Почему призраки Фаддеева-Попова расцепляются в БРСТ?

Дорогой Студент, как говорит Моше, причина, по которой призраки Фаддеева Попова «разъединяются», заключается в том, что они предназначены для разъединения.

Точнее, они — и все формулы, которые от них зависят — устроены так, что возбуждения этих призраков, а также нефизические возбуждения более обычных физических полей — вроде времениподобных и продольных компонент калибровочных полей — чисто отделены от физических поляризаций — таких как поперечные поляризации фотонов и других калибровочных бозонов.

Добавление дополнительных призраков BRST и заряда BRST делает вещи особенно естественными.

Грубую причину, по которой правильные физические состояния выживают — как БРСТ-когомологии — в то время как неправильные состояния не выживают, легко увидеть в случае коммутирующих калибровочных симметрий, порожденных генераторами$L_i$. В этом случае плата за BRST составляет

$$Q = \sum_i c^i L_i$$ Призраки $c^i$антикоммутируют друг с другом - и возводят в ноль. Вы видите, что единственное условие $$Q|\psi \rangle = 0$$ автоматически подразумевает, что $$L_i |\psi\rangle = 0,$$ среди прочего, чтобы государства $|\psi\rangle$автоматически калибровочно-инвариантны. Кроме того, состояния, которые являются калибровочными преобразованиями друг друга, становятся эквивалентными, если мы определяем $Q$вариации всех состояний нефизичны. В частности, если $$|\chi\rangle = \sum_i \lambda^i b_i |\phi\rangle$$ тогда $$Q|\chi\rangle = \sum_i \lambda^i L_i |\phi\rangle$$ является произвольной калибровочной вариацией $|\phi\rangle$вектор (который предполагался аннулированным $c$в данном случае), который отождествляется с вектором $0$в физическом гильбертовом пространстве с помощью БРСТ-когомологий.

Возбуждения$b,c$сами по себе нефизичны

Состояния, содержащие не что иное, как нежелательные возбуждения$b_i$не могут быть БРСТ-замкнутыми (они не аннигилируют$Q$, подобно компонентам калибровочного поля, нарушающим закон Гаусса), а состояниям, содержащим лишь нежелательные возбуждения$c_i$являются БРСТ-тривиальными (во многом подобно чисто калибровочным конфигурациям калибровочного поля). Таким образом, даже возбуждения$b,c$становятся нефизическими вместе с двумя непоперечными возбуждениями калибровочного поля.

Весь механизм BRST полезен только для неабелевых (не коммутирующих) групп, но описанный выше механизм можно легко обобщить. А$cbc\cdot f/2$срок ($f$структурные константы) необходимо добавить к заряду БРСТ, чтобы сохранить$Q^2=0$.

Вышеприведенная презентация является математической, потому что механизм BRST — это всего лишь математический трюк. Настоящей физики нет. Действительно, по самому определению весь инструментарий, добавляемый формализмом БРСТ, по определению нефизичен. Это по определению математический трюк. Каждый, кто говорит вам, что он или она открывает новую физику, играя с самим формализмом БРСТ, лжет вам; это невозможно. В формализме БРСТ нет физики; это просто очень полезный современный инструмент для занятий физикой.

Но позвольте мне добавить еще один комментарий, почему нефизические состояния - состояния, которые не являются БРСТ-замкнутыми; а состояния, являющиеся BRST-точными, разъединяются. Если начальное состояние при$t=0$является физическим, оно остается физикой и в более поздние моменты - потому что$Q$коммутирует с гамильтонианом$H$.

В$t=0$, правомерно идентифицировать физическое; состояния, отличающиеся$Q|\phi\rangle$для любого$|\phi\rangle$потому что все эти различия формы$Q|\phi\rangle$ортогональны всем физическим состояниям$\langle \kappa|$потому что

$$\langle\kappa|Q|\phi\rangle =0.$$ Последнее верно, потому что вы можете действовать с $Q$слева и результат равен нулю, потому что $\langle \kappa|$был БРСТ-замкнут по предположению.

Это интересный вопрос. И я знаю, что Любош уже написал хороший и полный ответ, но я думаю, что могу добавить сюда несколько своих слов.

Здесь я сосредоточусь на неабелевом случае YM, но результаты здесь довольно общие. Идея состоит в том, что квантовое действие BRST можно записать как:

$$\begin{equation} S(qu) = S(cl) + \int\; d^4x\; s\Psi \end{equation}$$

куда$\Psi$связана с некоторой поверхностью, над которой вращаются антиполя действия, или, как чаще говорят, с функцией фиксации калибра. Для неабелевой YM обычный способ записи таков:

$$\begin{equation} \Psi = b_a(F^a+\frac{1}{2}\xi d^a) \end{equation}$$

Этот термин появился потому, что мы настаиваем на описании безмассового векторного бозона как четырехкомпонентного поля, тогда как физических степеней свободы всего две. Для внешних состояний проблем нет, так как появляются только две степени свободы, и это, в конечном счете, физическая причина, по которой призраки BRST спроектированы таким образом, чтобы отделяться. Для внутренних линий, т. е. пропагаторов, вклад вносят четыре компоненты, а две дополнительные нефизические степени свободы портят унитарность. Этот термин выше исправляет это. Однако вы не хотите, чтобы ваша теория зависела от нефизического выбора$\Psi$.

Итак, естественный способ состоит в том, чтобы спросить, что физические состояния находятся в когомологиях заряда$Q$связанный с оператором$s$, т.е.$sF = [F,Q]$и это математически реализует развязку (остальное следует из того, что уже сказал Любош, что одно фантомное возбуждение не является БРСТ-замкнутым, а другое — БРСТ-точным).

Хотя все называют это действие квантовым действием , оно не включает никакого квантового термина. Приведенный выше аргумент будет оставаться в силе с точки зрения квантовой механики, если не только действие, но и мера BRST-инвариантны. Оказывается, YM-мера не является БРСТ-инвариантной (это утверждение, зависящее от регулятора!!), но можно показать, что вариация всегда$s\chi$, т.е. BRST-точный и все продолжает работать как и в классическом случае.