Об уникальности тока смещения

Question

Об уникальности тока смещения

Анонимный

В уравнении Максвелла-Ампера, т.е.:

\nabla \times \vec{Б} "=" {мю}_{0} \vec{Дж} + {мю}_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т}

$\begin{equation} \nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{equation}$ в

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ срок:

{\vec{Дж}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т}

$\vec{J}_d := \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ был получен путем принятия дивергенции левой части уравнения. Явно, до добавления Максвеллом

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ срок закона Ампера был:

\nabla \times \vec{B} = μ_{0} \vec{J}

$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J}$ , но при действии с

\nabla \cdot

$\nabla \cdot$ у нас были:

0 \equiv \nabla \cdot (\nabla \times \vec{Б}) "=" {мю}_{0} \nabla \cdot \vec{Дж} "=" - {мю}_{0} \frac{\partial р}{\partial т}

$0 \equiv \nabla \cdot \left(\nabla\times\vec{B}\right) = \mu_0 \nabla\cdot\vec{J} = -\mu_0 \frac{\partial \rho}{\partial t}$ из

div (curl ∙)

$\text{div}(\text{curl}\ \bullet)$ тождество и уравнение неразрывности. Но

\frac{\partial ρ}{\partial t}

$\frac{\partial \rho}{\partial t}$ не обязательно равен нулю, поэтому нам нужно добавить новый термин, назовем его

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ . А теперь мой вопрос. Нам нужно

{\vec{J}}_{d} : \nabla \cdot (\vec{J} + {\vec{J}}_{d}) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot {\vec{J}}_{d} = \frac{\partial ρ}{\partial t}

$\vec{J}_d : \nabla\cdot\left( \vec{J} + \vec{J}_d \right) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot \vec{J}_d = \frac{\partial \rho}{\partial t}$ . И действительно

{\vec{J}}_{d} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ есть решение, но для этого "теста на дивергенцию"

{\vec{{Дж}^{'}}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + \vec{к}

$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{k}$ где

\vec{k}

$\vec{k}$ является постоянным вектором или даже

{\vec{{Дж}^{″}}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + \nabla \times \vec{Т}

$\vec{J''}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$ где

\vec{T}

$\vec{T}$ любой вектор, удовлетворяющий

\nabla \cdot (\nabla \times {\vec{J}}_{d}) = 0

$\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{J}_d\right) = 0$ . Почему же тогда

{\vec{J}}_{d}

$\vec{J}_d$ имеет форму, а не какое-либо из других возможных решений, представленных выше?

Заранее спасибо.

Эмилио Писанти

В сущности, для простоты; полные уравнения Максвелла в основном оправдываются апостериорно . Обратите также внимание на то, что

\vec{T}

$\vec T$ нужно будет зависеть от

\vec{E}

$\vec E$ и/или

\vec{J}

$\vec J$ , и он должен быть псевдовектором (так что его завиток будет вектором), поэтому даже самые простые возможные кандидаты будут довольно сложными. Объединение существующих величин для получения правильной физической размерности также довольно сложно. Постулирование совершенно новой динамической величины — большой шаг, и вы делаете это только после того, как исчерпали все возможности. Тем не менее, я уверен, что это было исследовано, и мне было бы интересно узнать, что из этого вышло.

Эмилио Писанти

Было бы полезно, кстати, добавить знак вектора к константе

\vec{k}

$\vec k$ , так что мы можем перестать спорить о том, должен он быть или не должен быть вектором, и сосредоточиться на главном вопросе =).

Ответы (4)

Об уникальности тока смещения

В сущности, для простоты; полные уравнения Максвелла в основном оправдываются апостериорно . Обратите также внимание на то, что $\vec T$ нужно будет зависеть от $\vec E$ и/или $\vec J$ , и он должен быть псевдовектором (так что его завиток будет вектором), поэтому даже самые простые возможные кандидаты будут довольно сложными. Объединение существующих величин для получения правильной физической размерности также довольно сложно. Постулирование совершенно новой динамической величины — большой шаг, и вы делаете это только после того, как исчерпали все возможности. Тем не менее, я уверен, что это было исследовано, и мне было бы интересно узнать, что из этого вышло.
Было бы полезно, кстати, добавить знак вектора к константе $\vec k$ , так что мы можем перестать спорить о том, должен он быть или не должен быть вектором, и сосредоточиться на главном вопросе =).

