Как призраки Фаддеева-Попова (ФП) помогают интегралам по траекториям?

Призраки не столько вставляются, сколько естественным образом возникают. Интеграл по путям наивно определенной калибровочной теории будет интегрироваться по всем полям, включая те, которые связаны калибровочной симметрией, которые рассматриваются теорией как эквивалентные.

Процедура Фаддеева-Попова позволяет разделить наше интегрирование по физически различным конфигурациям и по калибровочным орбитам. Рассмотрим случай неабелевой калибровочной теории с

$$\int \mathcal D[A] \exp \left[i \int d^4x \left( -\frac14 (F^a_{\mu\nu})^2\right) \right].$$

Чтобы интегрировать только по физически различным конфигурациям, нам нужно ограничить интеграл процедурой фиксации калибровки,$G(A) = 0$в общем. Исправить$G(A) = 0$, мы можем использовать дельта-функцию, но для этого нам нужно принять во внимание соответствующий фактор Якоби, так что тождество,

$$1= \int D[\alpha(x)] \delta(G(A^\alpha)) \det \frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta \alpha}$$

где$A^\alpha$преобразовано ли поле, т. е.$(A^\alpha)^a_\mu = A^a_\mu + g^{-1}D_\mu \alpha^a$. Тогда у нас есть интеграл по путям,

$$\int \mathcal D[A] \, e^{iS[A]} = \left(\int \mathcal D[\alpha(x)] \right) \int \mathcal D[A] e^{iS[A]} \delta(G(A))\det \frac{\delta G(A^\alpha)}{\delta \alpha}.$$

По сути, мы разложили его на интегрирования по калибровочным орбитам и физически различные решения. Теперь, для$n \times n$матрица,$M$, мы можем выразить определитель в виде интеграла Грассмана, а именно,

$$\int e^{-\theta^T M \eta} d\theta d\eta = \det M$$

где у нас есть векторы переменных Грассмана,$\theta$и$\eta$. Возвращаясь к интегралу по траекториям, определитель — это определитель дифференциального оператора, поэтому мы используем аналогичную формулу для его вычисления. Затем мы интерпретируем аналогичный$\theta$и$\eta$как поля или призраки.

Иными словами, мы ввели фиктивные переменные, чтобы выразить определитель в виде интеграла, и оказалось, что этот интеграл при включении имеет ту же форму, что и лагранжиан для этих переменных, и поэтому мы можем интерпретировать их как поля.

В двух словах, определитель Фаддеева-Попова (ФП) (и его интегральная формулировка через призрачные переменные ФП) можно рассматривать как компенсирующий фактор в интеграле по траекториям $Z$чтобы гарантировать, что интеграл по путям$Z$не зависит от выбора условия фиксации калибровки . См. также этот пост Phys.SE.

Для простой калибровочной теории (такой как, например, КЭД) нет необходимости вводить FP-призраки. Однако для более сложных калибровочных теорий становится удобным явно вводить FP-духи и, возможно, кодировать калибровочную симметрию в формулировке БРСТ (такой, например, как формулировка Баталина-Вилковиского (БВ) ).

На самом деле действие$S$может для нетривиальной калибровочной теории в принципе неквадратично зависеть от духов ФП, так что члены действия ФП не имеют простой интерпретации через детерминант.

Формулировку BV в общем случае можно использовать для формального доказательства того, что интеграл по путям с фиксированной калибровкой$Z$не зависит от выбора калибра.