Как рассчитать силовые линии индуцированного магнитного поля внутри конденсатора?

Если предположить, что приближение о том, что электрическое поле постоянно в пространстве, но изменяется во времени, является разумным, то, поскольку$\vec j = 0$между плитами, возможное решение для$\vec \nabla \times \vec B$уравнение, которое также удовлетворяет$\vec \nabla \cdot \vec B = 0$является$\vec B = \frac{1}{2c^2} \vec r \times \frac{\partial \vec E}{\partial t}$. Чтобы увидеть, какими могут быть другие решения, представьте себе другое решение.$\vec B_2$, который удовлетворяет обоим этим уравнениям. Разница$\vec \Delta = \vec B-\vec B_2$удовлетворяет$\vec \nabla \times \vec \Delta = 0$, поэтому его можно записать как градиент скалярного поля. Поскольку расхождение$\vec \Delta$также равно нулю, это скалярное поле удовлетворяет уравнению Лапласа. Добавление градиента любого решения уравнения Лапласа к$\vec B$даст другое решение. Вам нужно добавить граничные условия, т.е. иметь дело с формой пластин конденсатора и зарядным током, чтобы задать эти граничные условия и получить однозначное решение.

Конкретный пример дает задача 6.14 в «Классической электродинамике» Дж. Д. Джексона, третье издание, где он задает поля в конденсаторе с круглыми пластинами в квазистатическом приближении.

Используя интегральную форму закона Ампера-Максвелла без учета тока, который равен нулю на пластинах:

$$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

мы видим, что вокруг границ пластин левая сторона максимальна, потому что интеграл от правой включает всю площадь. B-векторы указывают по часовой стрелке, если смотреть с положительной на отрицательную сторону, когда$\mathbf E$повышается. Для областей ближе к центру направление такое же, но величина$\mathbf B$меньше из-за меньшей закрытой площади.