ПрофРоб · Answer 1

Но наверняка это не единственное ограничение.

Если

{\vec{{Дж}^{'}}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + \vec{к}

$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{k}$ затем

\nabla \times \vec{Б} "=" {мю}_{0} \vec{Дж} + {мю}_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + {мю}_{0} \vec{к}

$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \mu_0 \vec{k}$

Это означает, что даже без электрического поля, зависящего от тока или времени, существует неконсервативное магнитное поле. Но без токов или зависящих от времени электрических полей мы знаем, что B-поле не имеет завихрений.

Бриониус · Answer 2

Во-первых, вы не можете определить

{\vec{{Дж}^{'}}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + к

$\vec{J'}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + k$ потому что вы добавили бы вектор к скаляру, поэтому у нас осталась ваша вторая идея:

{\vec{Дж}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + \nabla \times \vec{Т}

$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$

Если мы примем это за значение $\vec{J}_d$ , то закон Ампера принимает вид

\nabla \times \vec{Б} "=" {мю}_{0} \vec{Дж} + {мю}_{0} ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т} + \nabla \times \vec{Т}

$\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \nabla \times \vec{T}$

Рассмотрим случай, когда электрическое поле постоянно ( $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0$ ) и токов нет ( $\vec{J} = 0$ ). Ваш модифицированный закон Ампера предсказывает, что

\nabla \times \vec{Б} "=" \nabla \times \vec{Т}

$\nabla\times\vec{B} = \nabla \times \vec{T}$

Но экспериментально мы обнаруживаем, что в таких условиях $\nabla \times \vec{B} = 0$ , поэтому делаем вывод, что $\nabla \times \vec{T} = 0$

$\vec T$ может зависеть от $\vec E$ и $\vec J$ однако таким образом, что его завиток исчезает в этих обстоятельствах.
Это верно - в более общем смысле закон Ампера был проверен в различных обстоятельствах (не только в том, что я упомянул), и данные не подтверждают существование $\nabla \times \vec{T}$ срок.
О, я согласен. Но аргумент нетривиален, и аргумент ОП (предположительно выдвинутый вскоре после Максвелла) требует тщательного экспериментального изучения закона Ампера, что, к сожалению, не очень просто.
Я согласен. У меня нет конкретных знаний об экспериментальных усилиях, чтобы оправдать $\nabla \times \vec{T} = 0$ , но мне было бы интересно узнать о них.

Хавьер · Answer 3

Другие ответы говорят некоторые интересные вещи о последствиях этого термина, но главная причина, по которой его нет, заключается в том, что все эксперименты подтвердили уравнения Максвелла в том виде, в каком мы их знаем, и нет никаких доказательств того, что потребуется модификация.

В конце концов, уравнения не уникальны: например, их легко модифицировать, включив в них магнитные монополи, и сделать их более симметричными. Но никто никогда не видел магнитных монополей, поэтому они не фигурируют в уравнениях Максвелла.

Джон Даффилд · Answer 4

Явно, до добавления Максвеллом $\vec{J}_d$ срок действия закона Ампера был: $\nabla\times\vec{B} = \mu_0 \vec{J}$

При всем этом важно понимать, что закон Ампера касается тока проводимости, а ток проводимости — не единственный ток . Взгляните на Taming Light в наномасштабе :

«Оглянитесь вокруг, и вы, вероятно, увидите множество электронных и оптических устройств, таких как мобильные телефоны, персональные цифровые помощники, ноутбуки, телевизоры и цифровые камеры. Все они могут делать разные вещи, но у них есть одна общая черта: электронные схемы, которые управляют этими устройствами, заряженные частицы проходят через компоненты и передают энергию через то, что известно как ток проводимости. Но является ли движение заряженных частиц единственным доступным нам током?»

