет собой кет-вектор, может быть каким-то образом выражен с использованием базиса.

Итак, пока вы можете идентифицировать $|x\rangle$ с «волновой функцией», равной $\psi(x'') = \delta (x''-x)$ куда $x$ - фиксированное значение позиции, вектор кет-вектора, на который воздействовали $\hat p|x\rangle$ задается через функцию $f_x(x')$ который кодирует коэффициенты перед $|x'\rangle$ . Эта функция (хранящая коэффициенты) полностью задается смыслом оператора $\hat p$ и по стоимости $x$ и заменяет кодировку дельта-функции $|x\rangle$ себя, поэтому в этом смысле операторы действуют и на коэффициенты. Нужно просто знать основные правила, как они действуют на основе и т.д. и тогда он знает все!

Другая вещь, которая может вас смутить, еще более элементарна, что такое производная. Производная не является оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Производная — это операция, которая берет функцию вещественной переменной и отображает ее в другую функцию вещественной переменной.

\frac{\partial}{\partial Икс} : ф (Икс) \mapsto ф^{'} (Икс) знак равно \underset{ε \to 0}{лим} \frac{ф (Икс + ε) - ф (Икс)}{ϵ}

$\frac{\partial}{\partial x} : f(x)\mapsto f'(x) = \lim_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}{\epsilon}$ Вы, должно быть, запутались в этом определении производной, иначе бы не писали бессмысленные производные в последнем предложении. Что-то вообще должно зависеть от переменной, по которой мы дифференцируем, и тогда мы дифференцируем ее как функцию, используя общее определение выше.

Ядро (или «матричные элементы») $\hat p$ является

⟨ Икс | \hat{п} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно - я ℏ {дельта}^{'} (Икс - {Икс}^{'}) знак равно ф_{{Икс}^{'}} (Икс)

$\langle x | \hat p | x'\rangle = -i\hbar \delta'(x-x')=f_{x'}(x)$ которая является производной дельта-функции. Это дельта-функция, аргументом которой является разница двух значений.

x, x^{'}

$x,x'$ которые задают вектор бюстгальтера и кет-вектор, между которыми

\hat{p}

$\hat p$ был зажат. Дельта-функция равна внутреннему произведению бра-вектора

⟨ x |

$\langle x |$ и вектор

\hat{p} | x ⟩

$\hat p |x\rangle$ который возникает в результате действия

\hat{p}

$\hat p$ на

| x ⟩

$|x\rangle$ .

Ядра достаточно, чтобы вычислить все, что связано с $\hat p$ и бюстгальтер и кет векторы в $x$ -основа. Например, вы можете умножить мое уравнение для ядра выше на $|x\rangle$ слева и проинтегрировать $x$ . Тогда человек получает (заметив, что $1$ был построен на LHS через отношение полноты)

\hat{п} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно \int г Икс (- я ℏ) дельта (Икс - {Икс}^{'}) | Икс ⟩ знак равно - я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс} | Икс ⟩_{Икс знак равно {Икс}^{'}}

$\hat p |x'\rangle = \int dx (-i\hbar) \delta(x-x') |x\rangle = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle_{x= x'}$ Извините, если где-то есть ошибка со знаком. Имеет смысл дифференцировать по

x

$x$ потому что объект на самом деле является функцией

x

$x$ . Если общую волновую функцию переписать как комбинацию таких

| x^{'} ⟩

$|x'\rangle$ векторы из LHS уравнения выше, через интеграл и с коэффициентами, называемыми

ψ (x^{'})

$\psi(x')$ , приведенное выше уравнение становится обычным

\hat{п} : ψ ({Икс}^{'}) \to - я ℏ ψ^{'} ({Икс}^{'})

$\hat p:\psi(x')\to -i\hbar \psi'(x')$ по коэффициентам. Это не означает, что линейный оператор — это то же самое, что и производная функций. Просто сказано, что в

x

$x$ -базис, при воздействии на общую комбинацию этих базисных векторов коэффициенты преобразуются таким же производным образом. Но это особое свойство данного конкретного оператора. Другие операторы, например

\hat{x}

$\hat x$ , действовать по-другому.

