Как решить уравнение Шредингера — туннелирование

Без полного решения, просто дорожная карта. В принципе, есть стандартный способ решения такого рода проблем.

Сначала решим стационарную задачу:

$$\left[ \left(-h^2 \frac{d^2}{dx^2} \right) + q V(x) \right] U_i(x) = E_i U(x).$$ Пока потенциал симметричен, я бы рекомендовал использовать это и искать четные и нечетные решения. Для $E<V_0$ $$U_{i+}(x) = \begin{cases} A\cos{k(|x|-x_0)}, & \mbox{if } L<|x|<d \\ B\mathrm{ch}{\varkappa x}, & \mbox{if } -L<x<L \\ \end{cases},$$ $$U_{i-}(x) = \begin{cases} A\sin{k(|x|-x_0)}, & \mbox{if } L<|x|<d \\ B\mathrm{sh}{\varkappa x}, & \mbox{if } -L<x<L \\ \end{cases}$$ с $k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$, $\varkappa = \sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$

Для энергий выше$V_0$заменить гиперболические функции на$\cos{k_2x}$,$\sin{k_2x}$с$k=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}$.

Если вы подставите эти функции в уравнение, вы получите уравнение для энергии. Обратите внимание, что пока эта форма функций автоматически удовлетворяет уравнению в областях постоянного потенциала, вы должны просто позаботиться о граничных условиях. Решите это уравнение и получите спектр$\left\{ E_{i\pm} \right\}_{i=1}^{\infty}$и волновые функции$U_i(x)$. Очевидно, что эти решения имеют очень приятную особенность, если рассматривать нестационарную задачу:

$$U_i(x,t)=e^{-i\frac{\hbar}{E_i} t}U_i(x),$$ это означает, что если вы разложите свое начальное условие на эти решения (что вы можете сделать, потому что собственные функции эрмитова оператора представляют собой полный набор) $$U(x,t_0) = \sum_1^{\infty} C_i U_i(x)$$ тогда временная эволюция волновой функции определяется выражением $$U(x,t) = \sum_1^{\infty} C_i U_i(x) e^{-i\frac{\hbar}{E_i} t}$$