Ответ — нет, потому что у нас также есть ток смещения . Это «изменяющееся во времени электрическое поле» , и это именно то, что мы видим, когда мимо нас проходит электромагнитная волна. Заряженной частицы нет, но ток смещения есть, и он переменный: изменение поля то увеличивается до максимума, то снова уменьшается до нуля. Обратите внимание, что мы могли бы подвергнуть эту волну образованию пар , чтобы мы могли преобразовать ток смещения в заряженные частицы. Затем, когда мы их двигаем, мы называем это явление током проводимости. Также обратите внимание, что из-за этого ток смещения является более фундаментальным, чем ток проводимости. И то, что знание всего этого делает очевидным, что первоначальная версия закона Ампера не

«Закон Ампера определяет магнитное поле, связанное с данным током, или ток, связанный с данным магнитным полем, при условии, что электрическое поле не меняется во времени».

Почему же тогда $\vec{J}_d$ имеет форму, а не какое-либо из других возможных решений, представленных выше?

Из-за чего ток смещения . Максвелл эффективно работал в обратном направлении от Ампера и тока проводимости и в конце концов сказал, что «свет состоит из поперечных волнистостей в той же среде, которая является причиной электрических и магнитных явлений» . Когда люди читают это, они склонны думать о синусоидальных волнах E и B:

_{Изображение предоставлено математикой}

Однако и этого недостаточно. См. Статью об электромагнитном излучении в Википедии :

«Кроме того, дальние поля E и B в свободном пространстве, которые в качестве волновых решений зависят в первую очередь от этих двух уравнений Максвелла, находятся в фазе друг с другом. Это гарантируется, поскольку общее волновое решение имеет первый порядок как в пространстве, так и во времени, и оператор ротора в одной части этих уравнений приводит к пространственным производным первого порядка волнового решения, в то время как производная по времени в другой части уравнений, которая дает другое поле, имеет первый порядок по времени, что приводит к одинаковый фазовый сдвиг для обоих полей в каждой математической операции».

E — производная волны по пространству, а B — производная по времени. Таким образом, реальная волна представляет собой интеграл синусоидальных волн E и B. Я проиллюстрирую это аналогией с каноэ: представьте, что вы находитесь в каноэ, когда приближается десятиметровая океанская волна*. Ваше каноэ начинает подниматься вверх, сначала медленно, затем быстрее, затем наклон начинает выравниваться, и ваше каноэ на мгновение становится горизонтальным на вершине волны. В этой точке ток смещения максимален в средней точке синусоид E и B. Затем происходит обратный процесс, примерно так:

Уклон вашего каноэ обозначает E, а скорость изменения уклона обозначает B. Одна из них — производная по пространству, другая — по времени. Течение смещения представлено потоком воды, который поднял вас ↑ вверх на десять метров, а затем снова опустил вниз ↓. Он имеет векторный характер, и |направление| является направлением поляризации. Пишем так:

{\vec{Дж}}_{г} "=" ϵ_{0} \frac{\partial \vec{Е}}{\partial т}

$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Добавление константы k было бы похоже на повторение сценария каноэ в более глубокой воде. Волна имеет высоту 10 м, поэтому более глубокая вода не изменит наклон вашего каноэ или высоту вашего подъема. Вы не можете что-то добавить к одной стороне выражения, потому что каждая сторона говорит вам об одном аспекте волны, и вы не можете изменить одну сторону, не изменив другую.

^{* без корыта}

Об уникальности тока смещения

Анонимный

Эмилио Писанти

Эмилио Писанти

Ответы (4)

ПрофРоб

Бриониус

Эмилио Писанти

Бриониус

Эмилио Писанти

Бриониус

Хавьер

Джон Даффилд

Как классически связаны сила Лоренца, третий закон Максвелла и закон индукции Фарадея?

ЭДС в одиночном движущемся проводе в магнитном поле

Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за запаздывания?

Справедливость закона Ампера с точки зрения HHH

Уравнения Максвелла не дают уникального электрического поля?

Расчет магнитного поля вокруг провода с током произвольной длины с использованием уравнений Максвелла.

Напряжение на стержне в изменяющемся во времени магнитном поле

Являются ли движущиеся заряды и изменяющиеся электрические поля разными причинами?

Как рассчитать силовые линии индуцированного магнитного поля внутри конденсатора?

Что такое замкнутый ток?