Глеб Грибакин · Answer 4

Рассмотрим коммутационное соотношение $[\hat x,\hat p_x]=i\hbar$ . Его матричный элемент между состояниями $\langle x|$ и $|x'\rangle$ ,

⟨ Икс | \hat{Икс} {\hat{п}}_{Икс} - {\hat{п}}_{Икс} \hat{Икс} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно я ℏ ⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩,

$\begin{equation} \langle x|\hat x \,\hat p_x - \hat p_x\hat x|x'\rangle =i\hbar \langle x|x'\rangle , \end{equation}$ дает

(Икс - {Икс}^{'}) ⟨ Икс | {\hat{п}}_{Икс} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно я ℏ дельта (Икс - {Икс}^{'}),

$\begin{equation} (x-x')\langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \delta (x-x'), \end{equation}$ так что

⟨ Икс | {\hat{п}}_{Икс} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно я ℏ \frac{дельта (Икс - {Икс}^{'})}{Икс - {Икс}^{'}} .

$\begin{equation} \langle x|\hat p_x |x'\rangle =i\hbar \frac{\delta (x-x')}{x-x'}. \end{equation}$ Подставив это в

⟨ x | {\hat{p}}_{x} | ψ ⟩

$\langle x|\hat p_x|\psi \rangle$ , куда

| ψ ⟩

$|\psi \rangle$ представляет собой произвольное кет-состояние с волновой функцией

ψ (x) \equiv ⟨ x | ψ ⟩

$\psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle$ , у нас есть

\begin{array}{rcl} ⟨ Икс | {\hat{п}}_{Икс} | ψ ⟩ & знак равно & \int ⟨ Икс | {\hat{п}}_{Икс} | {Икс}^{'} ⟩ ⟨ {Икс}^{'} | ψ ⟩ г {Икс}^{'} \\ знак равно & я ℏ \int \frac{дельта (Икс - {Икс}^{'})}{Икс - {Икс}^{'}} ψ ({Икс}^{'}) г {Икс}^{'} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle &=&\int \langle x|\hat p_x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx'\\ &=&i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x') dx'. \end{eqnarray}$ Единственный вклад в интеграл дает

x^{'}

$x'$ очень близко к

x

$x$ , поэтому мы можем разложить волновую функцию в ряд Тейлора до первого порядка,

ψ (x^{'}) ≃ ψ (x) + ψ^{'} (x) (x^{'} - x)

$\psi (x')\simeq \psi (x)+\psi '(x)(x'-x)$ . Это дает

\begin{array}{rcl} ⟨ Икс | {\hat{п}}_{Икс} | ψ ⟩ знак равно я ℏ \int \frac{дельта (Икс - {Икс}^{'})}{Икс - {Икс}^{'}} ψ (Икс) г {Икс}^{'} - я ℏ \int дельта (Икс - {Икс}^{'}) ψ^{'} (Икс) г {Икс}^{'} знак равно - я ℏ \frac{\partial ψ (Икс)}{\partial Икс}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \langle x|\hat p_x|\psi \rangle =i\hbar \int \frac{\delta (x-x')}{x-x'}\psi (x) dx'-i\hbar \int \delta (x-x')\psi '(x)dx'=-i\hbar \frac{\partial \psi(x)}{\partial x}, \end{eqnarray}$ где первый интеграл равен нулю, так как

δ (x - x^{'})

$\delta (x-x')$ является четной функцией и

1 / (x - x^{'})

$1/(x-x')$ странно.

Тримок · Answer 5

Состояния - это векторы, $|\alpha\rangle$ и основа $|x\rangle$ являются векторами.

Обозначение $\langle x|\alpha\rangle$ эквивалентно $\alpha(x)$ , это координата штата $|\alpha\rangle$ на основании $|x\rangle$ , $\alpha(x)$ - амплитуда вероятности или волновая функция.

Оператор $\hat p$ , применяя к состоянию или функции, зависящей от $x$ , имеет представление $-i \frac{\partial}{\partial x}$ (выбираем здесь единицу $\hbar = 1$ для простоты).

Так, например, у нас есть: $\langle x|\hat p|x'\rangle= -i \langle x|\frac{\partial}{\partial x'}|x'\rangle = = -i\frac{\partial}{\partial x'}\langle x|x'\rangle =+i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x')\tag{1}$

У тебя есть :

⟨ α | \hat{п} | α ⟩ знак равно \iint г Икс г {Икс}^{'} ⟨ α | Икс ⟩ ⟨ Икс | \hat{п} | {Икс}^{'} ⟩ ⟨ {Икс}^{'} | α ⟩

$\langle\alpha|\hat{p}|\alpha\rangle=\iint dx dx'\langle\alpha|x\rangle\langle x|\hat{p}|x'\rangle\langle x'|\alpha\rangle$

знак равно \iint г Икс г {Икс}^{'} α^{*} (Икс) я (\frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} дельта) (Икс - {Икс}^{'}) α ({Икс}^{'})

$=\iint dx dx'~~\alpha^*(x)~~i(\frac{\partial}{\partial x'}\delta)(x-x') ~~\alpha(x')$

\begin{matrix} (2) & знак равно \iint г Икс г {Икс}^{'} α^{*} (Икс) - я дельта (Икс - {Икс}^{'}) \frac{\partial}{\partial {Икс}^{'}} α ({Икс}^{'}) \end{matrix}

$=\iint dx dx'~~\alpha^*(x)~~-i\delta(x-x') ~~\frac{\partial}{\partial x'}\alpha(x')\tag{2}$

знак равно \int г Икс α^{*} (Икс) (- я \frac{\partial}{\partial Икс}) α (Икс)

$=\int dx~~ \alpha^*(x)~~(-i\frac{\partial}{\partial x})~~\alpha(x)$ В

(2)

$(2)$ , мы использовали интегрирование по частям, предполагая, что волновая функция достаточно быстро убывает на границе.

Уравнение $\hat p|x\rangle = (-i\frac{\partial}{\partial x})|x\rangle$ , правильно, но бесполезно, потому что у нас нет выражения для $\frac{\partial}{\partial x}|x\rangle$ . Более полезное уравнение относится к операциям перевода и выглядит следующим образом: $e^{-i\hat p.a}|x\rangle = |x+a\rangle$ или $\langle x |e^{i\hat p.a}=\langle x+a|$

Наконец, глядя на состояние $|\psi\rangle =|x_0\rangle$ , соответствующая волновая функция $\langle x|x_0\rangle = \delta(x-x_0)$ , поэтому среднее значение импульса в этом состоянии равно:

\begin{matrix} (3) & ⟨ ψ | \hat{п} | ψ ⟩ знак равно \int г Икс дельта (Икс - {Икс}_{0}) (- я \frac{\partial}{\partial Икс}) дельта (Икс - {Икс}_{0}) знак равно - я {дельта}^{'} (0) знак равно 0 \end{matrix}

$\langle\psi|\hat p|\psi\rangle\tag{3}=\int dx \delta(x-x_0) (-i\frac{\partial}{\partial x})\delta(x-x_0) = -i \delta'(0)=0$

Это можно понять легко, ведь если зафиксировать положение ( $x=x_0$ ), неопределенность импульса бесконечна, поэтому все импульсы имеют одинаковую вероятность, поэтому среднее значение импульса равно нулю.

Джиллахер · Answer 6

Я бы сказал, что одна часть вопроса все еще остается без ответа. Вот как оператор $\hat{p}$ действует на состояние, которое не является тривиальной линейной комбинацией собственных состояний положения.

Допустим, мы пытаемся вычислить

\hat{\frac{\partial}{\partial Икс}} | н ⟩ знак равно \hat{\frac{\partial}{\partial Икс}} \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ | {Икс}^{'} ⟩,

$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle,$ куда

| n ⟩

$|n\rangle$ некоторое состояние, которое может быть представлено как линейная комбинация состояний

| x ⟩

$|x\rangle$ . Чтобы понять интуицию, мы можем проверить случай

\hat{Икс} | н ⟩ знак равно \hat{Икс} \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ | {Икс}^{'} ⟩,

$\hat{x}|n\rangle=\hat{x} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle,$ где ответ очень прост, так как

| x ⟩

$|x\rangle$ является собственным состоянием

\hat{x}

$\hat{x}$ оператор с собственным значением

x

$x$

\hat{Икс} | н ⟩ знак равно \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ \hat{Икс} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ {Икс}^{'} | {Икс}^{'} ⟩ .

$\hat{x}|n\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{x}|x'\rangle = \int dx' \langle x'|n\rangle x'|x'\rangle.$ Применяя те же рассуждения к исходному случаю, получаем

\hat{\frac{\partial}{\partial Икс}} \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ | {Икс}^{'} ⟩ знак равно \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ \hat{\frac{\partial}{\partial Икс}} | {Икс}^{'} ⟩ знак равно \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ \underset{час \to 0}{лим} \frac{1}{час} (| {Икс}^{'} + час ⟩ - | {Икс}^{'} ⟩),

$\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \langle x'|n\rangle |x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \hat{\frac{\partial}{\partial x}}|x'\rangle=\int dx' \langle x'|n\rangle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(|x'+h\rangle - |x'\rangle\Big),$ где я просто использовал определение производной вектора. Затем мы просто разделяем интеграл на две части и переопределяем переменные интегрирования, чтобы мы могли извлечь состояние

знак равно \underset{час \to 0}{лим} \frac{1}{час} (\int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ | {Икс}^{'} + час ⟩ - \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ | {Икс}^{'} ⟩),

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx' \langle x'|n\rangle|x'+h\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big),$

знак равно \underset{час \to 0}{лим} \frac{1}{час} (\int г {Икс}^{″} ⟨ {Икс}^{″} - час | н ⟩ | {Икс}^{″} ⟩ - \int г {Икс}^{'} ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩ | {Икс}^{'} ⟩),

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\Big(\int dx'' \langle x''-h|n\rangle|x''\rangle - \int dx' \langle x'|n\rangle|x'\rangle\Big),$

знак равно \underset{час \to 0}{лим} \frac{1}{час} \int г {Икс}^{'} (⟨ {Икс}^{'} - час | н ⟩ - ⟨ {Икс}^{'} | н ⟩) | {Икс}^{'} ⟩,

$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int dx' \Big(\langle x'-h|n\rangle - \langle x'|n\rangle\Big)|x'\rangle,$ но это производная от коэффициентов

знак равно - \int г {Икс}^{'} (\frac{\partial ⟨ Икс | н ⟩}{\partial Икс}) |_{Икс знак равно {Икс}^{'}} | {Икс}^{'} ⟩,

$=-\int dx' \Big(\frac{\partial\langle x|n\rangle}{\partial x}\Big)\Bigg|_{x = x'}|x'\rangle,$ или в более знакомой форме с волновой функцией , определяемой как

⟨ x | n ⟩ = ψ_{n} (x)

$\langle x|n\rangle = \psi_{n}(x)$

\hat{\frac{\partial}{\partial Икс}} | н ⟩ знак равно \hat{\frac{\partial}{\partial Икс}} \int г {Икс}^{'} ψ_{н} ({Икс}^{'}) | {Икс}^{'} ⟩ знак равно - \int г {Икс}^{'} ψ_{н}^{'} ({Икс}^{'}) | {Икс}^{'} ⟩ .

$\hat{\frac{\partial}{\partial x}}|n\rangle=\hat{\frac{\partial}{\partial x}} \int dx' \psi_{n}(x') |x'\rangle = -\int dx' \psi'_{n}(x') |x'\rangle.$ Следовательно, действие с пространственной производной на состояние дает вам производную волновой функции или, другими словами, производную коэффициента, который дает вам отображение из состояния, которое вы дифференцируете, в базис положения.

Дешеле Шильдер · Answer 7

Обратите внимание, что $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ .

Поместите это в данную формулу:

⟨ п ⟩ знак равно \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ α | Икс ⟩ (- я ℏ \frac{\partial}{\partial Икс}) ⟨ Икс | α ⟩ г Икс,

$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle x|\alpha\rangle dx,$

который дает:

⟨ п ⟩ знак равно \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ α | Икс ⟩ \hat{п} ⟨ Икс | α ⟩ г Икс .

$\langle p\rangle = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\langle\alpha|x\rangle\hat{p}\langle x|\alpha\rangle dx.$

Теперь это хорошо известный результат в квантовой механике (отношение полноты), который:

\int_{- \infty}^{+ \infty} | Икс ⟩ ⟨ Икс | г Икс знак равно 1,

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1,$

Поэтому, когда мы подставляем это в выражение для $\langle p\rangle$ мы получили:

⟨ п ⟩ знак равно ⟨ α | \hat{п} | ⟩ α,

$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$

что мы должны были доказать.

Вы также можете начать с

⟨ п ⟩ знак равно ⟨ α | \hat{п} | ⟩ α,

$\langle p\rangle =\langle\alpha|\hat p|\rangle\alpha,$

поместите отношение полноты

\int_{- \infty}^{+ \infty} | Икс ⟩ ⟨ Икс | г Икс знак равно 1

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|x\rangle \langle x|dx=1$

в нем и заменить $\hat{p}$ от $-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ .

Как оператор импульса действует на кеты состояний?

Руви Лекамвасам

Ответы (7)

Эмилио Писанти

Qмеханик

Любош Мотл

Глеб Грибакин

Тримок

Джиллахер

Дешеле Шильдер

Комплексно-сопряженный оператор импульса

Когда ожидаемое значение импульса равно 000?

Доказательство того, что оператор импульса, действующий на волновую функцию, дает среднее значение

Где P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)P^ψ(x)=−iℏ∂xψ(x)\hat{P}\psi(x) = -i\hbar \partial_x \psi( х) откуда?

Квантовая теория поля для одаренного любителя: задача 2.4

Обозначение и производная Bra Ket [дубликат]

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

Ожидание импульса в связанном состоянии

Нахождение T†T†T^\dagger, где Tφ(x)=φ(x+a)Tφ(x)=φ(x+a)T\varphi(x)=\varphi(x+a)

Почему мы представляем векторы состояний с помощью кет-векторов?